Kalkulator promjera stošca - Izračunaj iz visine i radijusa

Koliki je promjer stošca?

Promjer stošca jest širina njegove kružne baze, izmjerena ravnom crtom kroz središte. Jednak je dvostrukom polumjeru baze. Stožac se može opisati i svojom visinom (ravnom udaljenošću od baze do vrha) te izvodnicom (udaljenošću od vrha niz vanjsku stranu stošca do ruba baze). Ako su poznate bilo koje dvije od te tri vrijednosti, treća se može izračunati.

Formula za promjer stošca

Promjer se može izračunati na dva uobičajena načina, ovisno o tome koja su mjerenja dostupna.

Iz visine i izvodnice:

$d = 2\sqrt{s^2 - h^2}$

Ovdje je d promjer, s izvodnica, a h visina. To proizlazi iz Pitagorina poučka: izvodnica je hipotenuza pravokutnog trokuta koji tvore visina i polumjer, pa vrijedi $s^2 = h^2 + r^2$. Rješavanjem jednadžbe za polumjer i njegovim udvostručavanjem dobiva se promjer. Kalkulator izračunava istu vrijednost u ekvivalentnom obliku $2\sqrt{(s-h)(s+h)}$. Oba oblika daju isti rezultat, ali drugi zadržava više točnih znamenaka kada je izvodnica tek nešto veća od visine.

Iz polumjera:

$d = 2r$

To je samo definicija promjera. Ako je polumjer već poznat, nije potrebno nijedno drugo mjerenje.

Izvodnica uvijek mora biti dulja od visine jer je hipotenuza pravokutnog trokuta, a hipotenuza je uvijek najdulja stranica. Ako je izvodnica jednaka visini ili kraća od nje, opisani oblik nije valjan stožac.

Kako izračunati promjer stošca

Metoda 1: visina i izvodnica

1. Izmjerite visinu (h), okomitu udaljenost od baze do vrha.
2. Izmjerite izvodnicu (s), udaljenost od vrha do ruba baze po površini stošca.
3. Kvadrirajte obje vrijednosti, od kvadrata izvodnice oduzmite kvadrat visine i izračunajte kvadratni korijen: $\sqrt{s^2 - h^2}$.
4. Dobiveni rezultat pomnožite s 2 da biste dobili promjer.

Metoda 2: polumjer

1. Izmjerite polumjer (r), udaljenost od središta baze do njezina ruba.
2. Pomnožite s 2.

Istodobno treba upotrijebiti samo jednu od te dvije metode. Navođenje visine, izvodnice i polumjera zajedno nije jednoznačno jer te tri vrijednosti možda ne opisuju konzistentan stožac.

Primjer s rješenjem

Primjer 1: visina i izvodnica

Stožac ima visinu od 3 jedinica i izvodnicu od 5 jedinica.

$d = 2\sqrt{5^2 - 3^2} = 2\sqrt{25 - 9} = 2\sqrt{16} = 2 \times 4 = 8$

Promjer iznosi 8 jedinica.

Primjer 2: polumjer

Stožac ima polumjer od 4 jedinica.

$d = 2 \times 4 = 8$

Promjer iznosi 8 jedinica. To se podudara s primjerom 1 jer stožac s visinom 3 i izvodnicom 5 ima polumjer baze 4.

Primjer 3: spljošteni stožac

Stožac ima visinu od 0,1 jedinica i izvodnicu od 10 jedinica.

$d = 2\sqrt{10^2 - 0.1^2} = 2\sqrt{100 - 0.01} = 2\sqrt{99.99} \approx 19.999$

Promjer iznosi približno 20,00 jedinica. Kada je visina vrlo mala u usporedbi s izvodnicom, promjer se približava dvostrukoj izvodnici.

Primjer 4: stožac nalik igli

Stožac ima visinu od 9,99 jedinica i izvodnicu od 10 jedinica.

$d = 2\sqrt{10^2 - 9.99^2} = 2\sqrt{100 - 99.8001} = 2\sqrt{0.1999} \approx 0.894$

Promjer iznosi približno 0,89 jedinica. Kada je izvodnica tek malo dulja od visine, stožac je visok i uzak, a promjer baze malen.

Gdje se primjenjuju izračuni promjera stošca

Promjer stošca pojavljuje se svugdje gdje se mjere ili izrađuju stožasti oblici. Inženjeri ga upotrebljavaju pri projektiranju lijevaka, sapnica i stožastih spremnika. Proizvođači ga upotrebljavaju za određivanje dimenzija kalupa i stožastih dijelova. Geolozi se sličnim mjerenjima koriste za opis vulkanskih stožaca. Isti odnos između visine, izvodnice i polumjera vrijedi za svaki pravi kružni stožac, od papirnatog šešira za zabavu do nosnog stošca rakete.

Povijest

Matematičko proučavanje stožaca seže do antičke Grčke. Apolonije iz Perge, koji je djelovao oko 200. pr. Kr., napisao je opsežnu raspravu pod nazivom Konike, u kojoj je proučavao kako ravnine presijecaju stošce i tvore kružnice, elipse, parabole i hiperbole. Osnovni odnos između visine, polumjera i izvodnice stošca, utemeljen na Pitagorinu poučku, poznat je još od antike i primjenjuje se i danas.

Često postavljana pitanja

Koliki je promjer stošca?

To je širina kružne baze stošca, izmjerena ravno preko baze kroz središte. Jednak je dvostrukom polumjeru baze.

Kako pronaći promjer stošca bez polumjera?

Upotrijebite visinu i izvodnicu s formulom $d = 2\sqrt{s^2 - h^2}$. Njome se primjenjuje Pitagorin poučak za izračun polumjera, a zatim se on udvostručuje.

Kakav je odnos između promjera, visine i izvodnice stošca?

Visina, polumjer i izvodnica tvore pravokutni trokut. Izvodnica je hipotenuza, visina je jedan katet, a polumjer drugi katet: $s^2 = h^2 + r^2$. Promjer je dvostruki polumjer.

Zašto kalkulator odbija neke vrijednosti?

Visina mora biti veća od nule. Izvodnica mora biti veća od visine jer hipotenuza ne može biti kraća od katete ni jednaka kateti. Polumjer mora biti veći od nule. Visinu i izvodnicu ili polumjer treba unijeti zasebno; unos svih triju vrijednosti odjednom nije jednoznačan i odbija se. Ako se uz visinu unese polumjer, upotrebljava se samo polumjer jer on već određuje promjer.

Može li stožac imati dva različita promjera?

Standardni stožac ima jedan promjer, pri bazi, i završava vrhom. Krnji stožac, odnosno stožac kojemu je odrezan šiljasti vrh, ima dva promjera, po jedan na svakom ravnom kraju.

Koje jedinice treba upotrebljavati?

Može se upotrijebiti bilo koja usklađena mjerna jedinica, primjerice centimetri, metri ili inči. Rezultat je izražen u istoj jedinici koja je upotrijebljena za ulazne vrijednosti.

Reference

1. Weisstein, Eric W. "Cone." MathWorld, Wolfram Research. https://mathworld.wolfram.com/Cone.html
2. O'Connor, J. J. i Robertson, E. F. "Conic sections." MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews. https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Conic_sections/