מחשבון עקומה אנכית - כלי תכנון כבישים וכבישים

מהו מחשבון עקומה אנכית?

מחשבון עקומה אנכית מחשב את הגבהים, את ערך K ואת נקודות המפתח של עקומה אנכית — עקומה פרבולית שבה משתמשים מהנדסים כדי לחבר שתי דרגות כביש בצורה חלקה. במקום שהכביש ייפגש בזווית חדה שבה השיפוע משתנה, עקומה אנכית ממזגת את שני השיפועים לעקומה רציפה אחת. כך הנסיעה חלקה יותר, הנהגים יכולים לראות למרחק מספיק כדי לעצור בבטחה, והמים מתנקזים כראוי.

מהנדסים משתמשים בעקומות אנכיות בתכנון כבישים מהירים, רחובות, מסילות רכבת, מסלולי המראה ונחיתה ואתרים מדורגים כגון מגרשי חניה. בכל מקום שבו כביש או מסילה צריכים לשנות שיפוע, עקומה אנכית מבצעת את המעבר הזה.

עקומות קודקוד ועקומות שקע

עקומה אנכית היא אחד משני הסוגים, בהתאם להשוואה בין השיפועים לפני העקומה ואחריה. שיפוע נכתב באחוזים: שיפוע של 3% עולה 3 מטרים על כל 100 מטרים של נסיעה.

• עקומת קודקוד: הדרגה ההתחלתית גדולה מהדרגה הסופית (g₁ > g₂). הכביש עולה, עובר על נקודה גבוהה ואז יורד — כמו מעבר על פסגת גבעה.
• עקומת שקע: הדרגה ההתחלתית קטנה מהדרגה הסופית (g₁ < g₂). הכביש יורד, עובר דרך נקודה נמוכה ואז עולה — כמו תחתית של שקע.
• אם שתי הדרגות שוות, אין צורך בעקומה. הכביש כבר ישר.

עקומות קודקוד חשובות בעיקר למרחק ראייה לעצירה: הנהג חייב לראות למרחק מספיק כדי לעצור לפני פגיעה במכשול. עקומות שקע חשובות בעיקר למרחק ראייה בלילה לפי פנסי הרכב ולניקוז, משום שמים נאספים בנקודה הנמוכה.

מונחים מרכזיים

• PVI (נקודת חיתוך אנכית): הנקודה שבה שני קווי הדרגה הישרים היו נפגשים אילו לא הייתה עקומה.
• PVC (נקודת תחילת העקמומיות האנכית): המקום שבו העקומה מתחילה.
• PVT (נקודת השקה אנכית): הנקודה שבה העקומה מסתיימת.
• ערך K: אורך העקומה חלקי השינוי בדרגה. הוא מודד עד כמה העקומה מתונה.
• תחנה: מדידת מרחק לאורך ציר הכביש, המשמשת במקום קואורדינטות רגילות. במחשבון זה, התחנה והגובה מוזנים שניהם במטרים.

עקומה היא בדרך כלל סימטרית: ה־PVC נמצא במרחק של חצי אורך עקומה לפני ה־PVI, וה־PVT נמצא במרחק של חצי אורך עקומה אחריו.

נוסחת העקומה האנכית

הגובה בכל נקודה על העקומה נתון במשוואה ריבועית (פרבולית):

$y = y_{PVC} + g_1 x + \frac{A x^2}{2L}$

• $y$ = הגובה במרחק $x$ מה־PVC
• $y_{PVC}$ = הגובה ב־PVC
• $g_1$ = הדרגה ההתחלתית, כמספר עשרוני (דרגה של 3% היא 0.03)
• $A$ = ההפרש האלגברי בין הדרגות, $g_2 - g_1$ (בצורה עשרונית)
• $L$ = אורך העקומה

נוסחת ערך K

$K = \frac{L}{|g_2 - g_1|}$

$g_1$ ו־$g_2$ הם אחוזים כאן. ערך K גדול יותר מציין עקומה שטוחה ומתונה יותר. מדריכי תכנון כגון "מדיניות לתכנון גאומטרי של כבישים ורחובות" של AASHTO קובעים ערכי K מינימליים לכבישים מהירים, בהתאם למהירות התכנון ולשאלה אם מדובר בעקומת קודקוד או בעקומת שקע.

אם $g_1$ שווה ל־$g_2$, שינוי הדרגה הוא אפס ו־K אינו מוגדר. במקרה כזה המחשבון מציג מקף במקום ערך K. דרגות שההבדל ביניהן קטן מ־0.0001% נחשבות שוות.

PVC ו־PVT

$Station_{PVC} = Station_{PVI} - \frac{L}{2} \qquad Elevation_{PVC} = Elevation_{PVI} - \frac{g_1 L}{200}$

$Station_{PVT} = Station_{PVI} + \frac{L}{2} \qquad Elevation_{PVT} = Elevation_{PVI} + \frac{g_2 L}{200}$

($g_1$ ו־$g_2$ הם אחוזים כאן; חלוקה ב־200 ממירה את האחוז למספר עשרוני ומחילה אותו על חצי מאורך העקומה.)

הנקודה הגבוהה או הנקודה הנמוכה

נקודה גבוהה (בעקומת קודקוד) או נקודה נמוכה (בעקומת שקע) נמצאת על העקומה כאשר לשתי הדרגות סימנים מנוגדים, או כאשר אחת הדרגות שווה בדיוק לאפס. המרחק שלה מה־PVC הוא:

$x = \frac{g_1 L}{g_1 - g_2}$

הוסיפו $x$ לתחנת ה־PVC כדי לקבל את התחנה של הנקודה הגבוהה או הנמוכה, ולאחר מכן השתמשו בנוסחת הגובה שלעיל כדי למצוא את גובהה. כאשר לשתי הדרגות אותו סימן, נקודה זו נמצאת מחוץ לטווח שבין ה־PVC ל־PVT, ולכן הכביש ממשיך לעלות או להמשיך לרדת לאורך כל העקומה, והמחשבון מדווח שאין נקודה גבוהה או נמוכה. כאשר אחת הדרגות היא אפס, הנקודה נמצאת בדיוק ב־PVC או ב־PVT.

כיצד לחשב עקומה אנכית

1. הזינו את הדרגה ההתחלתית ואת הדרגה הסופית, באחוזים. השתמשו במספר חיובי לשיפוע בעלייה ובמספר שלילי לשיפוע בירידה.
2. הזינו את אורך העקומה, במטרים.
3. הזינו את תחנת ה־PVI ואת גובה ה־PVI, שניהם במטרים.
4. קראו את סוג העקומה (קודקוד, שקע או אף אחד), את ערך K, ואת התחנות והגבהים של ה־PVC וה־PVT.
5. אם לדרגות סימנים מנוגדים, או אם אחת מהן אפס, המחשבון מדווח גם על הנקודה הגבוהה או הנמוכה.
6. כדי למצוא את הגובה בכל נקודה אחרת, הזינו תחנת שאילתה. אם התחנה נמצאת מחוץ לעקומה, המחשבון מציין זאת במקום להציג מספר, משום שהנוסחה חלה רק בין ה־PVC ל־PVT.

דוגמה פתורה: עקומת קודקוד

כביש עולה בדרגה של 3%, ואז יורד בדרגה של -2%. ה־PVI נמצא בתחנה 1000.00 m, בגובה 150.00 m. אורך העקומה הוא 400 m.

ערך K: $K = 400 / |{-2} - 3| = 400 / 5 = 80.00$

PVC: תחנה $= 1000 - 400/2 = 800.00$ מ׳; גובה $= 150 - (3 \times 400)/200 = 144.00$ מ׳

PVT: תחנה $= 1000 + 400/2 = 1200.00$ מ׳; גובה $= 150 + (-2 \times 400)/200 = 146.00$ מ׳

נקודה גבוהה: מאחר של־3 ול־−2 יש סימנים מנוגדים, קיימת נקודה גבוהה. $x = (3 \times 400)/(3-(-2)) = 1200/5 = 240$ מ׳ מה־PVC, ולכן התחנה שלה היא $800 + 240 = 1040.00$ מ׳. גובהה הוא $144 + (0.03)(240) + \dfrac{(-0.05)(240)^2}{2(400)} = 144 + 7.2 - 3.6 = 147.60$ מ׳.

דוגמה פתורה: עקומת שקע

כביש יורד בדרגה של -3%, ואז עולה בדרגה של 2%. ה־PVI נמצא בתחנה 500.00 m, בגובה 85.00 m. אורך העקומה הוא 200 m.

ערך K: $K = 200 / |2-(-3)| = 200/5 = 40.00$

PVC: תחנה $= 400.00$ מ׳; גובה $= 85 - (-3 \times 200)/200 = 88.00$ מ׳

PVT: תחנה $= 600.00$ מ׳; גובה $= 85 + (2 \times 200)/200 = 87.00$ מ׳

נקודה נמוכה: $x = (-3 \times 200)/(-3-2) = -600/-5 = 120$ מ׳ מה־PVC, ולכן התחנה שלה היא $400 + 120 = 520.00$ מ׳. גובהה הוא $88 + (-0.03)(120) + \dfrac{(0.05)(120)^2}{2(200)} = 88 - 3.6 + 1.8 = 86.20$ מ׳.

בנקודה נמוכה זו נאספים מי נגר עילי, ולכן מתכנן מציב בה פתח ניקוז ולא ב־PVI.

שאלות נפוצות

מהו ערך K בתכנון עקומה אנכית? ערך K הוא אורך העקומה חלקי ההפרש המוחלט בין שתי הדרגות. הוא מציין כמה מטרים של עקומה נדרשים לשינוי דרגה של 1%. ערך K גבוה יותר מציין עקומה שטוחה ומתונה יותר.

כיצד יודעים אם דרושה עקומת קודקוד או עקומת שקע? משווים בין שתי הדרגות. אם הדרגה ההתחלתית גדולה מהדרגה הסופית, זו עקומת קודקוד. אם הדרגה ההתחלתית קטנה מהדרגה הסופית, זו עקומת שקע. בדרגות שוות אין צורך בעקומה כלל.

מה קורה אם הדרגות ההתחלתית והסופית שוות? אין צורך בעקומה אנכית, משום שהכביש כבר ישר. ערך K אינו מוגדר, מכיוון שחישובו דורש חלוקה בשינוי דרגה השווה לאפס, ולכן המחשבון מציג מקף במקום מספר.

כיצד מוצאים את הנקודה הגבוהה או הנמוכה של עקומה? היא קיימת כאשר לשתי הדרגות סימנים מנוגדים, או כאשר אחת הדרגות היא אפס. המרחק שלה מה־PVC הוא $g_1 L / (g_1 - g_2)$. הוסיפו מרחק זה לתחנת ה־PVC כדי למצוא את מיקומה, ולאחר מכן השתמשו בנוסחת הגובה של העקומה כדי למצוא את גובהה. דרגות בעלות אותו סימן מציבות נקודה זו מחוץ לעקומה, ולכן אין נקודה כזו.

מדוע הנקודה הנמוכה של עקומת שקע חשובה לניקוז? מים הזורמים במורד שני צדי השקע נאספים בנקודה הנמוכה. אם פתח ניקוז מוצב ב־PVI במקום בנקודה הנמוכה האמיתית, מים עלולים להיקוות על הכביש, משום ששתי הנקודות כמעט אף פעם אינן זהות.

האם תחנת שאילתה יכולה להימצא מחוץ לעקומה? כן. נוסחת הגובה חלה רק בין ה־PVC ל־PVT. לתחנה שמחוץ לטווח זה אין גובה מוגדר על העקומה, ולכן המחשבון מדווח שהיא מחוץ לעקומה.