Kalkulator konusnih presjeka - Krug, Elipsa, Parabola

Što je kalkulator konusnih presjeka?

Kalkulator konusnih presjeka iz nekoliko mjerenja određuje ekscentricitet i standardnu jednadžbu kružnice, elipse, parabole ili hiperbole. Te se četiri krivulje pojavljuju kada ravna ploha presiječe stožac pod različitim kutovima.

Četiri konusna presjeka

Presijecanjem stošca ravno poprijeko dobiva se kružnica. Naginjanjem ravnine dobiva se elipsa. Presijecanjem usporedno s plaštem stošca dobiva se parabola. Presijecanjem kroz obje polovice dvostrukog stošca dobiva se hiperbola.

Svaka krivulja ima ekscentricitet, broj koji pokazuje koliko se razlikuje od savršene kružnice.

• Kružnica: $e = 0$
• Elipsa: $0 < e < 1$
• Parabola: $e = 1$
• Hiperbola: $e > 1$

Kako koristiti ovaj kalkulator

1. Odaberite vrstu konusnog presjeka: kružnica, elipsa, parabola ili hiperbola.
2. Unesite potrebna mjerenja.
   • Kružnica: polumjer ($r$)
   • Elipsa: velika poluos ($a$) i mala poluos ($b$)
   • Parabola: žarišna udaljenost ($f$)
   • Hiperbola: poprečna poluos ($a$) i konjugirana poluos ($b$)
3. Ekscentricitet i standardna jednadžba automatski se prikazuju čim se za odabranu vrstu konusnog presjeka unesu valjane pozitivne vrijednosti; nema gumba Izračunaj koji treba pritisnuti.
4. Graf krivulje prikazuje se ispod rezultata.

Kalkulator ispisuje jednadžbu s već uvrštenim unesenim brojevima, pa se elipsa s $a = 5$ i $b = 3$ prikazuje kao $(x/5)^2 + (y/3)^2 = 1$. To je ista jednadžba kao $x^2/25 + y^2/9 = 1$. Ekscentricitet se prikazuje na četiri decimalna mjesta.

Sve ulazne vrijednosti moraju biti pozitivni brojevi. Kod elipse velika poluos mora biti barem jednako duga kao mala poluos jer je velika poluos po definiciji dulja. Hiperbola nema takvo pravilo: njezina poprečna i konjugirana poluos mogu imati bilo koje pozitivne duljine, uključujući jednake duljine.

Formula kružnice

Za kružnicu polumjera $r$ sa središtem u ishodištu:

$$x^2 + y^2 = r^2$$

Ekscentricitet: $e = 0$.

Kružnica je poseban slučaj elipse u kojem su obje osi jednake duljine, a oba žarišta nalaze se u središtu.

Formula elipse

Za elipsu sa središtem u ishodištu, velikom poluosi $a$ i malom poluosi $b$, pri čemu je $a \geq b > 0$:

$$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$ $$e = \sqrt{1 - \left(\dfrac{b}{a}\right)^2}$$

Primjer: $a = 5$, $b = 3$.

$$e = \sqrt{1 - \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8$$

Jednadžba: $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$

Kada je $a = b$, elipsa postaje kružnica, a $e = 0$.

Formula parabole

Za parabolu otvorenu udesno, sa žarišnom udaljenošću $f$ (udaljenost od vrha do žarišta):

$$y^2 = 4fx$$

Ekscentricitet: $e = 1$, uvijek.

Primjer: $f = 2$. Jednadžba: $y^2 = 8x$.

Formula hiperbole

Za hiperbolu sa središtem u ishodištu, poprečnom poluosi $a$ i konjugiranom poluosi $b$, pri čemu su $a$ i $b$ bilo koji pozitivni brojevi:

$$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$ $$e = \sqrt{1 + \left(\dfrac{b}{a}\right)^2}$$

Poprečna poluos $a$ polovica je udaljenosti između dvaju vrhova, točaka u kojima se krivulja okreće. Konjugirana poluos $b$ polovica je duljine konjugirane osi, dužine povučene kroz središte okomito na nju. Ona određuje koliko se brzo grane razmiču.

Za razliku od elipse, hiperbola ne zahtijeva da $a$ bude veće od $b$. Te su dvije duljine neovisne, pa $b$ može biti manje, jednako ili veće od $a$. Kada je $a = b$, krivulja se naziva pravokutna hiperbola, s ekscentricitetom $\sqrt{2} \approx 1.4142$.

Primjer: $a = 5$, $b = 3$.

$$e = \sqrt{1 + \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 + 0.36} = \sqrt{1.36} \approx 1.1662$$

Jednadžba: $\dfrac{x^2}{25} - \dfrac{y^2}{9} = 1$

Primjene konusnih presjeka u stvarnom svijetu

Planeti i kometi gibaju se po putanjama oblika konusnih presjeka. Keplerov prvi zakon kaže da je orbita planeta elipsa sa Suncem u jednom žarištu. Neki kometi slijede parabolične ili hiperbolične putanje i nikada se ne vraćaju.

Parabole usmjeravaju usporedne zrake u jednu točku, pa inženjeri upotrebljavaju parabolične oblike u satelitskim antenama, zrcalima teleskopa i automobilskim reflektorima. Hiperbolične krivulje pojavljuju se na stijenkama rashladnih tornjeva, gdje taj oblik daje čvrstoću uz manju količinu materijala. Elipse se pojavljuju u lukovima, stropovima galerija šapata i konstrukciji zupčanika.

Kratka povijest konusnih presjeka

Grčki matematičar Menajhmo proučavao je konusne presjeke oko 350. pr. Kr. pokušavajući riješiti problem udvostručavanja kocke. Apolonije iz Perge napisao je opsežan traktat pod nazivom Konike oko 200. pr. Kr. Nazvao je elipsu, parabolu i hiperbolu te opisao njihova svojstva. Stoljećima poslije Johannes Kepler upotrijebio je elipsu za opis gibanja planeta, a Isaac Newton konusne je presjeke upotrijebio za objašnjenje gravitacije.

Često postavljana pitanja

Koje su četiri vrste konusnih presjeka?

Kružnica, elipsa, parabola i hiperbola. Svaki od njih nastaje kada ravnina presiječe stožac pod drukčijim kutom, a svaki ima drukčiji raspon ekscentriciteta.

Kako se izračunava ekscentricitet?

Ekscentricitet je fiksan za kružnicu ($e = 0$) i parabolu ($e = 1$). Za elipsu vrijedi $e = \sqrt{1 - (b/a)^2}$, pri čemu su $a$ velika poluos, a $b$ mala poluos. Za hiperbolu vrijedi $e = \sqrt{1 + (b/a)^2}$, pri čemu su $a$ poprečna poluos, a $b$ konjugirana poluos.

Mora li poprečna poluos hiperbole biti dulja od konjugirane poluosi?

Ne. Za razliku od velike i male poluosi elipse, poprečna poluos ($a$) i konjugirana poluos ($b$) hiperbole neovisne su mjere. Obje moraju biti pozitivne, ali bilo koja od njih može biti veća.

Može li elipsa postati kružnica?

Da. Kada je velika poluos jednaka maloj poluosi, elipsa je kružnica, a njezin je ekscentricitet 0.

Zašto satelitske antene imaju parabolični oblik?

Parabola odražava zrake koje putuju usporedno s njezinom osi u jednu žarišnu točku. Satelitske antene i zrcala teleskopa upotrebljavaju to svojstvo za koncentriranje signala ili svjetlosti u jednoj točki.

Što je pravokutna hiperbola?

Pravokutna hiperbola ona je kod koje je poprečna poluos jednaka konjugiranoj poluosi ($a = b$). Njezine su asimptote okomite, a ekscentricitet je $\sqrt{2} \approx 1.4142$.

Reference

1. Konusni presjek – Wikipedija
2. Ekscentricitet konusnih presjeka – Khan Academy
3. Konike – OpenStax