Right Circular Cone Surface Area and Volume Calculator

Kalkulator Prava Cirkularna Kupa

Uvod

Prava cirkularna kupa je trodimenzionalni geometrijski oblik koji se glatko sužava od ravne kružne osnove do tačke koja se naziva vrh ili apex. Naziva se "pravom" jer je segment linije (osa) koji povezuje vrh sa centrom osnove okomit na osnovu. Ovaj kalkulator vam pomaže da pronađete ključne osobine prave cirkularne kupe:

Ukupna površina (A): Zbir površine osnove i lateralne (bočne) površine.
Zapremina (V): Količina prostora unutar kupe.
Lateralna površina (Aₗ): Površina bočne površine kupe.
Površina osnove (A_b): Površina kružne osnove.

Razumevanje ovih osobina je od suštinskog značaja u oblastima kao što su inženjerstvo, arhitektura i razne fizičke nauke.

Formula

Definicije

Neka:

r = Poluprečnik osnove
h = Visina kupe (okomita udaljenost od osnove do vrha)
l = Kosina visina kupe

Kosina visina (l) može se izračunati koristeći Pitagorinu teoremu:

l = \sqrt{r^2 + h^2}

Izračunavanja

Površina osnove (A_b):

Površina kružne osnove je data sa:
$A_b = \pi r^2$
Lateralna površina (Aₗ):

Lateralna površina je površina bočne površine kupe:
$Aₗ = \pi r l$
Ukupna površina (A):

Zbir površine osnove i lateralne površine:
$A = A_b + Aₗ = \pi r^2 + \pi r l = \pi r (r + l)$
Zapremina (V):

Prostor unutar kupe:
$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

Granice slučajeva

Nulti poluprečnik (r = 0): Ako je poluprečnik nulti, kupa se sruši u liniju, što rezultira nulitom zapremine i površina.
Nulta visina (h = 0): Ako je visina nulta, kupa postaje ravni disk (osnova), a zapremina je nulta. Ukupna površina je jednaka površini osnove.
Negativne vrednosti: Negativne vrednosti za poluprečnik ili visinu su ne-fizičke u ovom kontekstu. Kalkulator osigurava da r ≥ 0 i h ≥ 0.

Upotrebe

Inženjering i dizajn

Proizvodnja: Dizajniranje koničnih komponenti kao što su lijevci, zaštitne kupe i delovi mašina.
Građevinarstvo: Izračunavanje potrebnih materijala za konične krovove, tornjeve ili potporne strukture.

Fizičke nauke

Optika: Razumevanje propagacije svetlosti u koničnim strukturama.
Geologija: Modeliranje vulkanskih kupea i izračunavanje zapremina magmatskih komora.

Obrazovanje u matematici

Podučavanje geometrije: Demonstriranje principa trodimenzionalne geometrije i kalkulusa.
Rešavanje problema: Pružanje praktičnih aplikacija za matematičke koncepte.

Alternativne opcije

Izračunavanja cilindra: Za oblike sa uniformnim presekom, formule za cilindar mogu biti prikladnije.
Frustum kupe: Ako je kupa skraćena (sečena), potrebna su izračunavanja za konični frustum.

Istorija

Studija kupea datira još iz antičkih grčkih matematičara kao što su Euklid i Apolonije iz Perge, koji su sistematski proučavali konične preseke. Kupe su bile od suštinskog značaja za razvoj geometrije, kalkulusa i imaju primene u astronomiji i fizici.

Euklidovi elementi: Rane definicije i osobine kupea.
Apolonijevi konični preseci: Detaljna studija krivina formiranih presecanjem kupea sa ravnom.
Razvoj kalkulusa: Izračunavanje zapremina i površina doprinelo je integralnom kalkulusu.

Primeri

Numerički primer

Data kupa sa poluprečnikom r = 5 jedinica i visinom h = 12 jedinica.

Izračunajte kosinu visinu (l):
$l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ jedinica}$
Površina osnove (A_b):
$A_b = \pi r^2 = \pi (5)^2 = 25\pi \approx 78.54 \text{ jedinica}^2$
Lateralna površina (Aₗ):
$Aₗ = \pi r l = \pi (5)(13) = 65\pi \approx 204.20 \text{ jedinica}^2$
Ukupna površina (A):
$A = A_b + Aₗ = 25\pi + 65\pi = 90\pi \approx 282.74 \text{ jedinica}^2$
Zapremina (V):
$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (5)^2 (12) = \frac{1}{3} \pi (25)(12) = 100\pi \approx 314.16 \text{ jedinica}^3$

Primeri koda

Excel

1' Izračunajte osobine prave cirkularne kupe u Excel VBA
2Function ConeProperties(r As Double, h As Double) As String
3    If r < 0 Or h < 0 Then
4        ConeProperties = "Poluprečnik i visina moraju biti nenegativni."
5        Exit Function
6    End If
7    l = Sqr(r ^ 2 + h ^ 2)
8    A_b = WorksheetFunction.Pi() * r ^ 2
9    A_l = WorksheetFunction.Pi() * r * l
10    A = A_b + A_l
11    V = (1 / 3) * WorksheetFunction.Pi() * r ^ 2 * h
12    ConeProperties = "Površina osnove: " & A_b & vbCrLf & _
13                     "Lateralna površina: " & A_l & vbCrLf & _
14                     "Ukupna površina: " & A & vbCrLf & _
15                     "Zapremina: " & V
16End Function
17' Upotreba u Excel ćeliji:
18' =ConeProperties(5, 12)
19

Python

1import math
2
3def cone_properties(r, h):
4    if r < 0 or h < 0:
5        return "Poluprečnik i visina moraju biti nenegativni."
6    l = math.sqrt(r ** 2 + h ** 2)
7    A_b = math.pi * r ** 2
8    A_l = math.pi * r * l
9    A = A_b + A_l
10    V = (1 / 3) * math.pi * r ** 2 * h
11    return {
12        'Površina osnove': A_b,
13        'Lateralna površina': A_l,
14        'Ukupna površina': A,
15        'Zapremina': V
16    }
17
18## Primer upotrebe
19result = cone_properties(5, 12)
20for key, value in result.items():
21    print(f"{key}: {value:.4f}")
22

JavaScript

1function coneProperties(r, h) {
2  if (r < 0 || h < 0) {
3    return "Poluprečnik i visina moraju biti nenegativni.";
4  }
5  const l = Math.sqrt(r ** 2 + h ** 2);
6  const A_b = Math.PI * r ** 2;
7  const A_l = Math.PI * r * l;
8  const A = A_b + A_l;
9  const V = (1 / 3) * Math.PI * r ** 2 * h;
10  return {
11    površinaOsnove: A_b,
12    lateralnaPovršina: A_l,
13    ukupnaPovršina: A,
14    zapremina: V,
15  };
16}
17
18// Primer upotrebe
19const result = coneProperties(5, 12);
20for (const [key, value] of Object.entries(result)) {
21  console.log(`${key}: ${value.toFixed(4)}`);
22}
23

Java

1public class PravaCirkularnaKupa {
2    public static void main(String[] args) {
3        double r = 5;
4        double h = 12;
5        String result = coneProperties(r, h);
6        System.out.println(result);
7    }
8
9    public static String coneProperties(double r, double h) {
10        if (r < 0 || h < 0) {
11            return "Poluprečnik i visina moraju biti nenegativni.";
12        }
13        double l = Math.sqrt(Math.pow(r, 2) + Math.pow(h, 2));
14        double A_b = Math.PI * Math.pow(r, 2);
15        double A_l = Math.PI * r * l;
16        double A = A_b + A_l;
17        double V = (1.0 / 3) * Math.PI * Math.pow(r, 2) * h;
18        return String.format("Površina osnove: %.4f\nLateralna površina: %.4f\nUkupna površina: %.4f\nZapremina: %.4f",
19                A_b, A_l, A, V);
20    }
21}
22

C++

1#include <iostream>
2#include <cmath>
3#include <string>
4
5std::string coneProperties(double r, double h) {
6    if (r < 0 || h < 0) {
7        return "Poluprečnik i visina moraju biti nenegativni.";
8    }
9    double l = std::sqrt(r * r + h * h);
10    double A_b = M_PI * r * r;
11    double A_l = M_PI * r * l;
12    double A = A_b + A_l;
13    double V = (1.0 / 3) * M_PI * r * r * h;
14    char buffer[256];
15    snprintf(buffer, sizeof(buffer), "Površina osnove: %.4f\nLateralna površina: %.4f\nUkupna površina: %.4f\nZapremina: %.4f",
16             A_b, A_l, A, V);
17    return std::string(buffer);
18}
19
20int main() {
21    double r = 5;
22    double h = 12;
23    std::string result = coneProperties(r, h);
24    std::cout << result << std::endl;
25    return 0;
26}
27

Dijagrami

SVG Dijagram Prave Cirkularne Kupe

Objašnjenje dijagrama

Oblik kupe: Kupa je prikazana sa bočnom putanjom i osnovnom elipsom kako bi se predstavio trodimenzionalni oblik.
Visina (h): Prikazana kao isprekidana linija od vrha do centra osnove.
Poluprečnik (r): Prikazan kao isprekidana linija od centra osnove do njenog ivice.
Oznake: Ukazuju na dimenzije kupe.

Reference

Hidraulični prečnik - Vikipedija
Kalkulator otvorenog kanala
Thomas, G. B., & Finney, R. L. (1996). Kalkulus i analitička geometrija. Addison Wesley.

Napomena: Kalkulator osigurava da poluprečnik (r) i visina (h) moraju biti veći ili jednaki nuli. Negativni unosi se smatraju nevažećim i proizvešće poruku o grešci.

Whiz Tools