Conic Sections Calculator: Explore Curves and Eccentricity

Kalkulator Konik

Pendahuluan

Dengan hanya memotong kerucut dengan sebuah bidang, Anda dapat memperoleh banyak kurva menarik yang dikenal sebagai konik. Ini termasuk lingkaran, elips, parabola, dan hiperbola. Konik adalah dasar dalam matematika dan muncul di berbagai bidang seperti astronomi, fisika, teknik, dan arsitektur.

Kalkulator Konik kami memungkinkan Anda untuk menjelajahi kurva-kurva menarik ini dengan menghitung eksentrikitas dan menurunkan persamaan standar mereka berdasarkan parameter masukan Anda. Masuki dunia konik dan temukan sifat dan aplikasi unik mereka.

Cara Menggunakan Kalkulator Ini

Pilih Jenis Konik:
- Lingkaran
- Elips
- Parabola
- Hiperbola
Masukkan Parameter yang Diperlukan:
- Lingkaran: Masukkan Jari-jari ( $r$ ).
- Elips: Masukkan Sumbu semi-mayor ( $a$ ) dan Sumbu semi-minor ( $b$ ).
- Parabola: Masukkan Panjang Fokus ( $f$ ).
- Hiperbola: Masukkan Sumbu Transverse ( $a$ ) dan Sumbu Konjugasi ( $b$ ).
Klik "Hitung" untuk menghitung:
- Eksentrikitas ( $e$ ).
- Persamaan Standar dari konik.
- Representasi Visual dari kurva.
Tinjau Hasil yang ditampilkan di bawah kalkulator.

Validasi Input

Kalkulator melakukan pemeriksaan berikut pada masukan pengguna:

Nilai Positif: Semua parameter masukan harus berupa angka real positif.
Keterbatasan Elips:
- Sumbu semi-mayor ( $a$ ) harus lebih besar dari atau sama dengan Sumbu semi-minor ( $b$ ).
Keterbatasan Hiperbola:
- Sumbu Transverse ( $a$ ) harus lebih besar dari Sumbu Konjugasi ( $b$ ).

Jika masukan tidak valid diberikan, pesan kesalahan akan ditampilkan, dan perhitungan akan dihentikan sampai masukan yang valid dimasukkan.

Rumus

Eksentrikitas ( $e$ ) adalah parameter kunci yang mendefinisikan bentuk konik, menunjukkan seberapa banyak ia menyimpang dari bentuk lingkaran.

Lingkaran

Eksentrikitas: $e = 0$
Persamaan Standar: $x^2 + y^2 = r^2$
Deskripsi: Lingkaran adalah kasus khusus dari elips di mana titik fokus bertemu di pusat, menghasilkan eksentrikitas nol.

Elips

Eksentrikitas: $e = \sqrt{1 - \left( \dfrac{b}{a} \right)^2}$
Persamaan Standar: $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$
Parameter:
- $a$ : Sumbu semi-mayor (jari-jari terpanjang).
- $b$ : Sumbu semi-minor (jari-jari terpendek).
Deskripsi: Elips adalah bentuk oval di mana jumlah jarak dari titik mana pun pada kurva ke dua titik fokus adalah konstan.

Parabola

Eksentrikitas: $e = 1$
Persamaan Standar (membuka ke kanan): $y^2 = 4 f x$
Parameter:
- $f$ : Panjang Fokus (jarak dari vertex ke fokus).
Deskripsi: Parabola adalah kurva pesawat simetris terbuka yang terbentuk oleh perpotongan kerucut dengan bidang yang sejajar dengan sisinya.

Hiperbola

Eksentrikitas: $e = \sqrt{1 + \left( \dfrac{b}{a} \right)^2}$
Persamaan Standar: $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$
Parameter:
- $a$ : Sumbu Transverse (jarak dari pusat ke vertex sepanjang sumbu x).
- $b$ : Sumbu Konjugasi (berkaitan dengan jarak antara asimtot).
Deskripsi: Hiperbola terdiri dari dua kurva terpisah yang disebut cabang, dan selisih jarak dari titik mana pun pada kurva ke dua titik fokus adalah konstan.

Perhitungan

Berikut cara kalkulator menghitung eksentrikitas dan persamaan:

Untuk Lingkaran:
- Eksentrikitas: $e = 0$ .
- Persamaan: $x^2 + y^2 = r^2$ .
Untuk Elips:
- Pemeriksaan: $a \geq b$ .
- Eksentrikitas: $e = \sqrt{1 - \left( \dfrac{b}{a} \right)^2}$
- Persamaan: $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$
Untuk Parabola:
- Eksentrikitas: $e = 1$ .
- Persamaan: $y^2 = 4 f x$
Untuk Hiperbola:
- Pemeriksaan: $a > b$ .
- Eksentrikitas: $e = \sqrt{1 + \left( \dfrac{b}{a} \right)^2}$
- Persamaan: $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$

Kasus Tepi:

Elips menjadi Lingkaran: Ketika $a = b$ , elips menyederhanakan menjadi lingkaran dengan $e = 0$ .
Masukan Tidak Valid:
- Nilai negatif atau nol tidak valid.
- Untuk elips dan hiperbola, jika $b > a$ , perhitungan tidak dapat dilanjutkan.

Satuan dan Presisi

Satuan: Satuan bersifat sewenang-wenang tetapi harus konsisten (misalnya, semua dalam meter, sentimeter).
Presisi:
- Perhitungan menggunakan aritmetika floating-point presisi ganda.
- Eksentrikitas ditampilkan hingga empat tempat desimal.
- Persamaan mempertahankan presisi yang sama dengan parameter masukan.

Kasus Penggunaan

Konik memiliki aplikasi yang luas:

Astronomi:
- Orbit planet adalah elips, dengan matahari di salah satu fokus.
- Jalur komet dapat berbentuk parabola atau hiperbola.
Fisika:
- Cermin parabola memfokuskan gelombang cahaya dan suara.
- Trajektori hiperbolik menggambarkan gerakan partikel tertentu.
Teknik:
- Merancang piring satelit dan teleskop yang memanfaatkan bentuk parabola.
- Menara pendingin hiperbolik di pembangkit listrik untuk efisiensi struktural.
Arsitektur:
- Lengkungan elips di jembatan dan bangunan untuk daya tarik estetika dan kekuatan.
- Kurva parabola di jembatan gantung.
Optik:
- Bentuk lensa berdasarkan konik untuk mengoreksi aberasi optik.

Alternatif

Kurva dan bentuk lain mungkin dipertimbangkan tergantung pada aplikasi:

Bentuk Lingkaran: Perhitungan yang lebih sederhana ketika presisi konik tidak diperlukan.
Kurva Spline: Digunakan dalam grafik komputer untuk bentuk kompleks.
Kurva Bezier: Digunakan dalam desain dan animasi untuk kurva halus yang dapat diskalakan.

Sejarah

Eksplorasi konik telah berlangsung lebih dari dua milenia:

Menaechmus (sekitar 350 SM): Pertama kali menggambarkan konik saat mencoba menyelesaikan masalah penggandaan kubus.
Euclid dan Archimedes: Mempelajari lebih lanjut sifat konik.
Apollonius dari Perga (sekitar 200 SM): Dikenal sebagai "Geometer Agung," ia menulis karya penting "Konik," yang meletakkan dasar untuk studi konik.
Johannes Kepler (abad ke-17): Menemukan bahwa planet bergerak dalam orbit elips, merumuskan tiga hukum gerakan planet.
Isaac Newton: Menggunakan konik dalam hukum gravitasi universalnya untuk menggambarkan gerakan benda langit.

Konik telah memainkan peran penting dalam kemajuan matematika, fisika, dan teknik, mempengaruhi teknologi modern dan pemahaman ilmiah.

Contoh

Excel (VBA)

1' Fungsi VBA untuk Menghitung Eksentrikitas Hiperbola
2Function HyperbolaEccentricity(a As Double, b As Double) As Double
3    If a <= 0 Or b <= 0 Then
4        HyperbolaEccentricity = CVErr(xlErrValue)
5    ElseIf a <= b Then
6        HyperbolaEccentricity = CVErr(xlErrValue)
7    Else
8        HyperbolaEccentricity = Sqr(1 + (b ^ 2) / (a ^ 2))
9    End If
10End Function
11' Penggunaan di Excel:
12' =HyperbolaEccentricity(5, 3)
13

Python

1import math
2
3def ellipse_eccentricity(a, b):
4    if a <= 0 or b <= 0 or b > a:
5        raise ValueError("Parameter tidak valid: Pastikan bahwa a >= b > 0")
6    e = math.sqrt(1 - (b ** 2) / (a ** 2))
7    return e
8
9## Contoh penggunaan:
10a = 5.0  # Sumbu semi-mayor
11b = 3.0  # Sumbu semi-minor
12ecc = ellipse_eccentricity(a, b)
13print(f"Eksentrikitas elips: {ecc:.4f}")
14

JavaScript

1function calculateEccentricity(a, b) {
2  if (a <= 0 || b <= 0 || b > a) {
3    throw new Error("Parameter tidak valid: a harus >= b > 0");
4  }
5  const e = Math.sqrt(1 - (b ** 2) / (a ** 2));
6  return e;
7}
8
9// Contoh penggunaan:
10const a = 5;
11const b = 3;
12const eccentricity = calculateEccentricity(a, b);
13console.log(`Eksentrikitas: ${eccentricity.toFixed(4)}`);
14

MATLAB

1% Skrip MATLAB untuk Menghitung Eksentrikitas Parabola
2% Untuk parabola, eksentrikitas selalu 1
3e = 1;
4fprintf('Eksentrikitas parabola: %.4f\n', e);
5

C#

1using System;
2
3class ConicSection
4{
5    public static double ParabolaEccentricity()
6    {
7        return 1.0;
8    }
9
10    static void Main()
11    {
12        double eccentricity = ParabolaEccentricity();
13        Console.WriteLine($"Eksentrikitas parabola: {eccentricity}");
14    }
15}
16

Java

1public class ConicSectionCalculator {
2    public static double calculateCircleEccentricity() {
3        return 0.0;
4    }
5
6    public static void main(String[] args) {
7        double e = calculateCircleEccentricity();
8        System.out.printf("Eksentrikitas lingkaran: %.4f%n", e);
9    }
10}
11

Rust

1fn hyperbola_eccentricity(a: f64, b: f64) -> Result<f64, &'static str> {
2    if a <= 0.0 || b <= 0.0 || a <= b {
3        Err("Parameter tidak valid: a harus > b > 0")
4    } else {
5        Ok((1.0 + (b.powi(2) / a.powi(2))).sqrt())
6    }
7}
8
9fn main() {
10    let a = 5.0;
11    let b = 3.0;
12    match hyperbola_eccentricity(a, b) {
13        Ok(eccentricity) => println!("Eksentrikitas: {:.4}", eccentricity),
14        Err(e) => println!("Kesalahan: {}", e),
15    }
16}
17

Contoh Numerik

Lingkaran:
- Jari-jari ( $r$ ): 5 unit
- Eksentrikitas ( $e$ ): $0$
- Persamaan: $x^2 + y^2 = 25$
Elips:
- Sumbu semi-mayor ( $a$ ): 5 unit
- Sumbu semi-minor ( $b$ ): 3 unit
- Eksentrikitas ( $e$ ): $e = \sqrt{1 - \left( \dfrac{3}{5} \right)^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8$
- Persamaan: $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$
Parabola:
- Panjang Fokus ( $f$ ): 2 unit
- Eksentrikitas ( $e$ ): $1$
- Persamaan: $y^2 = 8 x$
Hiperbola:
- Sumbu Transverse ( $a$ ): 5 unit
- Sumbu Konjugasi ( $b$ ): 3 unit
- Eksentrikitas ( $e$ ): $e = \sqrt{1 + \left( \dfrac{3}{5} \right)^2} = \sqrt{1 + 0.36} = \sqrt{1.36} \approx 1.1667$
- Persamaan: $\dfrac{x^2}{25} - \dfrac{y^2}{9} = 1$

Whiz Tools

Conic Sections Calculator: Explore Curves and Eccentricity

Bagian Konik

Dokumentasi