Stataus apskritojo kūgio skaičiuotuvas - Tūris, paviršiaus plotas ir formulės

Kas yra statusis apskritasis kūgis?

Statusis apskritasis kūgis yra vientisas kūnas su plokščiu apskritu pagrindu ir vienu išlenktu šoniniu paviršiumi, siaurėjančiu į vieną tašką, vadinamą viršūne. Jis yra „statusis“, nes viršūnė yra tiesiai virš pagrindo centro. Iš viršūnės tiesiai žemyn į pagrindą nubrėžta tiesė su pagrindu sudaro statų kampą. Ši skaičiuoklė pagal spindulį ir aukštį apskaičiuoja kūgio tūrį, pagrindo plotą, šoninio paviršiaus plotą ir visą paviršiaus plotą.

Dažni tokios formos pavyzdžiai yra eismo kūgiai, ledų rageliai, piltuvėliai ir kai kurių bokštų stogai.

Kūgio matmenys

Statųjį apskritąjį kūgį apibūdina du matmenys:

• Spindulys (r): atstumas nuo apskrito pagrindo centro iki jo krašto.
• Aukštis (h): tiesus vertikalus atstumas nuo pagrindo iki viršūnės.

Trečiasis ilgis, įstrižinis aukštis (l), yra atstumas kūgio išoriniu paviršiumi nuo viršūnės iki pagrindo krašto. Jis nematuojamas tiesiogiai. Vietoj to jis apskaičiuojamas pagal spindulį ir aukštį, nes šie trys ilgiai sudaro statųjį trikampį. Skaičiuoklė naudoja įstrižinį aukštį išlenkto šoninio paviršiaus plotui apskaičiuoti, tačiau jo nerodo kaip atskiro rezultato.

Skaičiuoklė nenustato matavimo vieneto. Spindulį ir aukštį įveskite tais pačiais vienetais. Tada kiekvienas plotas gaunamas tais vienetais kvadratu, o tūris – tais vienetais kubu. Nė viena reikšmė negali būti neigiama, nes ilgis negali būti neigiamas; tokiu atveju skaičiuoklė vietoj rezultato parodo pranešimą. Rezultatai pateikiami keturių skaitmenų po kablelio tikslumu.

Kūgio formulės

Įstrižinio aukščio formulė

Spindulys, aukštis ir įstrižinis aukštis sudaro statųjį trikampį, todėl įstrižinis aukštis nustatomas pagal Pitagoro teoremą:

$$l = \sqrt{r^2 + h^2}$$

Pagrindo ploto formulė

Pagrindas yra apskritimas, todėl jo plotui taikoma standartinė apskritimo ploto formulė:

$$A_b = \pi r^2$$

Šoninio paviršiaus ploto formulė

Šoninio paviršiaus plotas apima tik išlenktą šoninį paviršių, o ne pagrindą. Jei išlenktas šoninis paviršius būtų išvyniotas į plokštumą, jis sudarytų skritulio išpjovą, kurios plotas būtų:

$$A_l = \pi r l$$

Viso paviršiaus ploto formulė

Visą paviršiaus plotą sudaro pagrindo ir išlenkto šoninio paviršiaus plotų suma:

$$A = A_b + A_l = \pi r^2 + \pi r l = \pi r (r + l)$$

Kūgiui, kurio pagrindas atviras, pavyzdžiui, popieriniam piltuvėliui, medžiagų skaičiavimams reikia tik šoninio paviršiaus ploto.

Kūgio tūrio formulė

$$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$

Kūgio tūris tiksliai lygus vienam trečdaliui cilindro, kurio pagrindas ir aukštis tokie patys, tūrio. Archimedas šį ryšį įrodė taikydamas metodą, sukurtą dar prieš atsirandant integraliniam skaičiavimui. Vėliau jis buvo patvirtintas integraliniu skaičiavimu, kuriame kūgis laikomas begaline nuo pagrindo iki viršūnės mažėjančių apskritų diskų sankaupa.

Kaip apskaičiuoti kūgio tūrį: skaičiavimo pavyzdys

Tarkime, kad kūgio spindulys yra r = 5 vienetų, o aukštis – h = 12 vienetų.

1. Nustatykite įstrižinį aukštį.

$$l = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ vienetų}$$

2. Nustatykite pagrindo plotą.

$$A_b = \pi (5)^2 = 25\pi \approx 78.54 \text{ vienetų}^2$$

3. Nustatykite šoninio paviršiaus plotą.

$$A_l = \pi (5)(13) = 65\pi \approx 204.20 \text{ vienetų}^2$$

4. Nustatykite visą paviršiaus plotą.

$$A = 25\pi + 65\pi = 90\pi \approx 282.74 \text{ vienetų}^2$$

5. Nustatykite tūrį.

$$V = \frac{1}{3} \pi (5)^2 (12) = 100\pi \approx 314.16 \text{ vienetų}^3$$

Diagrama

Brūkšniuota vertikali linija yra aukštis nuo pagrindo iki viršūnės. Brūkšniuota horizontali linija yra spindulys nuo pagrindo centro iki jo krašto.

Kur kūgiai sutinkami kasdieniame gyvenime

Kūgio tūrio ir paviršiaus ploto skaičiavimai taikomi keliose praktinėse srityse:

• Lakštinio metalo gamyba: šoninio paviršiaus plotas parodo, kiek plokščios medžiagos reikia kūginiam bunkeriui, piltuvėliui ar ortakio pereigai susukti, prieš pridedant siūlių ir atliekų atsargą.
• Talpa: tūrio formulė naudojama kūginių talpyklų ir kūginių silosų dugnų talpai apskaičiuoti.
• Statyba: smailės, bokštų viršūnės ir kiti kūginiai stogo elementai naudoja šoninio paviršiaus plotą stogo dangos medžiagos kiekiui įvertinti.
• Kasdieniai daiktai: popieriniai puodeliai, ledų rageliai ir eismo kūgiai yra apytiksliai statieji apskritieji kūgiai.

Ši skaičiuoklė daro prielaidą, kad kūgis yra idealus, jo pagrindas apskritas, o viršūnė yra tiesiai virš pagrindo centro. Kūgiui, kurio viršūnė nupjauta ir kuris vadinamas nupjautiniu kūgiu, reikia kitokių formulių, nes jis turi du spindulius, o ne vieną.

Istorija

Senovės graikų matematikai kūgius tyrinėjo jau maždaug 300 m. pr. m. e. Euklido veikale Elementai kūgis apibrėžtas kaip vientisas kūnas, gaunamas statųjį trikampį sukant apie vieną iš jo statinių. Vėliau Pergo Apolonijus tyrė kreives, susidarančias kūgį kertant skirtingais kampais; dabar jos vadinamos kūginiais pjūviais: apskritimu, elipse, parabole ir hiperbole. Tūrio formulę V = (1/3)πr²h Archimedas įrodė išvargimo metodu – geometriniu metodu, maždaug 2 000 metų pralenkusiu integralinį skaičiavimą.

Dažnai užduodami klausimai

Kas kūgį daro „statųjį apskritąjį“?

„Statysis“ reiškia, kad viršūnė yra tiesiai virš pagrindo centro, todėl ašis yra statmena pagrindui. Įstrižajame kūgyje viršūnė yra pasislinkusi į vieną pusę. „Apskritasis“ reiškia, kad pagrindas yra apskritimas, o ne elipsė ar kita forma.

Kokia yra kūgio tūrio formulė?

V = (1/3)πr²h, kur r yra pagrindo spindulys, o h – statmenas aukštis. Tūriui įstrižinio aukščio nereikia.

Kokia yra kūgio paviršiaus ploto formulė?

Visas paviršiaus plotas yra A = πr² + πrl, kur r yra spindulys, o l – įstrižinis aukštis. Pirmasis dėmuo yra pagrindo plotas, o antrasis – šoninio paviršiaus plotas. Pirmojo dėmens nenaudokite, jei kūgis neturi pagrindo, pavyzdžiui, jei tai atviras piltuvėlis.

Kas yra įstrižinis aukštis ir kuo jis skiriasi nuo aukščio?

Aukštis yra tiesus vertikalus atstumas nuo pagrindo iki viršūnės, matuojamas kūgio viduje. Įstrižinis aukštis yra atstumas išoriniu paviršiumi nuo viršūnės iki pagrindo krašto. Juos sieja formulė l = √(r² + h²), o kai spindulys didesnis už nulį, įstrižinis aukštis visada yra ilgesnis iš šių dviejų ilgių.

Kaip pagal skersmenį rasti kūgio tūrį?

Skersmenį padalykite iš 2, kad gautumėte spindulį, tada taikykite formulę V = (1/3)πr²h. Pavyzdžiui, kūgio, kurio skersmuo yra 10 cm, o aukštis – 15 cm, spindulys yra 5 cm, todėl V = (1/3)π(5²)(15) ≈ 392,7 cm³.

Ar ši skaičiuoklė tinka nupjautiniams kūgiams?

Ne. Nupjautinis kūgis yra kūgis, kurio viršūnė nupjauta, todėl jis turi du spindulius, o ne vieną, ir jam reikia atskirų tūrio bei paviršiaus ploto formulių.