מחשבון רדיוס מעגל: מציאת רדיוס מקוטר ושטח

רדיוס של מעגל

רדיוס של מעגל הוא המרחק ממרכז המעגל לכל נקודה על שפתו. אפשר למצוא אותו לפי הקוטר, ההיקף או השטח, באמצעות שלוש נוסחאות פשוטות. מחשבון זה מחשב את הרדיוס לפי כל אחד משלושת הערכים הידועים האלה.

מהו רדיוס?

מעגל הוא קו עקום המורכב מכל הנקודות שנמצאות באותו מרחק מנקודה קבועה אחת, הנקראת המרכז. המרחק הקבוע הזה הוא הרדיוס. לכל הרדיוסים של מעגל יחיד יש אותו אורך. הרדיוס קובע את גודל המעגל: רדיוס גדול יותר יוצר מעגל גדול יותר.

שלוש מדידות נוספות קשורות ישירות לרדיוס:

• קוטר ($d$): קו ישר משפת המעגל מצד אחד לשפתו בצד השני, העובר דרך המרכז. הוא תמיד גדול פי שניים מהרדיוס.
• היקף ($C$): המרחק סביב החלק החיצוני של המעגל.
• שטח ($A$): גודל המרחב התחום בתוך המעגל.

כיצד לחשב רדיוס של מעגל

הנוסחה שבה משתמשים תלויה במדידה שכבר ידועה.

לפי הקוטר

$$r = \frac{d}{2}$$

הקוטר גדול פי שניים מהרדיוס, לכן חלוקה שלו ב־2 מחזירה את הרדיוס.

לפי ההיקף

$$r = \frac{C}{2\pi}$$

הדבר נובע מנוסחת ההיקף $C = 2\pi r$, לאחר פתרון עבור $r$. האות היוונית $\pi$ (פאי) היא קבועה, שערכה בקירוב 3.14159.

לפי השטח

$$r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$$

הדבר נובע מנוסחת השטח $A = \pi r^2$, לאחר פתרון עבור $r$.

דוגמה פתורה

דוגמה 1: רדיוס לפי הקוטר

למעגל יש קוטר באורך 10 יחידות.

$$r = \frac{10}{2} = 5 \text{ יחידות}$$

דוגמה 2: רדיוס לפי ההיקף

היקף המעגל הוא באורך 31.4159 יחידות.

$$r = \frac{31.4159}{2\pi} \approx \frac{31.4159}{6.2832} \approx 5 \text{ יחידות}$$

דוגמה 3: רדיוס לפי השטח

שטח המעגל הוא 78.5398 יחידות רבועות.

$$r = \sqrt{\frac{78.5398}{\pi}} \approx \sqrt{25} = 5 \text{ יחידות}$$

שימוש במחשבון

בחרו איזה ערך ידוע: קוטר, היקף או שטח. לאחר מכן הזינו מספר גדול מאפס. המחשבון מחזיר את הרדיוס כשהוא מעוגל לארבע ספרות אחרי הנקודה העשרונית. הזנת אפס או מספר שלילי מציגה את ההודעה "קלט לא חוקי: הערך חייב להיות גדול מאפס.", משום שלמעגל לא יכול להיות קוטר, היקף או שטח השווים לאפס או קטנים ממנו. תיבת הקלט מקבלת מספרים בלבד, לכן אותיות וטקסט אחר אינם נקלטים בעת ההקלדה, והתוצאה פשוט נשארת מוסתרת.

הרדיוס ניתן באותה יחידת מידה כמו הקלט. הזנת קוטר בסנטימטרים מחזירה רדיוס בסנטימטרים; הזנת שטח במטרים רבועים מחזירה רדיוס במטרים.

מדוע הרדיוס חשוב

הרדיוס הוא המדידה היחידה שממנה אפשר לגזור כל תכונה אחרת של מעגל. הוא מופיע בנוסחאות לקוטר, להיקף ולשטח, וכן בנוסחאות לנפח ולשטח הפנים של כדור. מהנדסים משתמשים בו לקביעת מידותיהם של צינורות, גלגלי שיניים וגלגלים. אדריכלים משתמשים בו לתכנון קשתות וכיפות. אסטרונומים משתמשים בו לתיאור גודלם של כוכבי לכת, כוכבים ומסלולים.

היסטוריה קצרה

מעגלים נחקרו בידי מתמטיקאים מצרים ובבלים קדומים, שחישבו קירובים מוקדמים ליחס בין היקף המעגל לקוטרו. בסביבות 300 לפנה״ס הגדיר המתמטיקאי היווני אוקלידס, בספרו היסודות, מעגל כצורה שכל נקודות הגבול שלה נמצאות במרחק שווה ממרכזה. מאוחר יותר פיתח ארכימדס שיטה להערכת $\pi$ באמצעות השוואת מעגל למצולעים המשורטטים בתוכו ומחוצה לו. מתמטיקאים בסין, בהודו ובמקומות אחרים שיפרו את הערך של $\pi$ במהלך המאות שלאחר מכן, והגיעו לספרות המשמשות כיום בחישובים.

שאלות נפוצות

מהו רדיוס של מעגל?

הרדיוס הוא המרחק ממרכז המעגל לכל נקודה על שפתו. הוא שווה למחצית מאורך הקוטר.

כיצד מוצאים את הרדיוס לפי הקוטר?

מחלקים את הקוטר ב־2: $r = d/2$. למעגל שקוטרו 10 יחידות יש רדיוס באורך 5 יחידות.

כיצד מוצאים את הרדיוס לפי ההיקף?

מחלקים את ההיקף ב־$2\pi$: $r = C/(2\pi)$. למעגל שהיקפו בערך 31.42 יחידות יש רדיוס באורך של כ־5 יחידות.

כיצד מוצאים את הרדיוס לפי השטח?

מחלקים את השטח ב־$\pi$ ולאחר מכן מוציאים שורש ריבועי: $r = \sqrt{A/\pi}$. למעגל ששטחו בערך 78.54 יחידות רבועות יש רדיוס באורך של כ־5 יחידות.

מה ההבדל בין רדיוס לקוטר?

הקוטר הוא קו ישר העובר דרך המרכז ומחבר שתי נקודות במעגל. הוא גדול בדיוק פי שניים מהרדיוס: $d = 2r$.

האם הרדיוס יכול להיות שלילי או אפס?

לא. למעגל ממשי חייב להיות רדיוס גדול מאפס. המחשבון מציג שגיאה אם הקוטר, ההיקף או השטח שהוזנו הם אפס או ערך שלילי, ואינו מציג תוצאה עד להזנת מספר חיובי.

מקורות

1. מעגל — ויקיפדיה
2. פאי — ויקיפדיה