स्थितिज ऊर्जा कैलकुलेटर: PE = mgh

स्थितिज ऊर्जा कैलकुलेटर

गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा वह ऊर्जा है जो किसी पिंड में चुने गए स्तर से उसकी ऊँचाई के कारण संचित रहती है। यह कैलकुलेटर पिंड के द्रव्यमान, उसके स्थान पर गुरुत्वाकर्षण की तीव्रता और उसकी ऊँचाई से उस ऊर्जा की गणना करता है। यह उलटी दिशा में भी काम करता है: ऊर्जा और अन्य तीन में से दो मान दिए जाने पर यह चौथा मान निकाल देता है।

कैलकुलेटर क्या करता है

पृष्ठ पर चार फ़ील्ड हैं: जूल में स्थितिज ऊर्जा, द्रव्यमान, गुरुत्वाकर्षण और ऊँचाई। द्रव्यमान और ऊँचाई, दोनों के लिए इकाई मेनू है। तीन फ़ील्ड भरे जाते हैं और एक खाली छोड़ा जाता है; खाली फ़ील्ड ही उत्तर होता है। इसके बाद चारों मान साथ दिखाए जाते हैं, ताकि दर्ज किए गए तीनों मानों की परिणाम के बगल में जाँच की जा सके।

द्रव्यमान किलोग्राम, ग्राम, मिलीग्राम, मीट्रिक टन, पाउंड, औंस, स्टोन, अमेरिकी शॉर्ट टन या लॉन्ग टन में दर्ज किया जा सकता है। ऊँचाई मीटर, किलोमीटर, सेंटीमीटर, मिलीमीटर, माइक्रोमीटर, नैनोमीटर, मील, गज, फुट, इंच या समुद्री मील में दर्ज की जा सकती है। ऊर्जा के लिए इकाई मेनू नहीं है: इसे जूल में पढ़ा और दिखाया जाता है। गुरुत्वाकर्षण के लिए भी इकाई मेनू नहीं है। इसे मीटर प्रति सेकंड वर्ग में पढ़ा जाता है, इसलिए फुट प्रति सेकंड वर्ग में दिए गए मान को दर्ज करने से पहले परिवर्तित करना पड़ता है।

कोई भी अंकगणित चलने से पहले, साइट की साझा इकाई रजिस्ट्री द्रव्यमान को किलोग्राम और ऊँचाई को मीटर में परिवर्तित करती है। उत्तर को उस फ़ील्ड के लिए चुनी गई इकाई में वापस परिवर्तित किया जाता है। परिणाम आठ सार्थक अंकों तक दिखाए जाते हैं। केवल प्रदर्शन को पूर्णांकित किया जाता है और गणना दर्ज किए गए मानों पर चलती है। 0.0001 से छोटा या 1,00,00,00,000 या उससे अधिक परिणाम वैज्ञानिक संकेतांकन में दिखाया जाता है।

गुरुत्वाकर्षण सहित हर फ़ील्ड प्रारंभ में खाली खुलता है। पता-पट्टी फ़ील्डों के साथ समन्वित रहती है, और खाली फ़ील्ड को लिंक में नहीं लिखा जा सकता; इसलिए साझा लिंक में ठीक वही तीन भरे हुए मान होते हैं और चौथा अगले पाठक के लिए खाली रहता है।

स्थितिज ऊर्जा का सूत्र

$PE = m g h$

जहाँ $PE$ जूल (J) में स्थितिज ऊर्जा है, $m$ किलोग्राम (kg) में द्रव्यमान है, $g$ मीटर प्रति सेकंड वर्ग (m/s²) में गुरुत्वाकर्षण की तीव्रता है और $h$ मीटर (m) में ऊँचाई है।

इसी संबंध को पुनर्व्यवस्थित करने पर अन्य तीन उत्तर मिलते हैं:

$m = \frac{PE}{g h}$

$g = \frac{PE}{m h}$

$h = \frac{PE}{m g}$

ऊर्जा तीनों मानों में से प्रत्येक के साथ समान अनुपात में बढ़ती है। द्रव्यमान दोगुना करने पर ऊर्जा दोगुनी हो जाती है। ऊँचाई दोगुनी करने या पिंड को ऐसे स्थान पर ले जाने पर भी यही होता है जहाँ गुरुत्वाकर्षण का खिंचाव दोगुना हो। यहाँ किसी मान का वर्ग नहीं किया जाता; यही गतिज ऊर्जा से मुख्य अंतर है।

गुरुत्वाकर्षण के लिए हल करना असामान्य दिशा है। इससे इस प्रकार के प्रश्न का उत्तर मिलता है: “इस ऊँचाई पर इस द्रव्यमान के लिए इतनी ऊर्जा उत्पन्न करने वाला खिंचाव कितना होगा?” मापी गई ऊर्जा से एक पिंड की दूसरे पिंड से तुलना करने का यह एक तरीका है।

ऊँचाई पाठक द्वारा चुने गए स्तर से मापी जाती है

स्थितिज ऊर्जा का कोई प्राकृतिक शून्य नहीं होता। सूत्र किसी स्तर के सापेक्ष ऊर्जा देता है और वह स्तर पाठक चुनता है: फ़र्श, भूमि, समुद्र तल या समस्या के अनुकूल कोई अन्य स्तर। इसके बाद ऊँचाइयाँ वहीं से मापी जाती हैं।

उस स्तर से नीचे ऊँचाई ऋणात्मक होती है और उसके साथ ऊर्जा भी ऋणात्मक होती है। पृष्ठ इस चिह्न को बनाए रखता है, उसे शून्य तक सीमित नहीं करता। चुने गए शून्य से 3 मी नीचे स्थित तहखाने का फ़र्श वास्तव में शून्य स्तर से कम ऊर्जा रखता है; उसे शून्य बताना सुव्यवस्थित नहीं, बल्कि गलत होगा।

कौन-से स्थिरांक सटीक हैं

इस पृष्ठ पर इकाई रूपांतरण मानक संस्थाओं द्वारा सहमत परिभाषाएँ हैं, माप नहीं; इसलिए कोई बेहतर प्रयोग उनमें संशोधन नहीं करेगा।

मानक गुरुत्वाकर्षण किसी विशेष स्थान पर लिया गया पाठ नहीं, बल्कि एक परंपरागत मान है। पृथ्वी पर वास्तविक सतही गुरुत्वाकर्षण अक्षांश और ऊँचाई के साथ बदलता है और लगभग 9.76 से 9.83 मी/s² के बीच रहता है। अन्य पिंडों के मान मापे गए और पूर्णांकित हैं: चंद्रमा पर लगभग 1.62 मी/s² और मंगल पर लगभग 3.71 मी/s²।

पृष्ठ गुरुत्वाकर्षण फ़ील्ड में 9.80665 स्वतः नहीं भरता। यह मान फ़ील्ड के पास लिखे विवरण में दिया जाता है और एक परीक्षण उस विवरण को रजिस्ट्री के स्थिरांक से जोड़ता है, ताकि दोनों में अंतर न आ सके।

हल किया गया उदाहरण

पृथ्वी पर मानक गुरुत्वाकर्षण के साथ 70 कि॰ग्रा॰ का व्यक्ति 2 मी सीढ़ियाँ चढ़ता है।

70 को 9.80665 से गुणा करने पर 686.4655 मिलता है। इसे 2 से गुणा करने पर 1,372.931 मिलता है, इसलिए चढ़ने पर 1,372.931 J, यानी लगभग 1.37 किलो-जूल, ऊर्जा संचित होती है।

यही मान उलटी दिशा में भी काम करते हैं। द्रव्यमान को खाली छोड़कर 1,372.931 J, 9.80665 मी/s² और 2 मी दर्ज करें: गुरुत्वाकर्षण से भाग देने पर ठीक 70 मिलता है और पृष्ठ 70 कि॰ग्रा॰ दिखाता है। इसके बजाय गुरुत्वाकर्षण को खाली छोड़ें, तो 1,372.931 J को 70 और फिर 2 से भाग देने पर 9.80665 मी/s² वापस मिलता है।

वही 70 कि॰ग्रा॰ का व्यक्ति चंद्रमा पर 2 मी ऊपर उठने पर, जहाँ गुरुत्वाकर्षण लगभग 1.62 मी/s² है, केवल 226.8 J ऊर्जा संचित करता है, जो लगभग छह गुना कम है।

एक इंपीरियल उदाहरण ऊपर दी गई दो परिभाषित नियत राशियों से शुरू होता है। एक पाउंड 0.45359237 कि॰ग्रा॰ और एक फुट 0.3048 मी होता है। 0.45359237 को 9.80665 से गुणा करने पर 4.4482216152605 मिलता है, जो न्यूटन में एक पाउंड-बल है। इसे 0.3048 से गुणा करने पर 1.3558179483314003 J मिलता है, जो एक फुट-पाउंड-बल है। आठ सार्थक अंकों तक पूर्णांकन के बाद पृष्ठ 1.3558179 J दिखाता है।

एक ऐसा उदाहरण जिसमें परिणाम पूर्णांक नहीं आता: एक बेंच से 0.1 मी ऊपर एक शेल्फ है और बेंच स्वयं फ़र्श से 0.2 मी ऊपर है। कंप्यूटर इन दोनों संख्याओं को द्विआधारी रूप में रखता है और उनका योग 0.30000000000000004 होता है, 0.3 नहीं। उस ऊँचाई पर 1 कि॰ग्रा॰ की पुस्तक की ऊर्जा 2.9419950000000004 J है, जिसे पृष्ठ 2.941995 J दिखाता है। उसी द्रव्यमान और गुरुत्वाकर्षण के साथ उस ऊर्जा को फिर दर्ज करने पर ऊँचाई अंक-दर-अंक उसी प्रारंभिक मान पर लौट आती है।

गणना की व्यवस्था कैसे की गई है

आठ सार्थक अंक पूर्णांकन की छोटी त्रुटि दिखाने के लिए पर्याप्त हैं, इसलिए प्रत्येक पुनर्व्यवस्था को पूर्णांक मानों पर ठीक-ठीक निरस्त होने के लिए लिखा गया है।

प्रत्येक उत्तर उनके गुणनफल से एक बार भाग देने के बजाय प्रत्येक गुणक से एक-एक बार भाग देता है। पहले गुरुत्वाकर्षण और फिर ऊँचाई से भाग देने पर ऐसे दो मान संभाले जा सकते हैं, जिनका गुणनफल अकेले अनंत तक बढ़ सकता या शून्य तक घट सकता है। मानक गुरुत्वाकर्षण के अधीन एक मीटर ऊपर उठाए गए एक किलोग्राम में ठीक 9.80665 J ऊर्जा संचित होती है और उस पंक्ति की प्रत्येक पुनर्व्यवस्था में ठीक 1 से वापस भाग दिया जाता है।

कैलकुलेटर किन चीजों को अस्वीकार करता है

कोई प्रविष्टि बॉक्स उसमें टाइप या चिपकाई गई किसी भी संख्या को आगे भेज देता है, इसलिए महत्वपूर्ण जाँचें गणना कोड में होती हैं।

ऋणात्मक ऊँचाई को अस्वीकार नहीं किया जाता और न ही ऋणात्मक ऊर्जा को, क्योंकि चुने गए शून्य स्तर से नीचे दोनों वास्तविक उत्तर हैं।

दो या अधिक खाली फ़ील्ड, या एक भी खाली फ़ील्ड न होना, त्रुटि के बजाय मार्गदर्शन की स्थिति मानी जाती है। पृष्ठ ठीक एक खाली फ़ील्ड रखने को कहता है और उसी का मान निकालता है।

यह सूत्र कहाँ काम करना बंद कर देता है

यह संबंध मानता है कि चढ़ाई के हर बिंदु पर गुरुत्वाकर्षण की तीव्रता समान है। सतह के पास यह मान्य है, जहाँ कुछ मीटर का परिवर्तन मापने योग्य अंतर नहीं डालता। लेकिन उन दूरियों पर यह विफल होता है जहाँ गुरुत्वाकर्षण स्वयं कम होता जाता है, जैसे उपग्रह की कक्षा में; वहाँ इसके बजाय गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा का व्युत्क्रम-वर्ग सूत्र चाहिए।

यह पृष्ठ केवल गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा को शामिल करता है। खिंचा हुआ स्प्रिंग, संपीडित गैस और रासायनिक बंध, सभी ऊर्जा संचित करते हैं और प्रत्येक का अपना नियम होता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा क्या है? यह वह ऊर्जा है जो किसी पिंड में चुने गए स्तर से उसकी ऊँचाई के कारण संचित रहती है। पिंड को ऊपर उठाने पर उसमें ऊर्जा जाती है। उसे गिरने देने पर वह ऊर्जा, सामान्यतः गति के रूप में, वापस मिलती है। इसकी इकाई जूल है।

स्थितिज ऊर्जा की गणना कैसे की जाती है? किलोग्राम में द्रव्यमान को मीटर प्रति सेकंड वर्ग में गुरुत्वाकर्षण से गुणा करें और फिर मीटर में ऊँचाई से गुणा करें। पृथ्वी पर 70 कि॰ग्रा॰ का व्यक्ति 2 मी चढ़ता है; 70 को 9.80665 से गुणा करने पर 686.4655 मिलता है और 686.4655 को 2 से गुणा करने पर 1,372.931 J मिलता है।

g का कौन-सा मान इस्तेमाल करना चाहिए? पृथ्वी पर रोज़मर्रा की किसी भी समस्या के लिए मानक गुरुत्वाकर्षण, 9.80665 मी/s², उपयुक्त है और मापे जाने के बजाय परिभाषा से सटीक है। सतही गुरुत्वाकर्षण स्थान के अनुसार थोड़ा बदलता है और लगभग 9.76 से 9.83 मी/s² तक होता है। अन्य पिंडों के लिए क्षेत्र का कोई भी मान लिया जा सकता है: चंद्रमा के लिए लगभग 1.62 मी/s² और मंगल के लिए लगभग 3.71 मी/s²।

क्या स्थितिज ऊर्जा ऋणात्मक हो सकती है? हाँ। ऊँचाई पाठक द्वारा चुने गए स्तर से मापी जाती है और उस स्तर से नीचे स्थित पिंड की ऊँचाई तथा ऊर्जा ऋणात्मक होती है। पृष्ठ उस चिह्न को बनाए रखता है। गतिज ऊर्जा अलग तरह से व्यवहार करती है, क्योंकि वर्ग की गई चाल कभी शून्य से कम नहीं होती।

ज्ञात ऊर्जा से ऊँचाई कैसे निकाली जाती है? ऊर्जा को द्रव्यमान से और फिर गुरुत्वाकर्षण से भाग दें। पृथ्वी पर 70 कि॰ग्रा॰ द्रव्यमान के लिए 1,372.931 J को 70 से भाग देने पर 19.6133 मिलता है और उसे 9.80665 से भाग देने पर 2 मी मिलता है।

ऊँचाई शून्य होने पर पृष्ठ द्रव्यमान क्यों नहीं निकालता? चुने गए शून्य स्तर पर पिंड का भार चाहे जो हो, संचित ऊर्जा शून्य होती है; इसलिए ऊर्जा द्रव्यमान के बारे में कुछ नहीं बताती। निकालने के लिए कुछ नहीं है और आवश्यक भाग में हर शून्य होगा।