Kalkulator Millerovih indeksa - Pretvorba presjecišta kristalne ravnine u (hkl)

Što su Millerovi indeksi?

Millerovi indeksi skup su od tri cijela broja, zapisana kao (h,k,l), koji određuju ravninu u kristalnoj rešetki. Kristalna rešetka je ponavljajući, pravilno raspoređen sklop atoma u čvrstom materijalu. Millerovi indeksi znanstvenicima točno pokazuju koji presjek kroz tu rešetku ravnina predstavlja, bez potrebe da se njezina geometrija opisuje riječima. Uveo ih je britanski mineralog William Hallowes Miller godine 1839 i danas su standardni zapis u kristalografiji.

Ovaj kalkulator pretvara presjeke ravnine s kristalografskim osima x, y i z u njezine Millerove indekse (h,k,l).

Formula za Millerove indekse

Millerovi indeksi dobivaju se iz recipročnih vrijednosti presjeka ravnine s osima. Ako ravnina siječe osi x, y i z na udaljenostima a, b i c od ishodišta, indeksi zadovoljavaju:

$h : k : l = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c}$

Kako izračunati Millerove indekse iz odsječaka

1. Odredite gdje ravnina siječe svaku os, mjereno u jedinicama duljine brida jedinične ćelije. Ta presjecišta označite s a, b i c.
2. Izračunajte recipročnu vrijednost svakog presjeka: 1/a, 1/b, 1/c.
3. Pomnožite sve tri recipročne vrijednosti istim brojem tako da svaka postane cijeli broj.
4. Podijelite ta tri cijela broja njihovim najvećim zajedničkim djeliteljem tako da ih više nije moguće skratiti.

Tri dobivena cijela broja su h, k i l. Za ravninu koja nikada ne siječe neku os smatra se da je njezin presjek s tom osi u beskonačnosti, a 1 podijeljeno s beskonačnošću iznosi 0, pa ta os dobiva Millerov indeks 0.

Primjer izračuna

Ravnina siječe os x na 2, os y na 3, a os z na 6.

1. Presjecišta: (2, 3, 6)
2. Recipročne vrijednosti: (1/2, 1/3, 1/6)
3. Pomnožite s najmanjim zajedničkim višekratnikom nazivnika, 6: (3, 2, 1)
4. Najveći zajednički djelitelj brojeva 3, 2 i 1 iznosi 1, pa se brojevi više ne mogu skratiti.

Millerovi indeksi su (321).

Drugi primjeri

• Ravnina kroz (1, ∞, 2) — paralelna s osi y — ima recipročne vrijednosti (1, 0, 1/2). Množenjem s 2 dobiva se (2, 0, 1). Vrijednost 0 pokazuje da ravnina nikada ne siječe os y.
• Ravnina kroz (-1, 2, 3) ima recipročne vrijednosti (-1, 1/2, 1/3). Množenjem s 6 dobiva se (-6, 3, 2), što se obično zapisuje kao (6̄32), s crtom iznad negativnog indeksa.
• Ravnina kroz (1, ∞, ∞) ima recipročne vrijednosti (1, 0, 0), što daje (100). To je jedna od šest strana kocke.

Posebni slučajevi

Ravnina paralelna s osi nikada je ne siječe, pa se taj presjek smatra beskonačnim, a njezin Millerov indeks iznosi 0. Ravnina koja siječe os na negativnoj strani ishodišta dobiva negativni indeks, koji se u formalnom zapisu piše s crtom iznad broja, a u običnom tekstu sa znakom minus. Ravnina koja prolazi kroz samo ishodište nema definirane Millerove indekse jer svaki skup paralelnih ravnina u rešetki mora biti pomaknut od ishodišta da bi se mogao indeksirati; prije opisa takve ravnine ishodište treba pomaknuti. Razlomljeni presjeci obrađuju se na isti način kao cijeli brojevi: izračunajte recipročnu vrijednost svakog, a zatim uklonite razlomke.

Indeksi se uvijek svode na najmanje moguće cijele brojeve. (622) i (311) opisuju istu familiju ravnina, ali kristalografi uvijek pišu (311).

Kako se upotrebljava ovaj kalkulator

Unesite presjeke ravnine s osima x, y i z.

• Za presjek na pozitivnoj strani ishodišta upotrijebite pozitivan broj, a za negativnu stranu negativan broj.
• Za ravninu koja je paralelna s osi upišite „infinity”, „inf” ili „∞”.
• Nulti presjek nije prihvaćen jer se ravnini koja prolazi kroz ishodište ovom metodom ne mogu dodijeliti Millerovi indeksi.

Kalkulator odmah izračunava indekse i prikazuje dijagram ravnine unutar jedinične ćelije.

Primjene Millerovih indeksa

Rendgenska difrakcija. Svaka točka ili vrh u uzorku rendgenske difrakcije odgovara skupu rešetkinih ravnina s određenim (hkl). Braggov zakon povezuje razmak između tih ravnina s difrakcijskim kutom:

$n\lambda = 2d_{hkl}\sin\theta$

Ovdje je d_hkl razmak između ravnina (h,k,l), λ valna duljina rendgenskih zraka, a θ difrakcijski kut. Uspoređivanje opaženih vrhova s vrijednostima (hkl), postupak koji se naziva indeksiranje, osnovni je korak u određivanju nepoznate kristalne strukture.

Znanost o materijalima. Različite kristalne ravnine izlažu različite rasporede atoma, pa imaju različite površinske energije, različite brzine kemijskih reakcija i različite uloge u deformaciji metala. U plošno centriranim kubičnim metalima, kao što je aluminij, atomske ravnine najlakše klize jedna uz drugu po ravninama {111}. Silicijeve pločice za računalne čipove obično se režu duž ravnine (100) ili (111), jer taj odabir utječe na ponašanje kasnijih proizvodnih koraka.

Mineralogija. Ravne plohe vidljive na prirodnom kristalu i smjerovi duž kojih se mineral čisto cijepa (njegova kalavost) odgovaraju određenim ravninama niskih indeksa. Halit (kuhinjska sol) cijepa se duž ravnina {100}, a fluorit duž ravnina {111}.

Miller-Bravaisovi indeksi za heksagonske kristale

Heksagonski kristali, poput magnezija, cinka i titana, obično se opisuju sustavom s četiri indeksa (hkil), a ne s tri. Dodatni indeks i nije neovisan; uvijek vrijedi i = -(h+k). Taj oblik olakšava uočavanje da dvije ravnine pripadaju istoj porodici ravnina ekvivalentnih prema simetriji, što nije uvijek očito samo iz troindeksnog Millerova zapisa u heksagonskoj rešetki.

Povijest

Millerove indekse uveo je William Hallowes Miller u svojoj knjizi A Treatise on Crystallography iz 1839. Raniji sustavi označavanja kristalnih ploha već su postojali, ali Millerova metoda uporabe recipročnih vrijednosti presjeka olakšala je razmatranje ravnina paralelnih s osi jer je njihov presjek beskonačan, a njegova recipročna vrijednost jednostavno iznosi 0. Nakon što je Max von Laue otkrio rendgensku difrakciju na kristalima 1912, William Henry Bragg i William Lawrence Bragg pokazali su da Millerovi indeksi točno opisuju ravnine odgovorne za difrakcijske vrhove; za taj su rad podijelili 1915 Nobelovu nagradu za fiziku.

Često postavljana pitanja

Čemu služe Millerovi indeksi? Oni određuju specifične ravnine u kristalnoj rešetki. Upotrebljavaju se za indeksiranje vrhova rendgenske i elektronske difrakcije, opisivanje kliznih ravnina u metalima, određivanje orijentacije poluvodičkih pločica te označavanje ploha i kalavosti minerala.

Što znači nula u Millerovu indeksu? To znači da je ravnina paralelna s tom osi i da je nikada ne siječe. Na primjer, (201) paralelna je s osi y.

Što znače negativni Millerovi indeksi? Oni znače da ravnina siječe tu os na negativnoj strani ishodišta. Negativni indeks zapisuje se crtom iznad broja, kao u (2̄11), ili znakom minus, kao u (-2,1,1).

Zašto ravnina kroz ishodište ne može imati Millerove indekse? Millerovi indeksi dobivaju se iz recipročne vrijednosti presjeka. Ravnina kroz ishodište siječe svaku os na 0, a 1/0 nije definirano, pa metoda ne može dodijeliti indekse ako se ravnina ne pomakne.

Koja je razlika između Millerovih i Miller-Bravaisovih indeksa? Millerovi indeksi (hkl) koriste tri broja i vrijede za svaki kristalni sustav. Miller-Bravaisovi indeksi (hkil) dodaju četvrti, ovisni indeks i uglavnom se upotrebljavaju za heksagonske kristale, gdje olakšavaju prepoznavanje simetrijski ekvivalentnih ravnina.

Kako je razmak između ravnina povezan s Millerovim indeksima? U kubičnom kristalu s duljinom brida a razmak između susjednih ravnina (hkl) iznosi d = a / √(h² + k² + l²). Ravnine s većim indeksima međusobno su bliže. U drugim kristalnim sustavima primjenjuje se slična, ali složenija formula koja uzima u obzir nejednake duljine osi i kutove koji nisu 90°.

Reference

1. Miller, W. H. (1839). A Treatise on Crystallography. Cambridge: J. & J. J. Deighton.
2. Ashcroft, N. W. i Mermin, N. D. (1976). Solid State Physics. Holt, Rinehart and Winston.
3. Hammond, C. (2015). The Basics of Crystallography and Diffraction (4. izdanje). Oxford University Press.
4. Cullity, B. D. i Stock, S. R. (2014). Elements of X-ray Diffraction (3. izdanje). Pearson Education.
5. International Union of Crystallography. (2016). International Tables for Crystallography, Volume A: Space-group symmetry. Wiley.