מחשבון חתכי חרוט - מעגל, אליפסה, פרבולה

מהו מחשבון חתכי חרוט?

מחשבון חתכי חרוט מוצא את האקסצנטריות ואת המשוואה הסטנדרטית של מעגל, אליפסה, פרבולה או היפרבולה על סמך כמה מדידות. ארבע העקומות האלה מתקבלות כאשר מישור שטוח חותך חרוט בזוויות שונות.

ארבעת חתכי החרוט

חיתוך חרוט בניצב לצירו יוצר מעגל. הטיית המישור יוצרת אליפסה. חיתוך במקביל לדופן החרוט יוצר פרבולה. חיתוך דרך שני החצאים של חרוט כפול יוצר היפרבולה.

לכל עקומה יש אקסצנטריות, מספר המראה עד כמה היא שונה ממעגל מושלם.

• מעגל: $e = 0$
• אליפסה: $0 < e < 1$
• פרבולה: $e = 1$
• היפרבולה: $e > 1$

כיצד להשתמש במחשבון זה

1. בחרו סוג של חתך חרוט: מעגל, אליפסה, פרבולה או היפרבולה.
2. הזינו את המדידות הנדרשות.
   • מעגל: רדיוס ($r$)
   • אליפסה: חצי־הציר הראשי ($a$) וחצי־הציר המשני ($b$)
   • פרבולה: אורך מוקד ($f$)
   • היפרבולה: הציר הרוחבי למחצה ($a$) והציר המצומד למחצה ($b$)
3. האקסצנטריות והמשוואה הסטנדרטית מופיעות אוטומטית מיד לאחר הזנת ערכים חיוביים ותקפים עבור סוג חתך החרוט שנבחר; אין כפתור חישוב שעליו צריך ללחוץ.
4. גרף של העקומה מצויר מתחת לתוצאות.

המחשבון מציג את המשוואה לאחר שהמספרים שהוזנו הוצבו בה, ולכן אליפסה שבה $a = 5$ ו־$b = 3$ מוצגת כך: $(x/5)^2 + (y/3)^2 = 1$. זו אותה משוואה כמו $x^2/25 + y^2/9 = 1$. האקסצנטריות מוצגת עד ארבע ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

כל הקלטים חייבים להיות מספרים חיוביים. באליפסה, חצי־הציר הראשי חייב להיות לפחות באורך חצי־הציר המשני, מכיוון שחצי־הציר הראשי מוגדר כארוך יותר. להיפרבולה אין כלל כזה: הציר הרוחבי למחצה והציר המצומד למחצה יכולים להיות בכל אורך חיובי, כולל אורכים שווים.

נוסחת המעגל

עבור מעגל ברדיוס $r$ שמרכזו בראשית הצירים:

$$x^2 + y^2 = r^2$$

אקסצנטריות: $e = 0$.

מעגל הוא מקרה מיוחד של אליפסה, שבו לשני הצירים אורך שווה ושני המוקדים נמצאים במרכז.

נוסחת האליפסה

עבור אליפסה שמרכזה בראשית הצירים, עם חצי־ציר ראשי $a$ וחצי־ציר משני $b$, כאשר $a \geq b > 0$:

$$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$ $$e = \sqrt{1 - \left(\dfrac{b}{a}\right)^2}$$

דוגמה: $a = 5$, $b = 3$.

$$e = \sqrt{1 - \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8$$

משוואה: $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$

כאשר $a = b$, האליפסה הופכת למעגל ו־$e = 0$.

נוסחת הפרבולה

עבור פרבולה הפתוחה ימינה, עם אורך מוקד $f$ (המרחק מהקודקוד למוקד):

$$y^2 = 4fx$$

אקסצנטריות: $e = 1$, תמיד.

דוגמה: $f = 2$. משוואה: $y^2 = 8x$.

נוסחת ההיפרבולה

עבור היפרבולה שמרכזה בראשית הצירים, עם ציר רוחבי למחצה $a$ וציר מצומד למחצה $b$, כאשר $a$ ו־$b$ הם מספרים חיוביים כלשהם:

$$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$ $$e = \sqrt{1 + \left(\dfrac{b}{a}\right)^2}$$

הציר הרוחבי למחצה $a$ הוא מחצית המרחק בין שני הקודקודים, הנקודות שבהן העקומה משנה כיוון. הציר המצומד למחצה $b$ הוא מחצית אורכו של הציר המצומד, הקטע המשורטט בזווית ישרה אליו דרך המרכז. הוא קובע באיזו מהירות הענפים נפתחים.

בניגוד לאליפסה, היפרבולה אינה דורשת ש־$a$ יהיה גדול מ־$b$. שני האורכים בלתי תלויים, ולכן $b$ יכול להיות קטן מ־$a$, שווה לו או גדול ממנו. כאשר $a = b$, העקומה נקראת היפרבולה מלבנית, והאקסצנטריות שלה היא $\sqrt{2} \approx 1.4142$.

דוגמה: $a = 5$, $b = 3$.

$$e = \sqrt{1 + \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 + 0.36} = \sqrt{1.36} \approx 1.1662$$

משוואה: $\dfrac{x^2}{25} - \dfrac{y^2}{9} = 1$

שימושים מעשיים של חתכי חרוט

כוכבי לכת ושביטים נעים במסלולים שצורתם דומה לחתכי חרוט. החוק הראשון של קפלר קובע שמסלולו של כוכב לכת הוא אליפסה, כאשר השמש נמצאת באחד המוקדים. שביטים מסוימים נעים במסלולים פרבוליים או היפרבוליים ואינם חוזרים לעולם.

פרבולות ממקדות קרניים מקבילות בנקודה יחידה, ולכן מהנדסים משתמשים בצורות פרבוליות בצלחות לוויין, במראות טלסקופים ובפנסי מכוניות. עקומות היפרבוליות מופיעות בדפנות של מגדלי קירור, שבהם הצורה מעניקה חוזק תוך שימוש בכמות קטנה יותר של חומר. אליפסות מופיעות בקשתות, בתקרות של גלריות לחישה ובעיצוב גלגלי שיניים.

היסטוריה קצרה של חתכי חרוט

המתמטיקאי היווני מנכמוס חקר חתכי חרוט בסביבות 350 לפנה״ס, בעת שניסה לפתור את בעיית הכפלת הקובייה. אפולוניוס מפרגה כתב חיבור מפורט בשם חתכי חרוט בסביבות 200 לפנה״ס. הוא העניק לאליפסה, לפרבולה ולהיפרבולה את שמותיהן ותיאר את תכונותיהן. מאות שנים לאחר מכן השתמש יוהנס קפלר באליפסה כדי לתאר את תנועת כוכבי הלכת, ואייזק ניוטון השתמש בחתכי חרוט כדי להסביר את כוח הכבידה.

שאלות נפוצות

מהם ארבעת הסוגים של חתכי חרוט?

מעגל, אליפסה, פרבולה והיפרבולה. כל אחד מהם נוצר כאשר מישור חותך חרוט בזווית שונה, ולכל אחד טווח אקסצנטריות שונה.

כיצד מחשבים אקסצנטריות?

האקסצנטריות קבועה עבור מעגל ($e = 0$) ועבור פרבולה ($e = 1$). עבור אליפסה, $e = \sqrt{1 - (b/a)^2}$, באמצעות חצי־הציר הראשי $a$ וחצי־הציר המשני $b$. עבור היפרבולה, $e = \sqrt{1 + (b/a)^2}$, באמצעות הציר הרוחבי למחצה $a$ והציר המצומד למחצה $b$.

האם הציר הרוחבי למחצה של היפרבולה חייב להיות ארוך יותר מהציר המצומד למחצה שלה?

לא. בניגוד לציר הראשי למחצה ולציר המשני למחצה של אליפסה, הציר הרוחבי למחצה ($a$) והציר המצומד למחצה ($b$) של היפרבולה הם מדידות בלתי תלויות. שניהם חייבים להיות חיוביים, אך כל אחד מהם יכול להיות הארוך יותר.

האם אליפסה יכולה להפוך למעגל?

כן. כאשר הציר הראשי למחצה שווה לציר המשני למחצה, האליפסה היא מעגל והאקסצנטריות שלה היא 0.

מדוע בצלחות לוויין משתמשים בצורה פרבולית?

פרבולה מחזירה קרניים הנעות במקביל לצירה אל מוקד יחיד. צלחות לוויין ומראות טלסקופים משתמשות בתכונה זו כדי לרכז אותות או אור בנקודה אחת.

מהי היפרבולה מלבנית?

היפרבולה מלבנית היא היפרבולה שבה הציר הרוחבי למחצה שווה לציר המצומד למחצה ($a = b$). האסימפטוטות שלה מאונכות זו לזו, והאקסצנטריות שלה היא $\sqrt{2} \approx 1.4142$.

מקורות

1. חתך חרוט - ויקיפדיה
2. אקסצנטריות של חתכי חרוט - אקדמיית חאן
3. חתכי חרוט - OpenStax