מחשבון קוטר קונוס - חישוב מגובה ורדיוס

מהו הקוטר של חרוט?

קוטר החרוט הוא רוחב הבסיס המעגלי שלו, הנמדד בקו ישר העובר דרך המרכז. הוא שווה לפעמיים רדיוס הבסיס. אפשר לתאר חרוט גם באמצעות הגובה שלו (המרחק הישר מהבסיס אל הקודקוד) ובאמצעות הגובה המשופע שלו (המרחק מהקודקוד במורד הצד החיצוני של החרוט אל שפת הבסיס). אם ידועים שניים משלושת הערכים האלה, אפשר למצוא את השלישי.

נוסחת קוטר החרוט

יש שתי דרכים נפוצות למצוא את הקוטר, בהתאם למדידות הזמינות.

מגובה ומגובה משופע:

$d = 2\sqrt{s^2 - h^2}$

כאן d הוא הקוטר, s הוא הגובה המשופע, ו־h הוא הגובה. הדבר נובע ממשפט פיתגורס: הגובה המשופע הוא היתר במשולש ישר־זווית שנוצר על ידי הגובה והרדיוס, ולכן $s^2 = h^2 + r^2$. פתרון עבור הרדיוס והכפלתו בשניים נותנים את הקוטר. המחשבון מחשב את אותו ערך בצורה השקולה $2\sqrt{(s-h)(s+h)}$. שתי הצורות נותנות אותה תשובה, אך הצורה השנייה שומרת על יותר ספרות מדויקות כאשר הגובה המשופע גדול רק במעט מהגובה.

מרדיוס:

$d = 2r$

זו פשוט ההגדרה של קוטר. אם הרדיוס כבר ידוע, אין צורך במדידה נוספת.

הגובה הנטוי חייב תמיד להיות ארוך מהגובה, מכיוון שהוא היתר במשולש ישר־זווית, והיתר הוא תמיד הצלע הארוכה ביותר. אם הגובה הנטוי שווה לגובה או קצר ממנו, הצורה המתוארת אינה מייצגת חרוט תקין.

כיצד לחשב את קוטר החרוט

שיטה 1: גובה וגובה משופע

1. מדדו את הגובה (h), המרחק האנכי הישר מהבסיס אל הקודקוד.
2. מדדו את הגובה המשופע (s), המרחק מהקודקוד אל שפת הבסיס לאורך פני החרוט.
3. העלו בריבוע את שני הערכים, החסירו את ריבוע הגובה מריבוע הגובה המשופע, והוציאו שורש ריבועי: $\sqrt{s^2 - h^2}$.
4. הכפילו את התוצאה ב־2 כדי לקבל את הקוטר.

שיטה 2: רדיוס

1. מדדו את הרדיוס (r), המרחק ממרכז הבסיס אל שפתו.
2. הכפילו ב־2.

יש להשתמש רק באחת משתי השיטות בכל פעם. הזנת הגובה, הגובה המשופע והרדיוס יחד אינה חד־משמעית, מכיוון שייתכן ששלושת הערכים אינם מתארים חרוט עקבי.

דוגמה פתורה

דוגמה 1: גובה וגובה משופע

לחרוט יש גובה של 3 יחידות וגובה משופע של 5 יחידות.

$d = 2\sqrt{5^2 - 3^2} = 2\sqrt{25 - 9} = 2\sqrt{16} = 2 \times 4 = 8$

הקוטר הוא 8 יחידות.

דוגמה 2: רדיוס

לחרוט יש רדיוס של 4 יחידות.

$d = 2 \times 4 = 8$

הקוטר הוא 8 יחידות. הדבר תואם לדוגמה 1, מכיוון שלחרוט שגובהו 3 וגובהו המשופע 5 יש רדיוס בסיס של 4.

דוגמה 3: חרוט שטוח

לחרוט יש גובה של 0.1 יחידות וגובה משופע של 10 יחידות.

$d = 2\sqrt{10^2 - 0.1^2} = 2\sqrt{100 - 0.01} = 2\sqrt{99.99} \approx 19.999$

הקוטר הוא בקירוב 20.00 יחידות. כאשר הגובה קטן מאוד ביחס לגובה המשופע, הקוטר מתקרב לפעמיים הגובה המשופע.

דוגמה 4: חרוט דמוי מחט

לחרוט יש גובה של 9.99 יחידות וגובה משופע של 10 יחידות.

$d = 2\sqrt{10^2 - 9.99^2} = 2\sqrt{100 - 99.8001} = 2\sqrt{0.1999} \approx 0.894$

הקוטר הוא בקירוב 0.89 יחידות. כאשר הגובה המשופע ארוך רק במעט מהגובה, החרוט גבוה ודק, וקוטר הבסיס שלו קטן.

שימושים בחישובי קוטר חרוט

קוטר חרוט מופיע בכל מקום שבו מודדים או בונים צורות חרוטיות. מהנדסים נעזרים בו בתכנון משפכים, פיות ומכלים חרוטיים. יצרנים משתמשים בו לקביעת מידות של תבניות ושל חלקים חרוטיים. גאולוגים משתמשים במדידות דומות לתיאור חרוטים געשיים. אותו יחס בין הגובה, הגובה הנטוי והרדיוס חל על כל חרוט מעגלי ישר־זווית, מכובע מסיבה מנייר ועד לחרטום של רקטה.

היסטוריה

המחקר המתמטי של חרוטים החל ביוון העתיקה. אפולוניוס מפרגה, שפעל בסביבות 200 לפנה״ס, כתב חיבור מרכזי בשם חתכי חרוט, שבחן כיצד מישורים החותכים חרוטים יוצרים מעגלים, אליפסות, פרבולות והיפרבולות. הקשר הבסיסי בין גובה החרוט, הרדיוס שלו והגובה המשופע שלו, המבוסס על משפט פיתגורס, ידוע מאז העת העתיקה ועדיין משמש כיום.

שאלות נפוצות

מהו הקוטר של חרוט?

זהו רוחב הבסיס המעגלי של החרוט, הנמדד בקו ישר מצד אחד לצד השני דרך המרכז. הוא שווה לפעמיים רדיוס הבסיס.

כיצד מוצאים את קוטר החרוט ללא הרדיוס?

השתמשו בגובה ובגובה המשופע בנוסחה $d = 2\sqrt{s^2 - h^2}$. נוסחה זו מיישמת את משפט פיתגורס כדי למצוא את הרדיוס, ולאחר מכן מכפילה אותו בשניים.

מהו הקשר בין קוטר החרוט, הגובה והגובה המשופע שלו?

הגובה, הרדיוס והגובה המשופע יוצרים משולש ישר־זווית. הגובה המשופע הוא היתר, הגובה הוא ניצב אחד, והרדיוס הוא הניצב האחר: $s^2 = h^2 + r^2$. הקוטר שווה לפעמיים הרדיוס.

מדוע המחשבון דוחה ערכים מסוימים?

הגובה חייב להיות גדול מאפס. הגובה המשופע חייב להיות גדול מהגובה, מכיוון שהיתר אינו יכול להיות קצר מניצב או שווה לו. הרדיוס חייב להיות גדול מאפס. יש להזין את הגובה והגובה המשופע, או את הרדיוס, בנפרד; הזנת שלושתם יחד אינה חד־משמעית ולכן נדחית. אם מזינים רדיוס לצד גובה, נעשה שימוש ברדיוס בלבד, מכיוון שהרדיוס כבר קובע את הקוטר.

האם לחרוט יכולים להיות שני קטרים שונים?

לחרוט רגיל יש קוטר אחד, בבסיסו, והוא מסתיים בנקודה בקודקוד. לחרוט קטום, שהוא חרוט שחלקו העליון המחודד נחתך ממנו, יש שני קטרים, אחד בכל קצה שטוח.

באילו יחידות יש להשתמש?

כל יחידת מידה עקבית מתאימה, כגון סנטימטרים, מטרים או אינצ׳ים. התוצאה מתקבלת באותה יחידה ששימשה את ערכי הקלט.

מקורות

1. וייסשטיין, אריק ו׳. "Cone." MathWorld, Wolfram Research. https://mathworld.wolfram.com/Cone.html
2. O'Connor, J.J. and Robertson, E.F. "Conic sections." MacTutor History of Mathematics Archive, אוניברסיטת סנט אנדרוז. https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Conic_sections/