Calcolatore dell'Ipotenusa - Strumento del Teorema di Pitagora

Calcolatore dell'ipotenusa

Un calcolatore dell'ipotenusa trova la lunghezza del lato più lungo di un triangolo rettangolo, detto ipotenusa. Usa il teorema di Pitagora, una regola che collega i tre lati di qualsiasi triangolo rettangolo.

Che cos'è l'ipotenusa?

Un triangolo rettangolo ha un angolo di 90 gradi, formato nel punto in cui due lati si incontrano ad angolo retto. Questi due lati si chiamano cateti. Il terzo lato, opposto all'angolo retto, è l'ipotenusa. È sempre il lato più lungo del triangolo.

Formula del teorema di Pitagora

Il teorema di Pitagora afferma che il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati dei due cateti.

$c = \sqrt{a^2 + b^2}$

• c è l'ipotenusa
• a e b sono i due cateti

Per trovare un cateto mancante invece dell'ipotenusa, la formula può essere riarrangiata:

$a = \sqrt{c^2 - b^2} \qquad\qquad b = \sqrt{c^2 - a^2}$

Il teorema prende il nome dal filosofo greco Pitagora, che nacque intorno al 570 a.C. e morì intorno al 490 a.C.. La relazione era però nota prima. Alcune tavolette d'argilla del periodo paleobabilonese, risalenti a un periodo tra il 1900 e il 1600 a.C. circa, mostrano che i matematici babilonesi la conoscevano già, più di mille anni prima di Pitagora.

Come calcolare l'ipotenusa

Per trovare l'ipotenusa a mano si seguono quattro passaggi.

1. Si eleva al quadrato la lunghezza del lato A (la si moltiplica per se stessa).
2. Si eleva al quadrato la lunghezza del lato B.
3. Si sommano i due valori elevati al quadrato.
4. Si calcola la radice quadrata di tale somma.

Il calcolatore di questa pagina esegue gli stessi quattro passaggi. Dal menu si sceglie "Trova ipotenusa", "Trova lato A" o "Trova lato B", poi si inseriscono le due lunghezze note. Il risultato si aggiorna non appena vengono inseriti numeri validi, arrotondato a due decimali.

Entrambi i lati devono usare la stessa unità di misura, per esempio pollici o metri. Il calcolatore non converte tra unità diverse, quindi un valore inserito in piedi e uno inserito in pollici non producono insieme un risultato sensato.

Esempio pratico

Un triangolo rettangolo ha un lato A di 3 piedi (0,91 m) e un lato B di 4 piedi (1,2 m).

c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5,00 piedi (1,52 m)

Questa terna 3-4-5 è una scorciatoia usata dai carpentieri per verificare che un angolo sia retto. Si misurano 3 piedi (0,91 m) lungo un bordo e 4 piedi (1,2 m) lungo il bordo perpendicolare. La distanza in diagonale tra i due punti deve misurare esattamente 5 piedi (1,5 m). Qualsiasi multiplo della terna funziona allo stesso modo, per esempio 6-8-10 o 30-40-50.

Un secondo esempio usa valori decimali. Un triangolo rettangolo ha un lato A di 2,5 pollici (6,35 cm) e un lato B di 6,8 pollici (17,3 cm).

c = √(2,5² + 6,8²) = √(6,25 + 46,24) = √52,49 ≈ 7,244998, che viene mostrato come 7,24 pollici (18,4 cm)

Le dimensioni dei televisori e dei monitor si misurano in questo modo. La dimensione dichiarata dello schermo è la diagonale, cioè l'ipotenusa del rettangolo formato dalla larghezza e dall'altezza dello schermo.

Trovare un lato mancante

Se l'ipotenusa e un cateto sono già noti, il calcolatore può trovare l'altro cateto. Si seleziona "Trova lato A" o "Trova lato B", poi si inseriscono l'ipotenusa e il cateto noto.

Per esempio, un triangolo rettangolo ha un'ipotenusa di 10 metri e un lato B di 6 metri.

a = √(10² − 6²) = √(100 − 36) = √64 = 8,00 metri

L'ipotenusa deve essere sempre più lunga di ciascun cateto, perché è il lato più lungo del triangolo. Se il valore inserito per l'ipotenusa non è maggiore del cateto noto, il calcolatore mostra un errore invece di un risultato, perché un triangolo rettangolo di questo tipo non esiste.

Usi comuni

Il teorema di Pitagora si usa ogni volta che occorre trovare una distanza diagonale rettilinea a partire da due misure perpendicolari.

• Edilizia e carpenteria: verifica dell'ortogonalità di un telaio o dell'angolo di una parete e calcolo della lunghezza dei puntoni o dei cosciali delle scale.
• Topografia: conversione delle distanze orizzontali e verticali in una distanza diretta in linea d'aria.
• Navigazione e computer grafica: la formula della distanza tra due punti di un grafico, d = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²], è lo stesso teorema applicato alle coordinate.
• Didattica: è una delle prime dimostrazioni geometriche che la maggior parte degli studenti incontra e si può verificare con semplici esempi in numeri interi come 3-4-5 o 5-12-13.

Il teorema vale solo per i triangoli rettangoli. Per un triangolo privo di un angolo di 90 gradi si usa invece il teorema del coseno.

Domande frequenti

Qual è la formula dell'ipotenusa? c = √(a² + b²), dove a e b sono i due cateti di un triangolo rettangolo e c è l'ipotenusa.

Si può usare per triangoli privi di un angolo retto? No. Il teorema di Pitagora vale solo per i triangoli rettangoli. Un triangolo privo di un angolo di 90 gradi richiede invece il teorema del coseno.

Che cos'è la regola 3-4-5? È una scorciatoia per verificare un angolo retto. Se un lato misura 3 unità, un lato adiacente perpendicolare misura 4 unità e la diagonale tra i loro estremi misura 5 unità, l'angolo è retto. Qualsiasi multiplo di 3-4-5, come 6-8-10 o 30-40-50, funziona allo stesso modo.

I due lati devono usare la stessa unità di misura? Sì. Entrambi i cateti devono essere inseriti nella stessa unità, per esempio entrambi in piedi o entrambi in metri. Mescolare unità diverse, come piedi e pollici, produce un risultato matematicamente corretto ma fisicamente privo di senso.

Perché il calcolatore mostra un errore per alcune combinazioni di ipotenusa e lato? L'ipotenusa è sempre il lato più lungo di un triangolo rettangolo. Se il valore inserito per l'ipotenusa non è maggiore del cateto noto, non esiste alcun triangolo rettangolo valido, quindi il calcolatore restituisce un errore invece di un risultato.

Quante cifre decimali mostra il risultato? Due. Il calcolatore mantiene internamente la precisione completa durante il calcolo e arrotonda solo il numero visualizzato.

È la stessa cosa della formula della distanza? Sì. La formula della distanza nella geometria analitica, d = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²], è il teorema di Pitagora applicato a due punti di un grafico. Le distanze orizzontale e verticale tra i punti formano i due cateti di un triangolo rettangolo.

Riferimenti

1. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. Pythagoras of Samos. st-andrews.ac.uk — Pitagora nato intorno al 570 a.C., morto intorno al 490 a.C.
2. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. Pythagoras's theorem in Babylonian mathematics. st-andrews.ac.uk — tavolette paleobabilonesi (1900–1600 a.C.) che mostrano una buona comprensione del teorema.