מחשבון אליגציה — יחס ערבוב וכמויות

מהו מחשבון אליגציה?

מחשבון אליגציה מחשב את היחס הדרוש לערבוב שני מרכיבים בעלי ערכים שונים, כדי ליצור תערובת שמגיעה לערך יעד. השיטה שעליה הוא מבוסס נקראת אליגציה. היא מתאימה לכל תערובת המורכבת משני חלקים, כגון ערבוב חומר גלם זול עם חומר גלם יקר, או דילול תמיסה מרוכזת בתמיסה חלשה, כל עוד שני המרכיבים נמדדים באותו סולם.

נוסחת האליגציה

האליגציה משווה שלושה מספרים באותו סולם עקבי: ערך זול יותר C, ערך יקר יותר D, וערך תערובת יעד M, כאשר C קטן מ־M ו־M קטן מ־D.

$c : d = (D - M) : (M - C)$

כאשר c הוא מספר החלקים של המרכיב הזול יותר ו-d הוא מספר החלקים של המרכיב היקר יותר.

החלק של כל מרכיב נקבע לפי הפער שבצד האחר של ערך היעד. ככל שערך היעד קרוב יותר לערכו של מרכיב מסוים, כך התערובת זקוקה לכמות גדולה יותר מאותו מרכיב, משום שהממוצע צריך להתקרב לערך זה.

אם ידועה גם כמות כוללת Q, הכמות של כל מרכיב היא:

$A_c = \frac{D - M}{(D - M) + (M - C)} \times Q$

$A_d = \frac{M - C}{(D - M) + (M - C)} \times Q$

כאשר $A_c$ היא הכמות של המרכיב הזול יותר, $A_d$ היא הכמות של המרכיב היקר יותר ו-Q היא הכמות הכוללת.

צלב האליגציה

את הנוסחה מציגים באופן מסורתי בצורת צלב. שני ערכי המרכיבים נמצאים בצד שמאל, ערך היעד נמצא במרכז, וכל הפרש אלכסוני נכתב בפינה הנגדית.

$\begin{matrix} D & \searrow & & \nearrow & M - C \\ & & M & & \\ C & \nearrow & & \searrow & D - M \end{matrix}$

הערך של המרכיב היקר יותר נמצא בפינה השמאלית העליונה, הערך של המרכיב הזול יותר בפינה השמאלית התחתונה, וערך היעד במרכז. ההפרש בפינה הימנית העליונה הוא מספר החלקים של המרכיב היקר יותר; ההפרש בפינה הימנית התחתונה הוא מספר החלקים של המרכיב הזול יותר.

דוגמה פתורה

ערבבו מרכיב בשווי 10 $ עם מרכיב בשווי 30 $ כדי ליצור תערובת בשווי 20 $.

היחס בין החלקים מתקבל כך: זול יותר : יקר יותר = (30 − 20) : (20 − 10) = 10 : 10 = 1 : 1.

שני המרכיבים נדרשים בחלקים שווים. עבור 100 יחידות בסך הכול, פירוש הדבר הוא 50 יחידות מהמרכיב בשווי 10 $ ו־50 יחידות מהמרכיב בשווי 30 $. הערך הממוצע של התערובת הוא בדיוק 20 $.

העברת ערך היעד ל־25 $ משנה את היחס: (30 − 25) : (25 − 10) = 5 : 15, שמצטמצם ל־1 : 3. כעת ערך היעד קרוב יותר לערך היקר יותר, ולכן התערובת זקוקה לכמות הגדולה פי שלושה של המרכיב היקר יותר לעומת המרכיב הזול יותר.

אליגציה חלופית ואליגציה מדיאלית

השיטה שתוארה לעיל נקראת אליגציה חלופית: שני ערכי המרכיבים וערך היעד ידועים, והיחס אינו ידוע. הבעיה ההפוכה נקראת אליגציה מדיאלית: הכמויות והערכים של המרכיבים ידועים, אך ערך התערובת המתקבלת אינו ידוע. אליגציה מדיאלית היא ממוצע משוקלל:

$M = \frac{q_1 \times v_1 + q_2 \times v_2}{q_1 + q_2}$

כאשר M הוא ערך התערובת, q היא כמותו של מרכיב ו-v הוא ערכו, כאשר הסימנים התחיליים מציינים את המרכיב הראשון ואת המרכיב השני.

שתי השיטות בודקות זו את זו. הצבת הכמויות שמתקבלות מחישוב אליגציה חלופית בנוסחת הממוצע המשוקלל צריכה להחזיר את ערך היעד המקורי.

היכן משתמשים באליגציה

• רקיחת תכשירים בבית מרקחת. ערבוב תכשיר בריכוז גבוה עם תכשיר בריכוז נמוך, כגון תמיסה של 70% ותמיסה של 20%, כדי להגיע לריכוז שנקבע. הערכים הם אחוזים או ריכוזים ולא מחירים, אך החישוב זהה.
• תמחור קמעונאי ותמחור סחורות. ערבוב חומר גלם זול עם חומר גלם מובחר כדי להגיע למחיר מכירה או לעלות יחידה רצויים.
• מזון, משקאות וכימיה. דילול תמיסה או העשרתה כדי להגיע לריכוז, לחוזק אלכוהולי או לתכולת סוכר רצויים.

הכלל דורש רק תכונה נמדדת אחת בסולם עקבי, ולכן אותם שלושת המספרים מתאימים לכל המקרים האלה.

כיצד להשתמש במחשבון האליגציה

הזינו את הערך הזול יותר, את הערך היקר יותר ואת ערך תערובת היעד, תוך שימוש באותה יחידת מידה בשלושתם. השדות אינם מקבלים ערכים הנמוכים מאפס. הוסיפו כמות כוללת כדי לראות את הכמות המדויקת הדרושה מכל מרכיב. ערך היעד חייב להימצא אך ורק בין שני ערכי המרכיבים. אי־אפשר להגיע לערך יעד הנמצא מחוץ לטווח הזה באמצעות תערובת של שני המרכיבים, וערך יעד השווה לאחד מהם אינו דורש ערבוב כלל, ולכן בשני המקרים המחשבון מציג הודעת שגיאה במקום יחס.

שאלות נפוצות

מה קורה אם ערך היעד אינו נמצא בין שני ערכי המרכיבים? אין תערובת של שני המרכיבים שיכולה להגיע אליו. לתערובת של פריט בשווי 10 $ ושל פריט בשווי 30 $ תמיד יהיה ערך ממוצע בין 10 $ לבין 30 $, ולכן המחשבון דוחה ערכי יעד שמחוץ לטווח הזה. הוא דוחה גם ערך יעד השווה ל־10 $ או ל־30 $, משום שמרכיב אחד לבדו משיג את הערך הזה ואין יחס לחישוב.

האם יחידת המידה משנה? לא. היחס תלוי רק בהפרשים בין שלושת הערכים, ולכן מחירים, אחוזים וריכוזים כגון mg/mL מתאימים, כל עוד שלושת הקלטים משתמשים באותה יחידה.

האם אליגציה יכולה לטפל בשלושה מרכיבים או יותר? מחשבון זה פותר את המקרה של שני מרכיבים. לבעיות הכוללות שלושה מרכיבים או יותר יש יותר מתשובה תקפה אחת, ובדרך כלל פותרים אותן באמצעות זיווג מרכיבים שניים־שניים או באמצעות מערכת משוואות ליניאריות.

האם אליגציה זהה לממוצע משוקלל? אלה פעולות הפוכות. ממוצע משוקלל, הנקרא גם אליגציה מדיאלית, הופך כמויות ידועות לערך תערובת. אליגציה חלופית הופכת ערך יעד לכמויות הדרושות להשגתו.

מדוע השיטה נקראת אליגציה? השם מגיע מהמילה הלטינית alligare, שפירושה "לקשור" או "לאגד", ומתאר את האופן שבו השיטה קושרת שני ערכים ליחס יעד אחד.

מקורות

• אליגציה — ויקיפדיה
• מחשבון אליגציה — Omni Calculator