מחשבון חרוט עגול ישר - נפח, שטח פנים ונוסחאות

מהו חרוט מעגלי ישר?

חרוט מעגלי ישר הוא גוף בעל בסיס עגול שטוח וצד מעוקל אחד ההולך ומצטמצם לנקודה יחידה, הנקראת קודקוד. הוא נקרא "ישר" משום שהקודקוד נמצא ישירות מעל מרכז הבסיס. קו היורד מהקודקוד ישירות אל הבסיס פוגש את הבסיס בזווית ישרה. מחשבון זה מוצא את נפח החרוט, את שטח הבסיס, את שטח המעטפת הצדדית ואת שטח הפנים הכולל לפי הרדיוס והגובה שלו.

דוגמאות נפוצות לצורה זו כוללות קונוסים לתמרור, גביעי גלידה, משפכים וגגות של מגדלים מסוימים.

מדידות של חרוט

שתי מדידות מתארות חרוט מעגלי ישר:

• רדיוס (r): המרחק ממרכז הבסיס העגול עד לשפתו.
• גובה (h): המרחק האנכי הישר מהבסיס עד לקודקוד.

אורך שלישי, הגובה המשופע (l), הוא המרחק לאורך הצד החיצוני של החרוט, מהקודקוד ועד לשפת הבסיס. הוא אינו נמדד ישירות. במקום זאת, מחשבים אותו לפי הרדיוס והגובה, משום ששלושת האורכים האלה יוצרים משולש ישר־זווית. המחשבון משתמש בגובה המשופע כדי לחשב את שטח הצד המעוקל, אך אינו מציג אותו כתוצאה נפרדת.

המחשבון אינו קובע יחידת מידה. יש להזין את הרדיוס ואת הגובה באותה יחידה. כל שטח יתקבל לאחר מכן ביחידות רבועות מאותה יחידה, והנפח ביחידות מעוקבות. אף אחד מהערכים אינו יכול להיות שלילי, משום שאורך אינו יכול להיות שלילי; במקרה כזה המחשבון מציג הודעה במקום תוצאה. התוצאות ניתנות בדיוק של ארבע ספרות אחרי הנקודה.

נוסחאות החרוט

נוסחת הגובה הנטוי

הרדיוס, הגובה והגובה המשופע יוצרים משולש ישר־זווית, ולכן הגובה המשופע מתקבל ממשפט פיתגורס:

$$l = \sqrt{r^2 + h^2}$$

נוסחה לשטח הבסיס

הבסיס הוא מעגל, ולכן שטחו מחושב באמצעות הנוסחה הסטנדרטית לשטח מעגל:

$$A_b = \pi r^2$$

נוסחה לשטח המעטפת הצדדית

שטח המעטפת הצדדית מכסה רק את הצד המעוקל, ולא את הבסיס. אילו פורסו הצד המעוקל והושטחו, הוא היה יוצר גזרה של מעגל ששטחה:

$$A_l = \pi r l$$

נוסחה לשטח הפנים הכולל

שטח הפנים הכולל מחבר את הבסיס עם הצד המעוקל:

$$A = A_b + A_l = \pi r^2 + \pi r l = \pi r (r + l)$$

חרוט הפתוח בבסיסו, כגון משפך נייר, מצריך רק את שטח המעטפת הצדדית לחישובי החומר.

נוסחת נפח חרוט

$$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$

נפח חרוט הוא בדיוק שליש מנפח גליל בעל אותו בסיס ואותו גובה. ארכימדס הוכיח קשר זה באמצעות שיטה שקדמה לחשבון האינפיניטסימלי. מאוחר יותר הוא אושר באמצעות חשבון אינטגרלי, המתייחס לחרוט כאל ערימה אינסופית של דיסקות עגולות ההולכות וקטנות מהבסיס ועד לקודקוד.

כיצד לחשב נפח חרוט: דוגמה פתורה

נניח חרוט שרדיוסו r = 5 יחידות וגובהו h = 12 יחידות.

1. מצאו את הגובה המשופע.

$$l = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ יחידות}$$

2. מצאו את שטח הבסיס.

$$A_b = \pi (5)^2 = 25\pi \approx 78.54 \text{ יחידות}^2$$

3. מצאו את שטח המעטפת הצדדית.

$$A_l = \pi (5)(13) = 65\pi \approx 204.20 \text{ יחידות}^2$$

4. מצאו את שטח הפנים הכולל.

$$A = 25\pi + 65\pi = 90\pi \approx 282.74 \text{ יחידות}^2$$

5. מצאו את הנפח.

$$V = \frac{1}{3} \pi (5)^2 (12) = 100\pi \approx 314.16 \text{ יחידות}^3$$

תרשים

הקו האנכי המקווקו הוא הגובה, מהבסיס ועד לקודקוד. הקו האופקי המקווקו הוא הרדיוס, ממרכז הבסיס ועד לשפתו.

היכן מופיעים חרוטים בחיי היום־יום

חישובי נפח ושטח פנים של חרוט מופיעים בכמה תחומים מעשיים:

• ייצור פחים: שטח המעטפת הצדדית מייצג את כמות החומר השטוח הדרושה ליצירת מיכל הזנה חרוטי, משפך או מצמצם תעלה באמצעות גלגולו, לפני הוספת שוליים לתפרים ולבזבוז.
• קיבולת אחסון: נוסחת הנפח נותנת את הקיבולת של מכלים חרוטיים ושל התחתיות החרוטיות של ממגורות.
• בנייה: צריחים, כיפות מגדלים ורכיבי גג חרוטיים אחרים משתמשים בשטח המעטפת הצדדית להערכת כמות חומרי הקירוי.
• חפצים יום־יומיים: כוסות נייר, גביעי גלידה וקונוסים לתמרור הם כולם בקירוב חרוטים מעגליים ישרים.

מחשבון זה מניח חרוט מושלם בעל בסיס עגול וקודקוד שמרכזו מעל הבסיס. חרוט שנחתך בחלקו העליון, הנקרא גזיר חרוטי, מצריך מערכת נוסחאות אחרת משום שיש לו שני רדיוסים במקום רדיוס אחד.

היסטוריה

מתמטיקאים יוונים קדומים חקרו חרוטים כבר בסביבות 300 לפני הספירה. היסודות של אוקלידס הגדירו חרוט כגוף הנוצר מסיבובו של משולש ישר־זווית סביב אחת מניצביו. מאוחר יותר חקר אפולוניוס מפרגה את העקומות הנוצרות מחיתוך חרוט בזוויות שונות, הנקראות כיום חתכי חרוט: המעגל, האליפסה, הפרבולה וההיפרבולה. נוסחת הנפח V = (1/3)πr²h הוכחה על ידי ארכימדס באמצעות שיטת המיצוי, טכניקה גאומטרית שהקדימה את החשבון האינטגרלי בכ־2,000 שנים.

שאלות נפוצות

מה הופך חרוט ל"מעגלי ישר"?

"ישר" פירושו שהקודקוד נמצא ישירות מעל מרכז הבסיס, ולכן הציר מאונך לבסיס. בחרוט אלכסוני הקודקוד נמצא בצד אחד. "מעגלי" פירושו שהבסיס הוא מעגל ולא אליפסה או צורה אחרת.

מהי הנוסחה לנפח חרוט?

V = (1/3)πr²h, כאשר r הוא רדיוס הבסיס ו־h הוא הגובה המאונך. לחישוב הנפח אין צורך בגובה המשופע.

מהי הנוסחה לשטח הפנים של חרוט?

שטח הפנים הכולל הוא A = πr² + πrl, כאשר r הוא הרדיוס ו־l הוא הגובה המשופע. האיבר הראשון הוא שטח הבסיס והאיבר השני הוא שטח המעטפת הצדדית. יש להשמיט את האיבר הראשון אם לחרוט אין בסיס, כמו במשפך פתוח.

מהו גובה משופע, ובמה הוא שונה מגובה?

הגובה הוא המרחק האנכי הישר מהבסיס עד לקודקוד, הנמדד דרך פנים החרוט. הגובה המשופע הוא המרחק לאורך המשטח החיצוני מהקודקוד ועד לשפת הבסיס. הם קשורים בנוסחה l = √(r² + h²), כאשר הגובה המשופע תמיד ארוך יותר מבין השניים אם הרדיוס גדול מאפס.

כיצד מוצאים את נפח החרוט לפי הקוטר שלו?

חלקו את הקוטר ב־2 כדי לקבל את הרדיוס, ולאחר מכן השתמשו בנוסחה V = (1/3)πr²h. לדוגמה, לחרוט שקוטרו 10 cm וגובהו 15 cm יש רדיוס של 5 cm, ולכן V = (1/3)π(5²)(15) ≈ 392.7 cm³.

האם המחשבון פועל גם עבור חרוטים קטומים (גזירים חרוטיים)?

לא. גזיר חרוטי הוא חרוט שחלקו העליון נחתך, ולכן יש לו שני רדיוסים במקום רדיוס אחד, והוא מצריך נוסחאות משלו לנפח ולשטח הפנים.