Kalkulator frekvencije polustepena - transponirajte visinu tona po polustepenima i centima

Što je kalkulator frekvencije polutona?

Kalkulator frekvencije polutona pretvara između glazbenih intervala i frekvencija zvuka mjerenih u hercima (Hz). Radi u dva smjera. Može uzeti početnu frekvenciju i pomaknuti je gore ili dolje za zadani broj polutona i centi te prikazati novu frekvenciju i najbliži glazbeni ton. Može također uzeti dvije frekvencije i prikazati interval između njih u polutonima i centima.

Polustepen je najmanji interval u standardnoj zapadnoj glazbi, razmak između jedne klavirske tipke i neposredno sljedeće, crne ili bijele. Oktava sadrži 12 polustepena. Cent je još manja jedinica: jedna stotina polustepena, pa oktava sadrži 1200 centi. Centi glazbenicima omogućuju mjerenje razlika u visini tona premalih da bi se čule kao promjena tona, primjerice blage raštimanosti.

Kako izračunati frekvenciju polutonskog koraka

Kalkulator koristi jednako temperirani sustav, standardno ugađanje za moderne klavire, gitare i većinu zapadnih instrumenata. U jednako temperiranom sustavu oktava je podijeljena na 12 jednakih koraka, pa su svi polustepeni potpuno jednake veličine.

Za pomak početne frekvencije $f_0$ naviše za $n$ polustepena i $c$ centa:

$f = f_0 \times 2^{(n + c/100)/12}$

Pozitivan $n$ povisuje visinu tona, a negativan $n$ snižava je. Polje za cente služi kao precizni pomak; 100 centi jednako je jednom polustepenu, pa unos 100 centa ima isti učinak kao dodavanje 1 broju polustepena.

Omjer jednako temperiranog sustava

Svaki korak od jednog polustepena množi frekvenciju s:

$r = 2^{1/12} \approx 1.059463$

Množenjem frekvencije s 1,059463 ona se povećava za jedan polustepen. Ako to učinimo 12 puta, frekvencija se udvostručuje, što čini jednu oktavu:

$(2^{1/12})^{12} = 2$

Najbliži ton

Uz frekvenciju kalkulator navodi najbliži jednako temperirani ton, pri čemu koristi A4 = 440 Hz kao referencu. Frekvenciju pretvara u MIDI-broj tona, zaokružuje ga na najbliži cijeli broj, a zatim očitava naziv tona i oktavu:

$m = \operatorname{round}\left(69 + 12 \times \log_2\left(\frac{f}{440}\right)\right)$

Nazivi tonova koriste znanstvenu notaciju visine tona, u kojoj broj označava oktavu: A4 je komorni A na 440 Hz, a C4 je središnji C. Budući da se vrijednost zaokružuje, frekvencija između dvaju tonova prikazuje se kao ton koji joj je bliži.

Kako izračunati polustepene između dviju frekvencija

Drugi način rada primjenjuje isti odnos unatrag. Broj polustepena $n$ između dviju frekvencija iznosi:

$n = 12 \times \log_2\left(\frac{f_2}{f_1}\right)$

Ovdje je $f_1$ početna frekvencija u Hz, a $f_2$ završna frekvencija. Budući da jedan polustepen iznosi 100 centa, verzija u centima množi isti omjer s 1200:

$c = 1200 \times \log_2\left(\frac{f_2}{f_1}\right)$

Pozitivan rezultat znači da je druga frekvencija viša od prve. Negativan rezultat znači da je niža.

Zašto se u formuli koristi logaritam

Ljudski sluh visinu tona procjenjuje prema omjeru frekvencija, a ne prema njihovoj apsolutnoj razlici u Hz. Udvostručavanje frekvencije uvijek zvuči kao isti skok, jedna oktava, bez obzira na početnu frekvenciju.

• 110 Hz do 220 Hz jedna je oktava (12 polustepena)
• 220 Hz do 440 Hz jedna je oktava (12 polustepena)
• 440 Hz do 880 Hz jedna je oktava (12 polustepena)

Svaki par ima drukčiju razliku u Hz, ali isti omjer, pa je potreban logaritam da bi se taj omjer pretvorio u stalnu, linearnu ljestvicu polustepena.

Kako upotrebljavati kalkulator

Najprije odaberite način izračuna.

Frekvencija iz polustepena. Unesite osnovnu frekvenciju u Hz, broj polustepena za pomak (negativan broj za pomak naniže) i neobavezni pomak u centima. Kalkulator vraća novu frekvenciju u Hz i najbliži ton.

Interval između frekvencija. Unesite dvije frekvencije u Hz. Kalkulator vraća interval od prve do druge, u polustepenima i centima.

Svaka unesena frekvencija mora biti veća od nule. Nulta ili negativna frekvencija nema visinu tona, pa kalkulator umjesto rezultata prikazuje pogrešku.

Primjer izračuna

Pomicanje visine tona naviše za polustepene

Srednji C ima frekvenciju od približno 261,63 Hz. Njegovo povišenje za 7 polustepena:

• Frekvencija = 261,63 × 2^(7/12) ≈ 261,63 × 1,059463^7 ≈ 392,00 Hz.
• Najbliža nota: G4.

Sedam polustepena čini čistu kvintu, jedan od najčešćih intervala u glazbi, pa je G iznad srednjeg C očekivani odgovor.

Dodavanje pomaka u centima

Polazeći od komornog A na 440 Hz s 0 polustepena i pomakom od 50 centa:

• Frekvencija = 440 × 2^(50/1200) ≈ 452,89 Hz.

Pedeset centi čini polovicu polustepena, odnosno četvrt tona. Nalazi se na sredini između A4 i A#4, pa je očitanje najbližeg tona samo približno za visinu tona poput ove.

Mjerenje intervala između dviju frekvencija

Kad se ista dva tona unesu u drugi način rada, prvo 261,63 Hz, a zatim 392,00 Hz:

• Polutonovi = 12 × log₂(392,00 / 261,63) ≈ 7,00.
• Centi = 1200 × log₂(392,00 / 261,63) ≈ 699,99.

Rezultat je za djelić centa manji od točnih 700 jer su 261,63 Hz i 392,00 Hz same zaokružene vrijednosti.

Mjerenje male pogreške visine tona

Centi su korisni za vrlo mala odstupanja. Pretpostavimo da prostorija ima neželjenu rezonanciju na 147 Hz, a inženjer radi na snimci izgrađenoj oko tona D, čija je standardna osnovna frekvencija 146,83 Hz.

• Centi = 1200 × log₂(147 / 146,83) ≈ 2,00 centa.

Rezonancija je približno 2 centa viša od tona D, što je razlika premala da bi je većina slušatelja čula kao drukčiju visinu tona, ali se ipak može izmjeriti i vrijedi je uzeti u obzir pri akustičkoj obradi prostorije.

Uobičajeni glazbeni intervali

Tablica navodi standardne nazive intervala u jednako temperiranom sustavu, njihovu veličinu u polustepenima i centima, omjer frekvencija te dobivenu visinu tona pri polazištu A440 (440 Hz).

Ove brojke vrijede samo za jednako temperirani sustav. Drugi sustavi ugađanja smještaju iste nazive intervala na nešto drukčije frekvencije.

Alternativni sustavi ugađanja

Jednako temperirani sustav suvremeni je standard, ali nije jedini način ugađanja glazbe i nije savršeno usklađen s fizikom zvuka.

Prirodno ugađanje temelji intervale na jednostavnim omjerima cijelih brojeva, primjerice 3:2 za čistu kvintu ili 5:4 za veliku tercu. Ti omjeri zajedno zvuče potpuno čisto, bez čujnog pulsiranja, ali se ovisno o intervalu razlikuju od jednako temperiranog sustava za do približno 16 centa. Čista velika terca (5:4) približno je 14 centa niža od velike terce u jednako temperiranom sustavu.

Pitagorejsko ugađanje gradi ljestvicu isključivo od nanizanih čistih kvinti (omjer 3:2). Njegove su kvinte čiste i bez izbijanja, ali velike su terce približno 8 centa više od velikih terci u jednako temperiranom sustavu. U usporedbi s čistom velikom tercom 5:4 prirodnog ugađanja, pitagorejska je terca još viša, za gotovo 22 centa, što je razlika poznata kao sintonička koma. Pitagorejsko ugađanje bilo je uobičajeno u srednjovjekovnoj i ranoj renesansnoj glazbi.

Srednjetonski temperirani sustav neznatno sužava čiste kvinte kako bi velike terce bile čiste. Bio je široko korišten od renesanse do ranog baroka i odgovara glazbi koja ostaje u malom skupu blisko povezanih tonaliteta.

Mikrotonalni sustavi dijele oktavu na više od 12 koraka; česti su izbori 19, 24, 31 ili 53 koraka. Pojavljuju se u eksperimentalnoj i dijelu nezapadne glazbe.

Praktične primjene

• Glazbena produkcija: transponiranje uzoraka, ugađanje oscilatora sintesajzera i provjera usklađenosti slojevitih zvukova.
• Obrada zvuka: dovođenje pojaseva ekvilizatora ili rezonancija prostorije u vezu s glazbenim tonovima, kao u prethodnom primjeru rezonancije prostorije.
• Izrada instrumenata: graditelji gitara postavljaju pragove pomoću konstante 17,817, izvedene iz $2^{1/12}$, pa svaki prag povisuje ton za jedan polustepen. Graditelji orgulja i ljevači zvona istu matematiku koriste za planiranje duljine cijevi i ugađanje zvona.
• Istraživanje i obrazovanje: proučavanje ljudskog opažanja visine tona, analiza životinjskih glasanja ili poučavanje logaritama i fizike zvuka.

Često postavljana pitanja

Kako izračunati frekvenciju udaljenu određeni broj polustepena?

Početnu frekvenciju pomnožite s 2 potenciranom brojem polustepena podijeljenim s 12: f = f₀ × 2^(n/12). Za uključivanje pomaka u centima broju polustepena prije dijeljenja s 12 dodajte cente podijeljene s 100.

Kako izračunati polustepene iz dviju frekvencija?

Podijelite drugu frekvenciju prvom, izračunajte logaritam tog omjera s bazom 2, a zatim rezultat pomnožite s 12: n = 12 × log₂(f₂/f₁). Za rezultat u centima umjesto s 12 množite s 1200.

Koja je razlika između polustepena i centa?

Polustepen je standardni interval između susjednih tonova u zapadnoj glazbi, primjerice susjednih klavirskih tipki. Cent je 1/100 polustepena, pa u oktavi ima 1200 centa. Centi omogućuju finiju ljestvicu za mjerenje malih razlika u visini tona koje se nalaze između polustepena.

Koliko Hz iznosi jedan polustepen?

Ne postoji fiksan broj Hz po polustepenu. Polustepen je omjer, približno 1,059463, a ne fiksna razlika frekvencija, pa njegova veličina u Hz ovisi o početnoj visini tona. Jedan polustepen iznad 440 Hz iznosi 466,16 Hz, što je porast od 26,16 Hz. Jedan polustepen iznad 220 Hz iznosi 233,08 Hz, što je porast od samo 13,08 Hz.

Koja je frekvencija 12 polustepena iznad 440 Hz?

880 Hz. Dvanaest polustepena čini jednu oktavu, a jedna oktava uvijek znači udvostručavanje frekvencije, bez obzira na početnu visinu tona.

Kako su brojevi MIDI-tonova povezani s polustepenima?

Svaki MIDI-broj tona udaljen je jedan polustepen od svojih susjeda. Srednji C je MIDI-ton 60, a A440 je MIDI-ton 69. Frekvencija se iz MIDI-broja tona dobiva formulom f = 440 × 2^((m − 69)/12), koju kalkulator obrće kako bi odredio najbliži ton.

Zašto neki intervali u jednako temperiranom sustavu zvuče blago raštimano?

Jednako temperirani sustav dijeli oktavu na 12 jednakih koraka kako bi se glazba mogla slobodno kretati između tonaliteta, ali taj kompromis većinu intervala malo udaljava od čistih omjera cijelih brojeva prirodnog ugađanja. Velika terca u jednako temperiranom sustavu, primjerice, približno je 14 centa viša od čiste velike terce 5:4. Uvježbani slušatelji to ponekad mogu čuti, iako većina ljudi to pri uobičajenom slušanju ne primjećuje.

Koliko mjerenje frekvencije mora biti točno za ugađanje?

Za uobičajene glazbene potrebe točnost unutar približno 5 centa uglavnom je dovoljna, što je blizu granice prosječnog razlikovanja visine tona. Profesionalno ugađanje instrumenata obično cilja na približno 2 centa, a neki uvježbani glazbenici u dobrim uvjetima mogu otkriti razlike od svega 1 centa.