Kūginių pjūvių skaičiuoklė - Apskritimas, Elipsė, Parabolė

Kas yra kūginių pjūvių skaičiuoklė?

Kūginių pjūvių skaičiuoklė pagal kelis matavimus nustato apskritimo, elipsės, parabolės arba hiperbolės ekscentricitetą ir standartinę lygtį. Šios keturios kreivės susidaro, kai plokštuma skirtingais kampais kerta kūgį.

Keturi kūginiai pjūviai

Kertant kūgį statmenai jo ašiai gaunamas apskritimas. Pakreipus plokštumą gaunama elipsė. Kertant lygiagrečiai kūgio šoninei briaunai gaunama parabolė. Kertant abi dvigubo kūgio dalis gaunama hiperbolė.

Kiekviena kreivė turi ekscentricitetą – skaičių, rodantį, kiek ji skiriasi nuo tobulo apskritimo.

• Apskritimas: $e = 0$
• Elipsė: $0 < e < 1$
• Parabolė: $e = 1$
• Hiperbolė: $e > 1$

Kaip naudoti šią skaičiuoklę

1. Pasirinkite kūginio pjūvio tipą: apskritimą, elipsę, parabolę arba hiperbolę.
2. Įveskite reikiamus matavimus.
   • Apskritimas: spindulys (⟨$r$⟩)
   • Elipsė: didžioji pusiau ašis (⟨$a$⟩) ir mažoji pusiau ašis (⟨$b$⟩)
   • Parabolė: židinio nuotolis (⟨$f$⟩)
   • Hiperbolė: skersinė pusiau ašis (⟨$a$⟩) ir jungtinė pusiau ašis (⟨$b$⟩)
3. Kai tik pasirinktam kūginio pjūvio tipui įvedamos tinkamos teigiamos reikšmės, ekscentricitetas ir standartinė lygtis parodomi automatiškai; mygtuko „Skaičiuoti“ spausti nereikia.
4. Po rezultatais nubraižomas kreivės grafikas.

Skaičiuoklė pateikia lygtį, kurioje įvesti skaičiai jau pakeičia kintamuosius, todėl elipsė, kurios $a = 5$ ir $b = 3$, rodoma kaip $(x/5)^2 + (y/3)^2 = 1$. Tai ta pati lygtis kaip $x^2/25 + y^2/9 = 1$. Ekscentricitetas rodomas keturių skaitmenų po kablelio tikslumu.

Visi įvesties duomenys turi būti teigiami skaičiai. Elipsės didžioji pusiau ašis turi būti ne trumpesnė už mažąją pusiau ašį, nes didžioji pusiau ašis apibrėžiama kaip ilgesnioji. Hiperbolei tokios taisyklės nėra: jos skersinė ir jungtinė pusiau ašys gali būti bet kokio teigiamo ilgio, taip pat ir vienodo.

Apskritimo formulė

Apskritimui, kurio spindulys $r$ ir centras yra pradžios taške:

$$x^2 + y^2 = r^2$$

Ekscentricitetas: $e = 0$.

Apskritimas yra specialus elipsės atvejis, kai abi ašys yra vienodo ilgio, o abu židiniai yra centre.

Elipsės formulė

Elipsei, kurios centras yra pradžios taške, didžioji pusiau ašis yra $a$, mažoji pusiau ašis yra $b$, o $a \geq b > 0$:

$$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$ $$e = \sqrt{1 - \left(\dfrac{b}{a}\right)^2}$$

Pavyzdys: $a = 5$, $b = 3$.

$$e = \sqrt{1 - \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8$$

Lygtis: $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$

Kai $a = b$, elipsė tampa apskritimu, o $e = 0$.

Parabolės formulė

Į dešinę atsiveriančiai parabolei, kurios židinio nuotolis yra $f$ (atstumas nuo viršūnės iki židinio):

$$y^2 = 4fx$$

Ekscentricitetas: $e = 1$ visada.

Pavyzdys: $f = 2$. Lygtis: $y^2 = 8x$.

Hiperbolės formulė

Hiperbolei, kurios centras yra pradžios taške, skersinė pusiau ašis yra $a$, jungtinė pusiau ašis yra $b$, o $a$ ir $b$ yra bet kokie teigiami skaičiai:

$$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$ $$e = \sqrt{1 + \left(\dfrac{b}{a}\right)^2}$$

Skersinė pusiau ašis $a$ yra pusė atstumo tarp dviejų viršūnių – taškų, kuriuose kreivė pasisuka. Jungtinė pusiau ašis $b$ yra pusė jungtinės ašies ilgio; ši atkarpa brėžiama per centrą statmenai skersinei ašiai. Ji lemia, kaip greitai išsiskiria šakos.

Kitaip nei elipsės atveju, hiperbolės $a$ neprivalo būti didesnė už $b$. Šie du ilgiai yra nepriklausomi, todėl $b$ gali būti mažesnė, lygi arba didesnė už $a$. Kai $a = b$, kreivė vadinama stačiakampe hiperbole, kurios ekscentricitetas yra $\sqrt{2} \approx 1.4142$.

Pavyzdys: $a = 5$, $b = 3$.

$$e = \sqrt{1 + \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 + 0.36} = \sqrt{1.36} \approx 1.1662$$

Lygtis: $\dfrac{x^2}{25} - \dfrac{y^2}{9} = 1$

Kūginių pjūvių taikymas praktikoje

Planetos ir kometos juda orbitomis, kurių forma primena kūginius pjūvius. Pirmasis Keplerio dėsnis teigia, kad planetos orbita yra elipsė, kurios viename židinyje yra Saulė. Kai kurios kometos juda parabolinėmis arba hiperbolinėmis trajektorijomis ir niekada negrįžta.

Parabolės sutelkia lygiagrečius spindulius į vieną tašką, todėl inžinieriai parabolės formą naudoja palydovinėse antenose, teleskopų veidrodžiuose ir automobilių žibintuose. Hiperbolinės kreivės matomos aušinimo bokštų sienose, kur tokia forma suteikia tvirtumo naudojant mažiau medžiagos. Elipsės naudojamos arkose, „šnabždesio galerijų“ lubose ir projektuojant krumpliaračius.

Trumpa kūginių pjūvių istorija

Graikų matematikas Menachmas apie 350 m. pr. m. e. tyrinėjo kūginius pjūvius, bandydamas išspręsti kubo padvigubinimo problemą. Apolonijus iš Pergės apie 200 m. pr. m. e. parašė išsamų traktatą pavadinimu Kūginiai pjūviai. Jis pavadino elipsę, parabolę ir hiperbolę bei aprašė jų savybes. Po kelių šimtmečių Johannesas Kepleris elipsę panaudojo planetų judėjimui aprašyti, o Isaacas Newtonas kūginiais pjūviais paaiškino gravitaciją.

Dažnai užduodami klausimai

Kokie yra keturi kūginių pjūvių tipai?

Apskritimas, elipsė, parabolė ir hiperbolė. Kiekviena iš šių kreivių susidaro, kai plokštuma skirtingu kampu kerta kūgį, ir kiekviena turi skirtingą ekscentriciteto intervalą.

Kaip apskaičiuoti ekscentricitetą?

Apskritimo ($e = 0$) ir parabolės ($e = 1$) ekscentricitetas yra fiksuotas. Elipsės atveju $e = \sqrt{1 - (b/a)^2}$, naudojant didžiąją pusiau ašį $a$ ir mažąją pusiau ašį $b$. Hiperbolės atveju $e = \sqrt{1 + (b/a)^2}$, naudojant skersinę pusiau ašį $a$ ir jungtinę pusiau ašį $b$.

Ar hiperbolės skersinė pusiau ašis turi būti ilgesnė už jungtinę pusiau ašį?

Ne. Kitaip nei elipsės didžioji ir mažoji pusiau ašys, hiperbolės skersinė pusiau ašis ($a$) ir jungtinė pusiau ašis ($b$) yra nepriklausomi matmenys. Abi turi būti teigiamos, tačiau bet kuri iš jų gali būti ilgesnė.

Ar elipsė gali tapti apskritimu?

Taip. Kai didžioji pusiau ašis lygi mažajai pusiau ašiai, elipsė yra apskritimas, o jos ekscentricitetas yra 0.

Kodėl palydovinėse antenose naudojama parabolės forma?

Parabolė atspindi lygiagrečiai jos ašiai sklindančius spindulius į vieną židinį. Palydovinės antenos ir teleskopų veidrodžiai šią savybę naudoja signalams arba šviesai sutelkti viename taške.

Kas yra stačiakampė hiperbolė?

Stačiakampė hiperbolė yra tokia hiperbolė, kurios skersinė pusiau ašis lygi jungtinei pusiau ašiai ($a = b$). Jos asimptotės yra statmenos, o ekscentricitetas yra $\sqrt{2} \approx 1.4142$.

Šaltiniai

1. Kūginis pjūvis – Vikipedija
2. Kūginių pjūvių ekscentricitetas – Khan Academy
3. Kūginiai pjūviai – OpenStax