Kūgio šoninio paviršiaus ploto skaičiuoklė - Nemokamas internetinis įrankis

Kūgio šoninis plotas

Kūgio šoninio paviršiaus plotas – tai jo lenktojo paviršiaus plotas, neįskaitant plokščio apskrito pagrindo. Jis taip pat vadinamas šoninio paviršiaus plotu. Tiesiajam apskritajam kūgiui jį galima apskaičiuoti remiantis tik dviem matavimais: pagrindo spinduliu ir kūgio aukščiu.

Kas yra šoninis plotas?

Kūgis turi du paviršius: plokščią apskritą pagrindą ir kreivąjį paviršių, nuo pagrindo kylantį iki viršūnės (smailaus galo). Šoninio paviršiaus plotas apima tik kreivąją dalį. Jei kūgį perkirsite išilgai vienos įstrižosios briaunos ir išskleisite, šoninis paviršius išsiskleis į skritulio išpjovą. Šios išpjovos plotas lygus kūgio šoniniam plotui.

Tai skiriasi nuo viso paviršiaus ploto, į kurį vėl įtraukiamas pagrindas.

Kūgio šoninio ploto formulė

Tiesiojo apskritojo kūgio šoninis plotas L yra:

$L = \pi r s$

• r yra apskrito pagrindo spindulys
• s yra sudaromoji – tiesės atstumas nuo pagrindo krašto iki viršūnės
• L yra šoninis plotas, išreikštas kvadratiniais vienetais

Sudaromosios radimas

Dauguma žmonių žino kūgio spindulį ir aukštį (h), t. y. statmeną atstumą nuo pagrindo iki viršūnės, o ne sudaromąją. Spindulys, aukštis ir sudaromoji sudaro statųjį trikampį, todėl sudaromąją galima rasti taikant Pitagoro teoremą:

$s = \sqrt{r^2 + h^2}$

Bendra formulė

Į šoninio ploto formulę įstačius šią išraišką, gaunama visa formulė, kurioje naudojamas tik spindulys ir aukštis:

$L = \pi r \sqrt{r^2 + h^2}$

Kaip apskaičiuoti kūgio šoninį plotą

1. Išmatuokite arba užrašykite pagrindo spindulį (r).
2. Išmatuokite arba užrašykite statųjį aukštį (h) nuo pagrindo iki viršūnės.
3. Raskite sudaromąją: $s = \sqrt{r^2 + h^2}$.
4. Padauginkite: $L = \pi \times r \times s$.
5. Perskaitykite rezultatą. Ši skaičiuoklė apskaičiuoja išlaikydama visą tikslumą ir pateikia atsakymą, suapvalintą iki keturių skaitmenų po kablelio.

Šiame puslapyje esanti skaičiuoklė šiuos veiksmus atlieka automatiškai. Įveskite spindulį ir aukštį, o ji parodys šoninį plotą kartu su kūgio diagrama.

Įvesties taisyklės

Spindulys ir aukštis negali būti neigiami. Įvedus neigiamą reikšmę, vietoj rezultato pateikiamas klaidos pranešimas. Nulinė reikšmė leidžiama. Nulinis aukštis sutapatina kūgį su jo pagrindu, todėl sudaromoji lygi spinduliui, o formulė grąžina to apskritimo pagrindo plotą $\pi r^2$. Nulinis spindulys susiaurina kūgį iki tiesės, o šoninis plotas yra 0.

Išspręstas pavyzdys

Tarkime, kad kūgio spindulys yra 3 m, o aukštis – 4 m.

1. Sudaromoji: $s = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ m
2. Šoninis plotas: $L = \pi \times 3 \times 5 = 15\pi \approx 47.1239$ m²

Antras pavyzdys: spindulys 2 m ir aukštis 10 m.

1. Sudaromoji: $s = \sqrt{2^2 + 10^2} = \sqrt{4 + 100} = \sqrt{104} \approx 10.1980$ m
2. Šoninis plotas: $L = \pi \times 2 \times 10.1980 \approx 64.0762$ m²

Aukštesnio kūgio, kurio spindulys toks pats, sudaromoji yra ilgesnė, todėl jo šoninis plotas didesnis, nors pagrindo dydis nesikeičia.

Šoninis ir visas paviršiaus plotas

Apskaičiuojant šoninį plotą pagrindas neįtraukiamas. Apskaičiuojant visą paviršiaus plotą, jis pridedamas:

$A_{total} = \pi r s + \pi r^2$

Vien šoninį plotą naudokite tada, kai reikia atsižvelgti tik į kreivąjį paviršių, pavyzdžiui, skaičiuojant, kiek medžiagos reikia kūgio šonui apvynioti arba padengti. Visą paviršiaus plotą naudokite tada, kai pagrindas taip pat lieka atviras ir jį reikia uždengti, nudažyti arba įtraukti į skaičiavimą.

Kur naudojamas šis skaičiavimas

• Gamyba: skaičiuojant, kiek lakštinio metalo, audinio arba dangos reikia kūgio formos detalėms, piltuvams ar abažūrams.
• Statyba: skaičiuojant medžiagų kiekį kūgio formos stogams ar smailėms.
• Pakavimas ir dizainas: nustatant kūgio formos talpykloms reikalingo popieriaus ar kartono dydį.
• Inžinerija: nosies kūgiams, bunkeriams ir kitoms kūginėms sudedamosioms dalims aviacijos, kosmoso ir pramonės projektavime.

Istorija

Senovės Graikijos matematikai tyrinėjo kūgius ir juos kertant susidarančias kreives, kurios vadinamos kūginiais pjūviais. Pergos Apolonijus parašė išsamų veikalą šia tema, kuris šimtmečius formavo, kaip geometrai aprašė kūgius. Kūgio paviršiaus ploto formulės tiesiogiai grindžiamos tais pačiais geometriniais ryšiais, kuriuos nustatė jis ir ankstesni matematikai, tokie kaip Euklidas.

Dažnai užduodami klausimai

Kuo skiriasi kūgio šoninis plotas nuo viso paviršiaus ploto? Šoninio paviršiaus plotas apima tik kreivąjį paviršių. Visą paviršiaus plotą sudaro kreivasis paviršius ir apskritas pagrindas: $A_{total} = \pi r s + \pi r^2$.

Kaip rasti kūgio šoninį plotą nematuojant sudaromosios? Naudokite $L = \pi r \sqrt{r^2 + h^2}$. Taip sudaromoji automatiškai randama pagal spindulį ir aukštį, taikant Pitagoro teoremą.

Kokiais vienetais išreiškiamas rezultatas? Kvadratiniais vienetais, atitinkančiais įvesties vienetus. Jei spindulys ir aukštis išreikšti metrais, šoninis plotas bus išreikštas kvadratiniais metrais; jei jie išreikšti coliais, rezultatas bus kvadratiniais coliais.

Ar spindulys ir aukštis gali būti išreikšti skirtingais vienetais? Ne. Prieš juos įvedant abu turi būti išreikšti tuo pačiu ilgio vienetu, kitaip rezultatas bus neteisingas.

Kas nutinka įvedus neigiamą skaičių? Skaičiuoklė jį atmeta ir parodo klaidą, nes kūgio spindulys arba aukštis negali būti neigiamas.

Kokia yra nupjauto kūgio (kūgio su nupjauta viršūne) šoninio ploto formulė? Nupjautam kūgiui, kurio viršutinio pagrindo spindulys yra $r_1$, o apatinio pagrindo spindulys – $r_2$: $L = \pi (r_1 + r_2) \sqrt{h^2 + (r_1 - r_2)^2}$. Tai kitokia formulė nei ta, kuri taikoma pilnam kūgiui.

Šaltiniai

1. Weisstein, Eric W. "Cone." MathWorld – Wolfram interneto išteklius. https://mathworld.wolfram.com/Cone.html
2. "Lateral Surface Area of a Cone." CK-12 Foundation. https://www.ck12.org/geometry/lateral-surface-area-of-a-cone/
3. "Apollonius of Perga." Encyclopaedia Britannica. https://www.britannica.com/biography/Apollonius-of-Perga