מחשבון נפח חרוט - חישוב נפח חרוט וגזע חרוט

מהו מחשבון נפח חרוט?

מחשבון נפח חרוט מוצא את נפחו של חרוט או של חרוט קטום (חרוט קטום) לפי הרדיוס והגובה שלו. חרוט הוא גוף בעל בסיס שטוח ועגול אחד, שהולך ונעשה צר בהדרגה עד לנקודה יחידה הנקראת קודקוד. חרוט קטום הוא החלק שנותר מחרוט לאחר שחלקו העליון נחתך בחיתוך המקביל לבסיס, כך שנשארות שתי פאות עגולות במקום אחת.

נוסחת נפח חרוט

נפחו של חרוט שלם תלוי ברדיוס הבסיס שלו ובגובהו.

$V = \frac{1}{3} \times \pi \times r² \times h$

• V הוא נפח החרוט.
• r הוא רדיוס הבסיס העגול.
• h הוא הגובה, הנמדד בקו ישר מהבסיס עד לקודקוד.
• π (פאי) שווה בקירוב ל־3.14159.

דוגמה פתורה

לחרוט שרדיוס הבסיס שלו הוא 3 יחידות וגובהו הוא 4 יחידות יש את הנפח הבא:

V = (1/3) × π × 3² × 4 = (1/3) × π × 36 = 12π ≈ 37.70 יחידות מעוקבות

כיצד לחשב את נפח החרוט באמצעות המחשבון

המחשבון מקבל שלושה נתונים:

1. רדיוס — רדיוס הבסיס.
2. גובה — גובה החרוט, מהבסיס עד לקודקוד.
3. גובה החיתוך מהבסיס (אופציונלי) — המרחק מעל הבסיס שבו החרוט נחתך, אם חלקו העליון נחתך.

השארת גובה החיתוך ריק או הזנת 0 נותנת את נפחו של החרוט השלם, שלא נחתך. הזנת גובה חיתוך הקטן מהגובה המלא נותנת את נפח החרוט הקטום שמתחת לחיתוך. התרשים שמתחת לנתוני הקלט מסמן על הצורה את אותן שלוש מידות.

המחשבון דוחה רדיוס או גובה שהם אפס, שליליים, ריקים או גדולים מדי מכדי לטפל בהם כמספר רגיל. במקרים אלה הוא מציג הודעה במקום נפח, ולכן אינו מציג נתון מומצא.

נוסחת נפח חרוט קטום (גזיר חרוט)

נפחו של חרוט קטום תלוי ברדיוסים של שתי הפאות העגולות שלו ובגובה שלו.

$V = \frac{1}{3} \times \pi \times h \times (R² + r² + R \times r)$

• R הוא הרדיוס של הבסיס התחתון הגדול יותר.
• r הוא הרדיוס של הבסיס העליון הקטן יותר.
• h הוא גובה החרוט הקטום, הנמדד בין שני הבסיסים.

המחשבון אינו מבקש ישירות את הרדיוס העליון. במקום זאת, הוא מקבל את רדיוס הבסיס, את גובה החרוט אילו לא נחתך ואת גובה החיתוך. לאחר מכן הוא מחשב את הרדיוס העליון באמצעות משולשים דומים:

$r = R \times \left(1 - \frac{c}{f}\right)$

כאשר c הוא גובה החיתוך מעל הבסיס ו-f הוא הגובה המלא של החרוט שלא נחתך.

דוגמה פתורה

נניח שרדיוס הבסיס הוא 3 יחידות, גובה החרוט המלא (שלא נחתך) הוא 12 יחידות, וגובה החיתוך הוא 4 יחידות.

רדיוס עליון = 3 × (1 − 4/12) = 3 × 2/3 = 2 יחידות

V = (1/3) × π × 4 × (3² + 2² + 3 × 2) = (1/3) × π × 4 × 19 = (76/3)π ≈ 79.59 יחידות מעוקבות

אם גובה החיתוך שווה לגובה המלא או גדול ממנו, החיתוך מתבצע בקודקוד או מעליו, ולכן דבר אינו מוסר. המחשבון מחזיר את נפח החרוט השלם, והתרשים מציג את החרוט השלם.

תולדות נוסחת נפח החרוט

מתמטיקאים יוונים קדומים היו הראשונים שקישרו את נפח החרוט לנפח הגליל. דמוקריטוס, שפעל בסוף המאה ה־5 לפני הספירה, נחשב למי שטען שנפח חרוט שווה לשליש מנפחו של גליל בעל אותו בסיס ואותו גובה. הוא לא הוכיח זאת. אאודוקסוס מקנידוס, שפעל במאה שלאחר מכן, הציג את ההוכחה הקפדנית הראשונה באמצעות טכניקה המכונה שיטת המיצוי, מבשרת מוקדמת של חשבון האינטגרלים. הנוסחה V = (1/3)πr²h נותרה ללא שינוי מאז.

שימושים בחישובי נפח חרוט

נפחים של חרוטים ושל חרוטים קטומים מופיעים בכל פעם שצורה נעשית צרה מבסיס רחב עד לנקודה או לחלק עליון קטן יותר. מהנדסים משתמשים בנוסחאות כדי לקבוע את ממדיהם של מכלים חרוטיים, ממגורות ומשפכים. אדריכלים משתמשים בהן כדי להעריך את כמות החומרים הדרושה לגגות חרוטיים. גאולוגים משתמשים בהן כדי להעריך את נפחם של חרוטים געשיים ושל תצורות נוף דומות.

שאלות נפוצות

כיצד מחשבים את נפח החרוט?

מכפילים את π בריבוע הרדיוס, מכפילים את התוצאה בגובה, ואז מחלקים ב־3: V = (1/3)πr²h. לחרוט שרדיוסו 5 cm וגובהו 10 cm יש נפח של כ־261.80 סנטימטרים מעוקבים.

מהי הנוסחה לחרוט קטום (גזיר חרוט)?

V = (1/3)πh(R² + r² + Rr), כאשר R ו־r הם הרדיוסים של שני הבסיסים העגולים, ו־h הוא גובה החרוט הקטום, הנמדד בין המשטחים האלה.

כיצד המחשבון מוצא את הרדיוס העליון של חרוט קטום?

הוא משתמש במשולשים דומים. הרדיוס העליון שווה לרדיוס הבסיס כשהוא מוכפל ב־(1 − גובה החיתוך ÷ גובה החרוט המלא). ההנחה היא שהחרוט הקטום נוצר מחרוט בעל דפנות ישרות.

מה קורה אם גובה החיתוך גדול מהגובה או שווה לו?

המחשבון מתייחס לצורה כאל חרוט שלם שלא נחתך ומחזיר V = (1/3)πr²h באמצעות הרדיוס והגובה שהוזנו.

מה קורה אם הרדיוס או הגובה הם אפס או שליליים?

המחשבון דורש שגם הרדיוס וגם הגובה יהיו גדולים מאפס. אם אחד מהם הוא אפס, שלילי, ריק או גדול מדי מכדי לטפל בו כמספר רגיל, הוא מציג הודעה במקום נפח.

כיצד מוצאים את נפח החרוט לפי הקוטר במקום לפי הרדיוס?

מחלקים את הקוטר ב־2 כדי לקבל את הרדיוס, ואז משתמשים בנוסחה V = (1/3)πr²h כרגיל.

מקורות

1. וייסשטיין, אריק ו׳. "Cone." MathWorld—משאב אינטרנט של וולפרם. https://mathworld.wolfram.com/Cone.html
2. וייסשטיין, אריק ו׳. "Frustum." MathWorld—משאב אינטרנט של וולפרם. https://mathworld.wolfram.com/Frustum.html