Kalkulator pravog kružnog stošca - Volumen, Površina i Formule

Što je pravi kružni stožac?

Pravi kružni stožac geometrijsko je tijelo s ravnom kružnom osnovkom i zakrivljenim plaštem koji se sužava do jedne točke, zvane vrh. Naziva se „pravim” jer se vrh nalazi točno iznad središta baze. Okomica spuštena iz vrha na bazu siječe bazu pod pravim kutom. Ovaj kalkulator na temelju polumjera i visine izračunava obujam stošca, površinu baze, površinu plašta i ukupnu površinu.

Uobičajeni primjeri tog oblika uključuju prometne stošce, kornete za sladoled, lijevke i krovove nekih tornjeva.

Mjere stošca

Pravi kružni stožac opisuju dvije mjere:

• Polumjer (r): udaljenost od središta kružne baze do njezina ruba.
• Visina (h): ravna okomita udaljenost od baze do vrha.

Treća duljina, izvodnica (l), jest udaljenost duž vanjske strane stošca od vrha do ruba baze. Ne mjeri se izravno. Umjesto toga, izračunava se iz polumjera i visine jer te tri duljine tvore pravokutni trokut. Kalkulator upotrebljava izvodnicu za izračun površine plašta, ali je ne prikazuje kao zaseban rezultat.

Kalkulator ne propisuje mjernu jedinicu. Unesite polumjer i visinu u istoj jedinici. Svaka će površina tada biti izražena u kvadratima te jedinice, a obujam u kubovima te jedinice. Nijedna vrijednost ne smije biti negativna jer duljina ne može biti negativna; kalkulator umjesto rezultata prikazuje poruku. Rezultati se daju na četiri decimalna mjesta.

Formule za stožac

Formula za izvodnicu

Polumjer, visina i izvodnica tvore pravokutni trokut, pa izvodnica proizlazi iz Pitagorina poučka:

$$l = \sqrt{r^2 + h^2}$$

Formula za površinu baze

Baza je kružnica, pa se njezina površina izračunava standardnom formulom za površinu kruga:

$$A_b = \pi r^2$$

Formula za pobočnu površinu

Plašt obuhvaća samo zakrivljenu stranu, a ne bazu. Kad bi se zakrivljena strana razvila u ravninu, poprimila bi oblik kružnog isječka površine:

$$A_l = \pi r l$$

Formula za ukupnu površinu

Ukupna površina dobiva se zbrajanjem baze i zakrivljene strane:

$$A = A_b + A_l = \pi r^2 + \pi r l = \pi r (r + l)$$

Stožac otvoren na bazi, poput papirnatog lijevka, pri izračunu potrebnog materijala zahtijeva samo plašt.

Formula za obujam stošca

$$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$

Obujam stošca točno je jednak trećini obujma valjka s istom bazom i visinom. Arhimed je tu vezu dokazao metodom koja je prethodila razvoju matematičke analize. Kasnije je to potvrđeno integralnim računom, koji stožac promatra kao beskonačan niz kružnih diskova koji se od baze prema vrhu smanjuju.

Kako izračunati obujam stošca: riješeni primjer

Uzmimo stožac s polumjerom r = 5 jedinica i visinom h = 12 jedinica.

1. Odredite izvodnicu.

$$l = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ jedinica}$$

2. Odredite površinu baze.

$$A_b = \pi (5)^2 = 25\pi \approx 78.54 \text{ jedinica}^2$$

3. Odredite pobočnu površinu.

$$A_l = \pi (5)(13) = 65\pi \approx 204.20 \text{ jedinica}^2$$

4. Odredite ukupnu površinu.

$$A = 25\pi + 65\pi = 90\pi \approx 282.74 \text{ jedinica}^2$$

5. Odredite obujam.

$$V = \frac{1}{3} \pi (5)^2 (12) = 100\pi \approx 314.16 \text{ jedinica}^3$$

Dijagram

Isprekidana okomita crta označava visinu, od baze do vrha. Isprekidana vodoravna crta označava polumjer, od središta baze do njezina ruba.

Gdje se stošci pojavljuju u stvarnom životu

Izračuni obujma i površine stošca pojavljuju se u nekoliko praktičnih područja:

• Izrada limenih proizvoda: plašt određuje količinu ravnog materijala potrebnog za izradu konusnog spremnika, lijevka ili redukcijskog komada kanala, prije dodavanja dodatka za šavove i otpad.
• Kapacitet spremnika: formula za obujam daje kapacitet konusnih spremnika i konusnih dna silosa.
• Graditeljstvo: tornjevi, kape tornjeva i drugi konusni krovni elementi upotrebljavaju pobočnu površinu za procjenu količine krovnog materijala.
• Predmeti svakodnevne uporabe: papirnate čaše, korneti za sladoled i prometni stošci svi su približno pravi kružni stošci.

Ovaj kalkulator pretpostavlja savršen stožac s kružnom bazom i vrhom smještenim iznad središta baze. Stožac kojemu je vrh odrezan, zvan krnji stožac, zahtijeva drugi skup formula jer ima dva polumjera umjesto jednoga.

Povijest

Starogrčki matematičari proučavali su stošce još oko 300. godine pr. Kr. Euklidovi Elementi definirali su stožac kao tijelo nastalo rotacijom pravokutnog trokuta oko jednog od njegovih kateta. Kasnije je Apolonije iz Perge proučavao krivulje nastale presijecanjem stošca pod različitim kutovima, danas zvane konike: kružnicu, elipsu, parabolu i hiperbolu. Formulu za obujam V = (1/3)πr²h dokazao je Arhimed metodom iscrpljivanja, geometrijskom tehnikom koja je za oko 2.000 godina prethodila integralnom računu.

Često postavljana pitanja

Što znači da je stožac „pravi kružni”?

„Pravi” znači da se vrh nalazi okomito iznad središta baze, pa je os okomita na bazu. U kosom stošcu vrh je pomaknut na jednu stranu. „Kružni” znači da je baza kružnica, a ne elipsa ili neki drugi oblik.

Koja je formula za obujam stošca?

V = (1/3)πr²h, gdje je r polumjer baze, a h okomita visina. Za obujam nije potrebna izvodnica.

Koja je formula za površinu stošca?

Ukupna površina iznosi A = πr² + πrl, gdje je r polumjer, a l izvodnica. Prvi član predstavlja površinu baze, a drugi plašt. Prvi član treba izostaviti ako stožac nema bazu, kao kod otvorenog lijevka.

Što je izvodnica i po čemu se razlikuje od visine?

Visina je ravna okomita udaljenost od baze do vrha, mjerena kroz unutrašnjost stošca. Izvodnica je udaljenost duž vanjske površine od vrha do ruba baze. Povezane su izrazom l = √(r² + h²), pri čemu je izvodnica uvijek dulja od visine kada je polumjer veći od nule.

Kako izračunati obujam stošca iz njegova promjera?

Podijelite promjer s 2 da biste dobili polumjer, a zatim upotrijebite V = (1/3)πr²h. Na primjer, stožac s promjerom 10 cm i visinom 15 cm ima polumjer 5 cm, pa je V = (1/3)π(5²)(15) ≈ 392,7 cm³.

Radi li ovaj kalkulator za krnje stošce?

Ne. Krnji stožac je stožac kojemu je vrh odrezan, pa ima dva polumjera umjesto jednoga i zahtijeva vlastite formule za obujam i površinu.