본문으로 건너뛰기
🛠️
Whiz Tools

단위원 계산기: 정확한 사인, 코사인, 탄젠트

각도를 도 또는 라디안으로 입력하면 단위원 위의 좌표, 사인, 코사인, 탄젠트, 기준각과 사분면을 확인할 수 있습니다. 주요 각도의 정확한 값을 제공합니다.

Unit Circle Calculator

Enter an angle in degrees or radians to get its point on the unit circle, its sine, cosine and tangent, its reference angle and its quadrant. The standard angles are answered exactly.

The angle to place on the circle, in the unit chosen below. Any value is allowed, including a negative one and one past a full turn.

Point on the circle (x, y)
(√3/2, 1/2)

Sine, cosine and tangent

cos θ (the x coordinate)
√3/2
sin θ (the y coordinate)
1/2
tan θ
√3/3
This is one of the sixteen standard angles, so the values are exact rather than rounded. As decimals: cos θ = 0.8660254, sin θ = 0.5, tan θ = 0.57735027.

Where it lands

Quadrant or axis
Quadrant I
Reference angle
30°
Reference angle in radians
π/6rad

The angle

Angle in degrees
30°
Angle in radians
0.52359878rad
Folded into one turn
30°
Folded angle in radians
π/6rad
The unit circle has radius 1 and is centred on the origin. A point on it is (cos θ, sin θ), so the coordinates and the two function values are the same pair of numbers. The tangent is sin θ divided by cos θ, which has no value where cos θ is 0.
로딩 계산기...
📚

문서화

단위원 계산기

단위원은 그래프의 원점을 중심으로 반지름 1인 원이다. 단위원 계산기는 각도 하나를 입력받아 그 각도가 원과 만나는 위치, 즉 점 (x, y), 사인, 코사인과 탄젠트, 기준각 및 사분면을 알려 준다. 이 페이지는 각도를 도 또는 라디안으로 읽고, 16개의 표준각에서 √3/2와 같은 정확한 값을 제공한다.

계산기의 기능

사용자는 각도 하나를 입력하고 도 또는 라디안을 선택한다. 페이지에는 다음이 표시된다.

  • 각도가 원과 교차하는 점 (x, y)
  • cos θ, sin θ 및 tan θ
  • 도와 라디안으로 표시한 기준각
  • 사분면 또는 각도가 놓이는 축
  • 두 단위로 표시한 각도와 한 바퀴 안으로 접은 동일한 각도

16개의 표준각에 대해서는 정확한 닫힌 형식으로 답을 표시하고 그 아래에 소수값을 보여 준다. 그 밖의 각도는 유효 숫자 8자리까지 표시한다. 반올림되는 것은 표시값뿐이다.

단위원 공식

각도는 양의 x축에서 반시계 방향으로 측정한다. 각도 θ로 그린 반직선은 원과 한 점에서 만나며, 그 점의 두 좌표는 코사인과 사인이다.

(x,y)=(cos⁡θ,sin⁡θ)(x, y) = (\cos\theta, \sin\theta)

여기서 xx는 가로 좌표, yy는 세로 좌표, θ\theta는 각도이다.

반지름은 1이므로 좌표와 두 함수값은 서로 다른 두 이름으로 부르는 같은 수의 쌍이다. 이것이 원을 다른 크기가 아니라 반지름 1로 그리는 이유다. 탄젠트도 같은 쌍으로 정의된다.

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

원 위의 모든 점은 변의 길이가 xx와 yy이고 빗변이 1인 직각삼각형에 피타고라스 정리를 적용한 식도 만족한다.

cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

도와 라디안

페이지는 두 단위 중 어느 것이든 받아 두 단위 모두로 표시한다. 두 단위는 반 바퀴가 π 라디안이라는 관계로 연결된다.

\qquad \theta_{\mathrm{deg}} = \theta_{\mathrm{rad}} \times \frac{180}{\pi}$$ 여기서 $\theta_{\mathrm{deg}}$는 도 단위의 각도이고 $\theta_{\mathrm{rad}}$는 같은 각도를 라디안으로 나타낸 것이다. ### 한 바퀴 안으로 접기 각도는 음수일 수 있고 한 바퀴를 넘을 수도 있다. 원 위의 점은 360°마다 반복되므로 페이지는 먼저 각도를 0° 이상 360° 미만의 범위로 접는다. $$\theta_0 = ((\theta \bmod 360) + 360) \bmod 360$$ 여기서 $\theta$는 입력한 각도(도 단위)이고, $\theta_0$는 한 바퀴 안에 표현한 같은 방향이다. 750°는 30°로 접히고, −30°는 330°로 접힌다. 나머지가 정확히 계산되도록 접기는 도 단위로 수행된다. ### 기준각과 사분면 기준각은 반직선과 x축 사이의 예각이다. 이 각은 90°보다 클 수 없다. $$\theta_{\mathrm{ref}} = \begin{cases} \theta_0 & \text{if } \theta_0 \le 90 \\ 180 - \theta_0 & \text{if } \theta_0 \le 180 \\ \theta_0 - 180 & \text{if } \theta_0 \le 270 \\ 360 - \theta_0 & \text{그 외의 경우} \end{cases}$$ 여기서 $\theta_0$는 접힌 각도(도 단위)이다. 사인, 코사인 및 탄젠트의 크기는 기준각에 의해서만 결정된다. 부호는 사분면이 정한다. | 사분면 | 접힌 각도 | cos | sin | tan | |---|---|---|---|---| | I | 0°부터 90°까지 | + | + | + | | II | 90°부터 180°까지 | − | + | − | | III | 180°부터 270°까지 | − | − | + | | IV | 270°부터 360°까지 | + | − | − | 0°, 90°, 180° 및 270°는 축 위에 놓인다. 사분면은 두 축 사이의 열린 영역이므로 이 네 각도 중 어느 것도 사분면 안에 있지 않으며, 페이지는 인접한 사분면을 임의로 선택하는 대신 축을 표시한다. ### 16개의 표준각 다섯 개의 기준각에는 정확한 닫힌 형식이 있다. | 기준각 | cos | sin | tan | |---|---|---|---| | 0° (0) | 1 | 0 | 0 | | 30° (π/6) | √3/2 | 1/2 | √3/3 | | 45° (π/4) | √2/2 | √2/2 | 1 | | 60° (π/3) | 1/2 | √3/2 | √3 | | 90° (π/2) | 0 | 1 | 정의되지 않음 | 이 행들을 나머지 세 사분면에 대칭시키면 0, 30, 45, 60, 90, 120, 135, 150, 180, 210, 225, 240, 270, 300, 315 및 330도의 16개 각도가 나온다. 페이지는 표를 네 번 옮겨 적는 대신 제1사분면의 점을 한 번에 4분의 1바퀴씩 회전하여 이들을 생성한다. 표를 옮겨 적을 때 부호가 잘못 들어가기 쉽기 때문이다. 15°, 75° 및 105°에도 닫힌 형식이 있지만, 2 − √3과 같은 두 항으로 이루어진 형식이다. 이들은 이 계열에 속하지 않으므로 소수로 답한다. 15°의 경우 cos 0.96592583, sin 0.25881905 및 tan 0.26794919이다. ### 예: 210도 210°는 180°보다 크고 270°보다 작으므로 제삼사분면에 놓인다. 180°를 빼면 기준각 30°가 남는다. 기준각이 30°일 때 세 크기는 √3/2, 1/2 및 √3/3이다. 제3사분면에서는 두 좌표가 모두 음수이므로 점은 (−√3/2, −1/2)이다. 탄젠트는 음수를 음수로 나눈 값이므로 √3/3로 양수이다. 라디안으로는 각도가 7π/6이고 기준각은 π/6이다. 소수로는 cos −0.8660254, sin −0.5 및 tan 0.57735027로 표시된다. 570°와 −150°는 둘 다 210°로 접히므로 같은 답을 준다. ### 어떤 상수가 정확한가 | 상수 | 값 | 정확한가? | 출처 | |---|---|---|---| | 한 바퀴의 도 | 360 | 정의에 의해 정확함 | ISO 80000-3 | | 한 바퀴의 라디안 | 2π | 정의에 의해 정확함 | ISO 80000-3; SI 브로셔 | | cos 30°, sin 60° | √3/2 | 정확한 값 | NIST DLMF §4.14 | | cos 45°, sin 45° | √2/2 | 정확한 값 | NIST DLMF §4.14 | | cos 60°, sin 30° | 1/2 | 정확한 값 | NIST DLMF §4.14 | | tan 90°, tan 270° | 값 없음 | 정확한 값, 극점 | NIST DLMF §4.15 | π는 무리수이므로 정확한 십진수나 이진수 형태가 없고, 저장되는 모든 값은 반올림된다. 페이지는 두 가지 방법으로 이 반올림이 답에 영향을 주지 않게 한다. 접기는 360으로 나누어떨어지는 도 단위로 수행된다. 또한 표준각은 부동소수점 사인값에서 읽지 않고 위의 닫힌 형식 표에서 읽는다. ### 라디안으로 입력한 각도 읽기 라디안 입력값은 이미 반올림된 소수이다. π/2는 1.5707963267948966으로 입력되며, 이를 다시 변환하면 정확히 90°가 아니라 90°에서 약 일조분의 일도만큼 벗어난 각도가 된다. 따라서 페이지는 표준각에서 백만분의 일도 이내인 각도를 해당 표준각으로 읽는다. 허용 오차는 사용할 표를 정할 뿐 답의 범위를 넓히지는 않는다. 30.001°는 30°가 되지 않는다. 십억 도를 넘는 각도는 거부된다. 이는 기하학이 아니라 산술의 한계다. 컴퓨터가 저장할 수 있는 수 사이의 간격은 수가 커질수록 넓어지며, 약 사십오억 도를 지나면 그 간격이 백만분의 일도 허용 오차보다 넓어져 접기만으로는 각도를 식별할 세부 정보가 충분하지 않다. 십억 도는 그 지점보다 여유를 둔 값이다. ### 자주 묻는 질문 **단위원은 무엇에 사용되는가?** 단위원은 사인과 코사인을 좌표로 바꾼다. 원에서 한 점을 읽으면 두 값을 동시에 얻을 수 있으며, 그림을 통해 두 값이 한 바퀴마다 반복되고 사분면이 바뀔 때 부호가 바뀌는 이유를 알 수 있다. **sin 30°의 정확한 값은 무엇인가?** 2분의 1이다. cos 30°는 √3/2이며 약 0.8660254이고, tan 30°는 √3/3이며 약 0.57735027이다. **tan 90°는 왜 정의되지 않는가?** 탄젠트는 사인을 코사인으로 나눈 값인데 cos 90°는 0이다. 0으로 나누기는 답이 없다. 페이지는 계산된 탄젠트가 큰 값으로 나왔는지를 확인하는 대신 각도를 명시하여 극점을 찾는다. 90°에 아주 가까운 가파른 탄젠트도 일반적인 수이기 때문이다. **기준각이란 무엇인가?** 기준각은 반직선과 x축 사이의 예각이므로 항상 0°와 90° 사이에 있다. 150°, 210° 및 330°는 모두 기준각이 30°이므로 사인과 코사인의 세 크기는 같고 부호만 다르다. **음의 각도도 사용할 수 있는가?** 그렇다. 음의 각도는 시계 방향으로 회전한다. −30°는 330°와 같은 방향을 가리키므로 페이지는 점 (√3/2, −1/2)과 제사사분면을 표시한다. **페이지는 왜 각도를 두 번 표시하는가?** 750°와 30°은 원 위의 같은 점을 지나지만 같은 회전은 아니다. 페이지는 입력한 각도를 다른 단위로 변환한 값과 함께 다시 표시하고, 그 옆에 접힌 각도를 보여 준다.