Kalkulator jedinične kružnice: sinus, kosinus i tangens
Unesite kut u stupnjevima ili radijanima da biste dobili njegovu točku na jediničnoj kružnici, sinus, kosinus, tangens, referentni kut i kvadrant. Točne vrijednosti za standardne kutove.
Unit Circle Calculator
Enter an angle in degrees or radians to get its point on the unit circle, its sine, cosine and tangent, its reference angle and its quadrant. The standard angles are answered exactly.
Point on the circle (x, y)
(√3/2, 1/2)
Sine, cosine and tangent
cos θ (the x coordinate)
√3/2
sin θ (the y coordinate)
1/2
tan θ
√3/3
This is one of the sixteen standard angles, so the values are exact rather than rounded. As decimals: cos θ = 0.8660254, sin θ = 0.5, tan θ = 0.57735027.
Where it lands
Quadrant or axis
Quadrant I
Reference angle
30°
Reference angle in radians
π/6rad
The angle
Angle in degrees
30°
Angle in radians
0.52359878rad
Folded into one turn
30°
Folded angle in radians
π/6rad
The unit circle has radius 1 and is centred on the origin. A point on it is (cos θ, sin θ), so the coordinates and the two function values are the same pair of numbers. The tangent is sin θ divided by cos θ, which has no value where cos θ is 0.
Kalkulator učitavanja...
📚
Dokumentacija
Kalkulator jedinične kružnice
Jedinična kružnica jest kružnica polumjera 1 nacrtana oko ishodišta koordinatnog sustava. Kalkulator jedinične kružnice prima jedan kut i prikazuje gdje taj kut siječe kružnicu: točku (x, y), sinus, kosinus i tangens, referentni kut te kvadrant. Ova stranica očitava kut u stupnjevima ili radijanima i daje egzaktne vrijednosti kao što je √3/2 za šesnaest standardnih kutova.
Što kalkulator radi
Posjetitelj upisuje jedan kut i bira stupnjeve ili radijane. Stranica prikazuje:
- točku (x, y) u kojoj kut siječe kružnicu
- cos θ, sin θ i tan θ
- referentni kut, u stupnjevima i radijanima
- kvadrant ili os ako kut pada na nju
- kut u obje jedinice i isti kut sveden na jedan puni okret
Za šesnaest standardnih kutova odgovori su ispisani u egzaktnim zatvorenim oblicima, a decimalni su zapisi prikazani ispod njih. Svaki drugi kut prikazuje se s osam značajnih znamenki. Zaokružuje se samo prikaz.
Formula jedinične kružnice
Kutovi se mjere suprotno od smjera kazaljke na satu, počevši od pozitivne osi x. Polupravac povučen pod kutom θ siječe kružnicu u jednoj točki, a dvije koordinate te točke jesu kosinus i sinus:
gdje je vodoravna koordinata, okomita koordinata, a kut.
Polumjer je 1, pa su koordinate i dvije funkcijske vrijednosti isti par brojeva pod dvama nazivima. Zato se kružnica crta s polumjerom 1, a ne neke druge veličine. Tangens se dobiva iz istog para:
Svaka točka na kružnici također zadovoljava Pitagorin poučak, primijenjen na pravokutni trokut s katetama i te hipotenuzom 1:
Stupnjevi i radijani
Stranica prihvaća bilo koju od dviju jedinica i prikazuje obje. Povezane su tako da pola okreta iznosi π radijana:
\qquad \theta_{\mathrm{deg}} = \theta_{\mathrm{rad}} \times \frac{180}{\pi}$$ gdje je $\theta_{\mathrm{deg}}$ kut u stupnjevima, a $\theta_{\mathrm{rad}}$ isti kut u radijanima. ### Svođenje na jedan puni okret Kut može biti negativan i može prijeći puni okret. Točka na kružnici ponavlja se svakih 360°, pa stranica najprije svodi kut u raspon od 0° do, ali ne uključujući, 360°: $$\theta_0 = ((\theta \bmod 360) + 360) \bmod 360$$ gdje je $\theta$ upisani kut u stupnjevima, a $\theta_0$ isti smjer zapisan unutar jednog punog okreta. 750° svodi se na 30°, a −30° na 330°. Svođenje se provodi u stupnjevima, gdje je ostatak egzaktan. ### Referentni kut i kvadrant Referentni kut je oštri kut između polupravca i osi x. Nikad nije veći od 90°: $$\theta_{\mathrm{ref}} = \begin{cases} \theta_0 & \text{if } \theta_0 \le 90 \\ 180 - \theta_0 & \text{if } \theta_0 \le 180 \\ \theta_0 - 180 & \text{if } \theta_0 \le 270 \\ 360 - \theta_0 & \text{inače} \end{cases}$$ gdje je $\theta_0$ svedeni kut u stupnjevima. Veličina sinusa, kosinusa i tangensa ovisi samo o referentnom kutu. Kvadrant određuje predznake. | Kvadrant | Svedeni kut | cos | sin | tan | |---|---|---|---|---| | I | od 0° do 90° | + | + | + | | II | od 90° do 180° | − | + | − | | III | od 180° do 270° | − | − | + | | IV | od 270° do 360° | + | − | − | Kutovi 0°, 90°, 180° i 270° nalaze se na osi. Kvadrant je otvoreno područje između dviju osi, pa nijedan od ta četiri kuta nije unutar kvadranta, a stranica umjesto susjednog kvadranta navodi os. ### Šesnaest standardnih kutova Pet referentnih kutova ima egzaktne zatvorene oblike. | Referentni kut | cos | sin | tan | |---|---|---|---| | 0° (0) | 1 | 0 | 0 | | 30° (π/6) | √3/2 | 1/2 | √3/3 | | 45° (π/4) | √2/2 | √2/2 | 1 | | 60° (π/3) | 1/2 | √3/2 | √3 | | 90° (π/2) | 0 | 1 | nije definirano | Zrcaljenjem tih redaka u druga tri kvadranta dobiva se šesnaest kutova: 0, 30, 45, 60, 90, 120, 135, 150, 180, 210, 225, 240, 270, 300, 315 i 330 stupnjeva. Stranica ih generira zakretanjem točaka iz prvog kvadranta za četvrtinu okreta svaki put, umjesto prepisivanja tablice četiri puta, jer se pri prepisivanju može unijeti pogrešan predznak. 15°, 75° i 105° također imaju zatvorene oblike, ali one s dva člana, poput 2 − √3. Ne pripadaju ovoj skupini i prikazuju se kao decimalne vrijednosti. Za 15° dobivaju se cos 0,96592583, sin 0,25881905 i tan 0,26794919. ### Primjer: 210 stupnjeva 210° veći je od 180° i manji od 270°, pa se nalazi u III. kvadrantu. Oduzimanjem 180 dobiva se referentni kut od 30°. Pri referentnom kutu od 30° tri su veličine √3/2, 1/2 i √3/3. III. kvadrant čini obje koordinate negativnima, pa je točka (−√3/2, −1/2). Tangens je količnik negativnog i negativnog broja, pa ostaje pozitivan i iznosi √3/3. U radijanima je kut 7π/6, a referentni kut π/6. Kao decimalne vrijednosti stranica prikazuje cos −0,8660254, sin −0,5 i tan 0,57735027. 570° i −150° daju iste rezultate jer se oba svode na 210°. ### Koje su konstante točne | Konstanta | Vrijednost | Točno? | Izvor | |---|---|---|---| | Stupnjevi u jednom punom okretu | 360 | točno po definiciji | ISO 80000-3 | | Radijani u jednom punom okretu | 2π | točno po definiciji | ISO 80000-3; brošura SI-ja | | cos 30°, sin 60° | √3/2 | egzaktno | NIST DLMF §4,14 | | cos 45°, sin 45° | √2/2 | egzaktno | NIST DLMF §4,14 | | cos 60°, sin 30° | 1/2 | egzaktno | NIST DLMF §4,14 | | tan 90°, tan 270° | nema vrijednosti | egzaktno, pol | NIST DLMF §4,15 | π je iracionalan broj, pa nema točan decimalni ni binarni oblik, a svaka njegova pohranjena vrijednost zaokružena je. Stranica na dva načina sprječava da to zaokruživanje utječe na odgovore. Svođenje se provodi u stupnjevima, gdje je 360 djeljiv bez ostatka. Standardni kutovi čitaju se iz gornje tablice zatvorenih oblika, a nikad iz sinusne funkcije s pomičnim zarezom. ### Očitavanje kuta upisanog u radijanima Unos u radijanima već je zaokruženi decimalni broj. π/2 upisuje se kao 1,5707963267948966, a pretvaranjem natrag dobiva se kut udaljen približno deset bilijuntinki stupnja od 90, a ne točno 90. Zato stranica svaki kut koji je unutar milijuntinke stupnja od standardnog kuta očitava kao taj kut. Tolerancija odabire tablicu koja se upotrebljava; nikad ne proširuje odgovor. 30,001° ne pretvara se u 30°. Kutovi veći od milijardu stupnjeva odbijaju se. To je ograničenje aritmetike, a ne geometrije: razmak između brojeva koje računalo može pohraniti povećava se s njihovom veličinom, a nakon približno četiri i pol milijarde stupnjeva taj je razmak veći od tolerancije od milijuntinke stupnja, pa svođenje više ne čuva dovoljno pojedinosti za određivanje kuta. Granica od milijardu ostavlja određenu rezervu ispod te vrijednosti. ### Često postavljana pitanja **Čemu služi jedinična kružnica?** Pretvara sinus i kosinus u koordinate. Očitavanjem jedne točke s kružnice dobivaju se obje vrijednosti odjednom, a prikaz pokazuje zašto se ponavljaju nakon svakog punog okreta i zašto im se predznaci mijenjaju od jednog kvadranta do drugog. **Koja je egzaktna vrijednost sin 30°?** Jedna polovina. cos 30° iznosi √3/2, približno 0,8660254, a tan 30° iznosi √3/3, približno 0,57735027. **Zašto tan 90° nije definiran?** Tangens je sinus podijeljen kosinusom, a cos 90° iznosi 0. Dijeljenje nulom nema rezultat. Stranica pronalazi pol tako da navede kut, a ne provjerom je li izračunani tangens ispao velik, jer je strmi tangens neposredno prije 90° običan broj. **Što je referentni kut?** To je šiljasti kut između polupravca i osi x, pa se uvijek nalazi između 0° i 90°. Kutovi 150°, 210° i 330° imaju referentni kut 30°, zbog čega njihov sinus i kosinus dijele iste tri veličine, a razlikuju se samo po predznaku. **Djeluje li negativan kut?** Da. Negativan kut zakreće se u smjeru kazaljke na satu. −30° pokazuje u istom smjeru kao 330°, pa stranica vraća točku (√3/2, −1/2) i IV. kvadrant. **Zašto stranica prikazuje kut dvaput?** 750° i 30° sijeku kružnicu u istoj točki, ali nisu ista rotacija. Stranica ponavlja upisani kut, pretvoren u drugu jedinicu, i pokraj njega prikazuje svedeni kut.