מחשבון גובה קונוס - חשב גובה קונוס באינטרנט

מחשבון גובה חרוט מוצא את הגובה האנכי של חרוט עגול ישר באמצעות שתי מדידות: רדיוס הבסיס שלו והגובה המשופע שלו. הוא משתמש במשפט פיתגורס, משום שהגובה, הרדיוס והגובה המשופע יוצרים משולש ישר-זווית בתוך החרוט.

מהו גובהו של חרוט?

גובהו של חרוט הוא המרחק בקו ישר מהקודקוד (החוד) אל מרכז הבסיס העגול, הנמדד בזווית ישרה לבסיס. לעיתים מכנים אותו "גובה אנכי" או "גובה מאונך", כדי להבדילו מהגובה המשופע.

הגובה המשופע שונה ממנו. זהו המרחק מהקודקוד לנקודה על שפת הבסיס, הנמדד לאורך המשטח החיצוני של החרוט. מכיוון שהגובה המשופע נמשך בזווית ולא ישר כלפי מטה, הוא תמיד ארוך יותר מהגובה האנכי.

נוסחת גובה החרוט

בחרוט עגול ישר, הרדיוס (r), הגובה (h) והגובה המשופע (l) יוצרים משולש ישר-זווית. הגובה המשופע הוא היתר. לכן אפשר למצוא את הגובה באמצעות משפט פיתגורס:

h = √(l² − r²)

כאשר:

• h הוא גובה החרוט
• l הוא הגובה המשופע
• r הוא רדיוס הבסיס

הנוסחה פועלת רק כאשר הגובה המשופע גדול מהרדיוס. אם לא, לא יכול להתקיים חרוט ממשי בעל מידות אלה, משום שהיתר במשולש ישר-זווית חייב להיות ארוך יותר מכל אחת משתי הצלעות האחרות.

כיצד לחשב את גובה החרוט

1. מדדו או רשמו את רדיוס בסיס החרוט.
2. מדדו או רשמו את הגובה המשופע, כלומר את המרחק לאורך הצד החיצוני של החרוט מהחוד אל שפת הבסיס.
3. העלו בריבוע את שני המספרים, החסירו את ריבוע הרדיוס מריבוע הגובה המשופע, והוציאו שורש ריבועי מהתוצאה.
4. ודאו ששתי המדידות משתמשות באותה יחידה, כגון סנטימטרים או אינצ'ים. התוצאה תהיה באותה יחידה.

המחשבון מעגל את התשובה לשתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית. רדיוס של 1 וגובה משופע של 2 נותנים √3 = 1.7320508…, והמחשבון מציג זאת כ־1.73.

דוגמה פתורה

דוגמה 1. לחרוט יש רדיוס של 3 יחידות וגובה משופע של 5 יחידות.

h = √(5² − 3²) = √(25 − 9) = √16 = 4 יחידות

דוגמה 2. לחרוט יש רדיוס של 5 יחידות וגובה משופע של 13 יחידות.

h = √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12 יחידות

דוגמה 3. לחרוט יש רדיוס של 8 יחידות וגובה משופע של 10 יחידות.

h = √(10² − 8²) = √(100 − 64) = √36 = 6 יחידות

כאשר אין גובה תקף

אם הגובה המשופע שווה לרדיוס או קטן ממנו, המחשבון אינו יכול להחזיר גובה. לחרוט לא יכול להיות גובה משופע השווה לרדיוס, משום שהדבר ידרוש גובה אפס או מספר דמיוני. לדוגמה, רדיוס של 5 וגובה משופע של 5 מתארים דיסקה שטוחה, לא חרוט, ולכן המחשבון מסמן קלט זה כלא תקף במקום להציג תוצאה.

ערכי אפס וערכים שליליים מטופלים אחרת. עד שהרדיוס והגובה המשופע יהיו מספרים הגדולים מאפס, המחשבון נשאר ריק במקום להציג שגיאה.

שימושים בגובה החרוט

גובה החרוט, יחד עם הרדיוס, משמש לחישוב נפח החרוט (V = ⅓πr²h) ושטח הפנים שלו. אדריכלים משתמשים בו בתכנון גגות חרוטיים. יצרנים משתמשים בו כדי לחשב כמה חומר דרוש לחלק חרוטי. הוא נלמד גם בשיעורי גאומטריה, משום שהחרוט הוא אחת הצורות התלת-ממדיות הבסיסיות הנלמדות לצד הגליל והכדור.

שאלות נפוצות

כיצד מוצאים את גובה החרוט לפי הרדיוס והגובה המשופע שלו? העלו בריבוע את הגובה המשופע, העלו בריבוע את הרדיוס, החסירו את התוצאה השנייה מהראשונה, ואז הוציאו שורש ריבועי: h = √(l² − r²).

מהי הנוסחה לגובה חרוט? h = √(l² − r²), כאשר h הוא הגובה, l הוא הגובה המשופע ו־r הוא רדיוס הבסיס. הנוסחה נובעת ישירות ממשפט פיתגורס.

האם גובהו של חרוט יכול להיות גדול מהגובה המשופע שלו? לא. הגובה המשופע הוא היתר במשולש ישר-הזווית שנוצר מהגובה ומהרדיוס, והיתר הוא תמיד הצלע הארוכה ביותר במשולש ישר-זווית.

מה קורה אם הרדיוס שווה לגובה המשופע? אין חרוט תקף. רדיוס השווה לגובה המשופע (או גדול ממנו) ייתן גובה אפס או פחות, דבר שאינו אפשרי בחרוט ממשי.

במה שונה הגובה המשופע מהגובה? הגובה נמדד בקו ישר מהקודקוד אל מרכז הבסיס. הגובה המשופע נמדד לאורך המשטח החיצוני, מהקודקוד אל שפת הבסיס. הגובה המשופע תמיד ארוך יותר מבין השניים.

באילו יחידות ניתנת התוצאה? התוצאה ניתנת באותה יחידה שבה הוזנו הרדיוס והגובה המשופע. אם שניהם בסנטימטרים, הגובה יינתן בסנטימטרים.

מקורות

1. וייסשטיין, אריק ו׳. "Cone." MathWorld, Wolfram Research. https://mathworld.wolfram.com/Cone.html
2. "Cone (geometry)." Wikipedia, קרן ויקימדיה. https://en.wikipedia.org/wiki/Cone_(geometry)