Calcolatore di Caduta Libera - Velocità, Distanza e Tempo

Calcolatore della caduta libera: velocità, distanza e tempo

Un calcolatore della caduta libera determina la velocità di un oggetto che cade sotto l'azione della gravità, la distanza percorsa e l'altezza a cui si trova ancora dal suolo. Inserendo un'altezza iniziale, una velocità iniziale e un tempo trascorso, restituisce la velocità finale, lo spostamento verso il basso e l'altezza finale.

Che cos'è la caduta libera?

La caduta libera è un movimento causato esclusivamente dalla gravità. La resistenza dell'aria viene ignorata. In prossimità della superficie terrestre, ogni oggetto in caduta accelera alla stessa velocità, indipendentemente dalla sua massa. Una moneta e un martello lasciati cadere insieme toccano il suolo nello stesso istante, purché la resistenza dell'aria sia abbastanza ridotta da poter essere ignorata.

Galileo Galilei lo dimostrò sperimentalmente nei primi anni del 1600, confutando l'antica idea secondo cui gli oggetti più pesanti cadono più velocemente. Nel 1971, l'astronauta dell'Apollo 15 David Scott lasciò cadere un martello e una piuma sulla Luna, dove non c'è aria che rallenti la piuma. Entrambi toccarono il suolo insieme, ripresi dalla telecamera.

Il tasso di questa accelerazione è chiamato gravità standard, indicata con g. Il suo valore definito è esattamente 9,80665 metri al secondo quadrato (m/s²), stabilito per accordo internazionale nel 1901. Nelle unità imperiali, la stessa accelerazione è pari a 32,17405 piedi (9,81 m) al secondo quadrato (ft/s²). Questo valore è 9,80665 diviso per 0,3048, il numero esatto di metri contenuti in un piede, arrotondato alla quinta cifra decimale. Molti esempi nei libri di testo arrotondano il valore metrico a 9,81 m/s² per semplificare i calcoli.

Formula della caduta libera

Tre equazioni descrivono ogni problema di caduta libera. La direzione verso il basso è considerata positiva, quindi una velocità positiva è diretta verso il suolo e una negativa verso l'alto.

Formula della velocità

$v = v_0 + gt$

• $v$ = velocità finale
• $v_0$ = velocità iniziale (0 se l'oggetto viene lasciato cadere da fermo; negativa se viene lanciato verso l'alto)
• $g$ = accelerazione di gravità, 9,80665 m/s² o 32,17405 piedi/s² in questo calcolatore
• $t$ = tempo trascorso, in secondi

Formula della distanza

$d = v_0t + \frac{1}{2}gt^2$

Qui $d$ è lo spostamento: la distanza percorsa dall'oggetto verso il basso. Per un oggetto lasciato cadere da fermo ($v_0 = 0$), l'equazione si semplifica in $d = \frac{1}{2}gt^2$. Se l'oggetto è stato lanciato verso l'alto e si trova ancora sopra il punto di rilascio, $d$ risulta negativo.

Formula velocità-distanza

Quando il tempo è sconosciuto, questa equazione collega direttamente velocità e distanza:

$v^2 = v_0^2 + 2gd$

Per un oggetto lasciato cadere da fermo, questa formula si semplifica in $v = \sqrt{2gd}$. È la formula usata per determinare la velocità d'impatto da un'altezza di caduta nota, oppure l'altezza di caduta da una velocità d'impatto nota.

Come calcolare la caduta libera con questo calcolatore

Il calcolatore utilizza quattro impostazioni e restituisce tre risultati.

1. Scegliere un sistema di unità. Il sistema metrico utilizza metri e metri al secondo. Il sistema imperiale utilizza piedi e piedi al secondo.
2. Inserire l'altezza iniziale, cioè l'altezza da cui l'oggetto parte rispetto al suolo. Non può essere negativa.
3. Inserire la velocità iniziale. Usare 0 per un oggetto lasciato cadere da fermo, un numero positivo per un oggetto lanciato verso il basso o un numero negativo per un oggetto lanciato verso l'alto.
4. Inserire il tempo trascorso dal rilascio dell'oggetto. Deve essere maggiore di zero.

I risultati sono la velocità finale, lo spostamento e l'altezza finale (l'altezza iniziale meno lo spostamento). In questo caso il tempo è un dato di ingresso, non un risultato: il calcolatore non esegue il calcolo inverso a partire da una velocità o una distanza obiettivo.

Se il tempo inserito è abbastanza lungo perché l'oggetto abbia già raggiunto il suolo, il calcolatore lo segnala invece di riportare un'altezza finale negativa.

Esempio: impostazione predefinita

Un oggetto viene lasciato cadere da fermo da un'altezza di 100 metri. Dove si trova dopo 3 secondi?

Velocità dopo 3 secondi:

$v = 0 + 9.80665 \times 3 = 29.41995 \approx 29.42 \text{ m/s}$

Spostamento durante quei 3 secondi:

$d = \frac{1}{2} \times 9.80665 \times 3^2 = 44.129925 \approx 44.13 \text{ m}$

Altezza finale:

$100 - 44.129925 = 55.870075 \approx 55.87 \text{ m}$

Quindi l'oggetto sta cadendo a circa 29,42 m/s, è sceso di circa 44,13 m e si trova ancora a circa 55,87 m dal suolo.

Esempio: tempo e velocità da un'altezza nota

Una chiave inglese viene lasciata cadere da un'impalcatura alta 20 metri. Quanto tempo impiega a raggiungere il suolo e con quale velocità lo colpisce?

Usando $d = \frac{1}{2}gt^2$ con $d = 20$ m e $g = 9.81$ m/s²:

$t = \sqrt{\frac{2 \times 20}{9.81}} \approx 2.02 \text{ secondi}$

$v = gt = 9.81 \times 2.02 \approx 19.8 \text{ m/s (circa 71 km/h)}$

Esempio: altezza dalla velocità d'impatto

Un oggetto tocca il suolo a 25 m/s dopo essere stato lasciato cadere da fermo. Da quale altezza è caduto?

Usando $v^2 = 2gd$:

$d = \frac{v^2}{2g} = \frac{25^2}{2 \times 9.81} = \frac{625}{19.62} \approx 31.9 \text{ metri}$

È all'incirca l'altezza di un edificio di dieci piani.

Come varia la gravità

La gravità standard, 9,80665 m/s², è un valore medio di riferimento. La gravità effettiva varia leggermente sulla superficie terrestre. È più debole all'equatore (circa 9,78 m/s²) che ai poli (circa 9,83 m/s²), perché la Terra è più rigonfia all'equatore e lì ruota più velocemente. La gravità diminuisce leggermente anche con l'altitudine: a 10.000 metri scende a circa 9,78 m/s².

Gli altri corpi celesti hanno gravità molto diverse, quindi le stesse formule producono risultati molto differenti:

La gravità lunare è circa un sesto di quella terrestre, quindi un oggetto lasciato cadere sulla Luna percorre, nello stesso tempo, una distanza pari a circa un sesto.

Caduta libera e resistenza dell'aria

Queste formule presuppongono il vuoto, senza aria che ostacoli l'oggetto. La resistenza dell'aria cresce con il quadrato della velocità, quindi è più rilevante alle velocità elevate. Ha un effetto ridotto su un oggetto denso e compatto, come una chiave inglese o una pietra, che cade da un'altezza contenuta. Ha invece un effetto considerevole sugli oggetti leggeri o dalla superficie ampia, come una piuma, un foglio di carta o un paracadute.

Quando la resistenza dell'aria diventa abbastanza grande da uguagliare la forza di gravità, l'oggetto smette di accelerare e cade a velocità costante, chiamata velocità terminale. Un paracadutista in posizione prona raggiunge in genere una velocità terminale vicina a 53 metri al secondo, circa 190 km/h o 120 mph, prima di aprire il paracadute.

Domande frequenti

Che cos'è la caduta libera in fisica?

La caduta libera è il movimento di un oggetto sottoposto alla sola gravità, ignorando la resistenza dell'aria. In prossimità della superficie terrestre, tutti gli oggetti in caduta accelerano verso il basso alla stessa velocità, circa 9,81 m/s², indipendentemente dalla loro massa.

Perché tutti gli oggetti cadono alla stessa velocità?

La gravità esercita una forza maggiore su un oggetto più pesante, ma un oggetto più pesante oppone anche una maggiore resistenza ai cambiamenti del movimento, poiché ha più inerzia. I due effetti si annullano esattamente, quindi la massa non influisce sul tasso di accelerazione nella caduta libera.

Qual è la formula della velocità nella caduta libera?

$v = v_0 + gt$, dove $v_0$ è la velocità iniziale, $g$ è l'accelerazione di gravità e $t$ è il tempo. Per un oggetto lasciato cadere da fermo, diventa semplicemente $v = gt$.

Qual è la formula della distanza nella caduta libera?

$d = v_0t + \frac{1}{2}gt^2$. Per un oggetto lasciato cadere da fermo, si semplifica in $d = \frac{1}{2}gt^2$.

Perché lo spostamento a volte è negativo?

In questo calcolatore, la direzione verso il basso è considerata positiva. Uno spostamento negativo significa che l'oggetto si trova sopra il punto da cui è stato rilasciato; ciò accade quando è stato lanciato verso l'alto e non è ancora ricaduto. Lanciare una palla verso l'alto a 10 m/s e controllarla dopo 1 secondo: $d = -10 \times 1 + \frac{1}{2} \times 9.80665 \times 1^2 = -5.10$ m, quindi si trova 5,10 m più in alto del punto di partenza.

Quanto tempo impiega un oggetto a cadere da una determinata altezza?

Risolvendo la formula della distanza rispetto al tempo si ottiene $t = \sqrt{2d/g}$, per un oggetto lasciato cadere da fermo. Una caduta di 20 metri richiede circa 2,02 secondi.

Perché questo calcolatore usa 9,80665 m/s² invece di 9,8?

9,80665 m/s² è il valore esatto della gravità standard definito a livello internazionale e adottato nel 1901. Arrotondarlo a 9,8 o 9,81 è comune nei libri di testo ed è sufficientemente preciso per la maggior parte degli scopi. Il calcolatore usa il valore definito affinché i risultati metrici e imperiali descrivano la stessa caduta fisica, cosa che non avviene con la coppia arrotondata 9,8 m/s² e 32,2 piedi/s².

Questo calcolatore tiene conto della resistenza dell'aria?

No. Presuppone una caduta libera idealizzata nel vuoto. Fornisce risultati accurati per oggetti densi e compatti che cadono da altezze moderate, ma sovrastima la velocità e la distanza per oggetti leggeri o dalla superficie ampia, oppure per cadute molto lunghe durante le quali la resistenza dell'aria diventa rilevante.