Kūgio skersmens skaičiuoklė - skaičiavimas pagal aukštį ir spindulį

Koks yra kūgio skersmuo?

Kūgio skersmuo yra jo apskrito pagrindo plotis, išmatuotas tiesia linija per centrą. Jis lygus dviem pagrindo spinduliams. Kūgį taip pat galima apibūdinti jo aukščiu (tiesiu atstumu nuo pagrindo iki viršūnės) ir sudaromąja (atstumu nuo viršūnės išoriniu kūgio paviršiumi iki pagrindo krašto). Jei žinomos bet kurios dvi iš šių trijų reikšmių, galima rasti trečiąją.

Kūgio skersmens formulė

Skersmenį galima rasti dviem įprastais būdais, atsižvelgiant į tai, kokie matmenys žinomi.

Pagal aukštį ir sudaromąją:

$d = 2\sqrt{s^2 - h^2}$

Čia d yra skersmuo, s – sudaromoji, o h – aukštis. Tai išplaukia iš Pitagoro teoremos: sudaromoji yra stačiojo trikampio, sudaryto iš aukščio ir spindulio, įžambinė, todėl $s^2 = h^2 + r^2$. Išsprendus lygtį spindulio atžvilgiu ir padvigubinus gautą reikšmę, randamas skersmuo. Skaičiuoklė tą pačią reikšmę apskaičiuoja lygiaverte forma $2\sqrt{(s-h)(s+h)}$. Abi formos duoda tą patį atsakymą, tačiau antroji išlaiko daugiau teisingų skaitmenų, kai sudaromoji yra tik šiek tiek didesnė už aukštį.

Pagal spindulį:

$d = 2r$

Tai tiesiog skersmens apibrėžimas. Jei spindulys jau žinomas, daugiau jokių matavimų nereikia.

Sudaromoji visada turi būti ilgesnė už aukštį, nes ji yra stačiojo trikampio įžambinė, o įžambinė visada yra ilgiausia kraštinė. Jei sudaromoji lygi aukščiui arba už jį trumpesnė, apibūdinta forma nėra tinkamas kūgis.

Kaip apskaičiuoti kūgio skersmenį

Metodas 1: aukštis ir sudaromoji

1. Išmatuokite aukštį (h) – tiesų vertikalų atstumą nuo pagrindo iki viršūnės.
2. Išmatuokite sudaromąją (s) – atstumą nuo viršūnės iki pagrindo krašto kūgio paviršiumi.
3. Pakelkite abi reikšmes kvadratu, iš sudaromosios kvadrato atimkite aukščio kvadratą ir ištraukite kvadratinę šaknį: $\sqrt{s^2 - h^2}$.
4. Padauginkite rezultatą iš 2, kad gautumėte skersmenį.

Metodas 2: spindulys

1. Išmatuokite spindulį (r) – atstumą nuo pagrindo centro iki jo krašto.
2. Padauginkite iš 2.

Vienu metu reikėtų naudoti tik vieną iš šių dviejų metodų. Kartu pateikus aukštį, sudaromąją ir spindulį, kyla neaiškumų, nes šios trys reikšmės gali neatitikti vieno kūgio.

Išspręstas pavyzdys

Pavyzdys 1: aukštis ir sudaromoji

Kūgio aukštis yra 3 vienetai, o sudaromoji – 5 vienetai.

$d = 2\sqrt{5^2 - 3^2} = 2\sqrt{25 - 9} = 2\sqrt{16} = 2 \times 4 = 8$

Skersmuo yra 8 vienetai.

Pavyzdys 2: spindulys

Kūgio spindulys yra 4 vienetai.

$d = 2 \times 4 = 8$

Skersmuo yra 8 vienetai. Tai sutampa su Pavyzdžiu 1, nes kūgio, kurio aukštis yra 3, o sudaromoji – 5, pagrindo spindulys yra 4.

Pavyzdys 3: plokščias kūgis

Kūgio aukštis yra 0,1 vieneto, o sudaromoji – 10 vienetų.

$d = 2\sqrt{10^2 - 0.1^2} = 2\sqrt{100 - 0.01} = 2\sqrt{99.99} \approx 19.999$

Skersmuo yra maždaug 20,00 vienetų. Kai aukštis, palyginti su sudaromąja, yra labai mažas, skersmuo artėja prie dvigubos sudaromosios reikšmės.

Pavyzdys 4: adatos formos kūgis

Kūgio aukštis yra 9,99 vienetai, o sudaromoji – 10 vienetų.

$d = 2\sqrt{10^2 - 9.99^2} = 2\sqrt{100 - 99.8001} = 2\sqrt{0.1999} \approx 0.894$

Skersmuo yra maždaug 0,89 vieneto. Kai sudaromoji yra tik šiek tiek ilgesnė už aukštį, kūgis yra aukštas ir plonas, o jo pagrindo skersmuo – mažas.

Kur naudojami kūgio skersmens skaičiavimai

Kūgio skersmuo naudojamas visur, kur matuojamos arba konstruojamos kūgio formos. Inžinieriai jį naudoja projektuodami piltuvus, purkštukus ir kūginius rezervuarus. Gamintojai jį naudoja formų ir kūginių detalių matmenims parinkti. Geologai panašius matavimus naudoja ugnikalnių kūgiams apibūdinti. Tas pats ryšys tarp aukščio, sudaromosios ir spindulio galioja bet kuriam statiajam apskritajam kūgiui, pradedant popierine šventine kepurėle ir baigiant raketos nosies kūgiu.

Istorija

Matematiniai kūgių tyrimai siekia senovės Graikiją. Apolonijus iš Pergės, dirbęs maždaug 200 m. pr. Kr., parašė svarbų veikalą Conics, kuriame nagrinėjo, kaip plokštumos kerta kūgius ir sudaro apskritimus, elipses, paraboles bei hiperboles. Pagrindinis ryšys tarp kūgio aukščio, spindulio ir sudaromosios, pagrįstas Pitagoro teorema, žinomas nuo senovės ir tebėra naudojamas šiandien.

Dažnai užduodami klausimai

Koks yra kūgio skersmuo?

Tai kūgio apskrito pagrindo plotis, išmatuotas tiesiai per centrą. Jis lygus dviem pagrindo spinduliams.

Kaip rasti kūgio skersmenį nežinant spindulio?

Naudokite aukštį ir sudaromąją bei formulę $d = 2\sqrt{s^2 - h^2}$. Pagal Pitagoro teoremą pirmiausia randamas spindulys, o tada jis padvigubinamas.

Koks ryšys tarp kūgio skersmens, aukščio ir sudaromosios?

Aukštis, spindulys ir sudaromoji sudaro statųjį trikampį. Sudaromoji yra įžambinė, aukštis – vienas statinis, o spindulys – kitas statinis: $s^2 = h^2 + r^2$. Skersmuo yra dvigubas spindulys.

Kodėl skaičiuoklė atmeta kai kurias reikšmes?

Aukštis turi būti didesnis už nulį. Sudaromoji turi būti ilgesnė už aukštį, nes įžambinė negali būti trumpesnė už statinį arba jam lygi. Spindulys turi būti didesnis už nulį. Reikėtų įvesti aukštį ir sudaromąją arba spindulį atskirai; įvedus visas tris reikšmes vienu metu kyla neaiškumų, todėl jos atmetamos. Jei kartu su aukščiu įvedamas spindulys, naudojamas tik spindulys, nes jis jau nustato skersmenį.

Ar kūgis gali turėti du skirtingus skersmenis?

Įprastas kūgis turi vieną skersmenį ties pagrindu ir viršūnėje sueina į tašką. Nupjautinis kūgis, tai yra kūgis, kurio smailioji viršūnė nupjauta, turi po vieną skersmenį kiekviename iš dviejų plokščiųjų galų.

Kokius vienetus reikėtų naudoti?

Tinka bet kurie tarpusavyje suderinami vienetai, pavyzdžiui, centimetrai, metrai arba coliai. Rezultatas pateikiamas tais pačiais vienetais, kurie buvo naudojami įvesties reikšmėms.

Šaltiniai

1. Weisstein, Eric W. "Cone." MathWorld, Wolfram Research. https://mathworld.wolfram.com/Cone.html
2. O'Connor, J.J. ir Robertson, E.F. "Conic sections." MacTutor History of Mathematics Archive, Šv. Andriaus universitetas. https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Conic_sections/