Teisingo apvalaus kūgio skaičiuoklė ir formulės

Teisus Cilindrinio Kono Skaičiuoklė

Įvadas

Teisus cilindrinis konas yra trimatis geometrinis objektas, kuris sklandžiai siaurėja nuo plokščios apvalios bazės iki taško, vadinamo viršūne arba viršūne. Jis vadinamas „teisus“, nes linijos segmentas (ašis), jungiantis viršūnę su bazės centru, yra statmenas bazei. Ši skaičiuoklė padeda rasti pagrindines teisus cilindrinio kono savybes:

Bendras paviršiaus plotas (A): Bazės ploto ir šoninio (šono) paviršiaus ploto suma.
Tūris (V): Kono viduje uždaro erdvės kiekis.
Šoninis paviršiaus plotas (Aₗ): Kono šoninio (šono) paviršiaus plotas.
Bazės paviršiaus plotas (A_b): Apvalios bazės plotas.

Šių savybių supratimas yra esminis inžinerijos, architektūros ir įvairių fizinių mokslų srityse.

Formulė

Apibrėžimai

Tegu:

r = Bazės spindulys
h = Kono aukštis (statmeninė atstumas nuo bazės iki viršūnės)
l = Šlaitinis aukštis

Šlaitinis aukštis (l) gali būti apskaičiuotas naudojant Pitagoro teoremą:

l = \sqrt{r^2 + h^2}

Skaičiavimai

Bazės paviršiaus plotas (A_b):

Apvalios bazės plotas yra duotas:
$A_b = \pi r^2$
Šoninis paviršiaus plotas (Aₗ):

Šoninis paviršiaus plotas yra kono šoninio paviršiaus plotas:
$Aₗ = \pi r l$
Bendras paviršiaus plotas (A):

Bazės ploto ir šoninio paviršiaus ploto suma:
$A = A_b + Aₗ = \pi r^2 + \pi r l = \pi r (r + l)$
Tūris (V):

Kono viduje uždaro erdvės kiekis:
$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

Kraštutiniai atvejai

Nulinis spindulys (r = 0): Jei spindulys yra nulinis, konas susitraukia į liniją, todėl tūris ir paviršiaus plotai tampa nuliniai.
Nulinis aukštis (h = 0): Jei aukštis yra nulinis, konas tampa plokščiu disku (bazė), o tūris yra nulinis. Bendras paviršiaus plotas lygu bazės plotui.
Neigiamos vertės: Neigiamos vertės spinduliui ar aukščiui šiuo kontekstu yra neįmanomos. Skaičiuoklė užtikrina, kad r ≥ 0 ir h ≥ 0.

Naudojimo atvejai

Inžinerija ir dizainas

Gamyba: Kuriant konusinius komponentus, tokius kaip piltuvai, apsauginiai konai ir mašinų dalys.
Statyba: Apskaičiuojant medžiagas, reikalingas koniniams stogams, bokštams ar atraminėms konstrukcijoms.

Fizikiniai mokslai

Optika: Supratimas apie šviesos sklidimą koninėse struktūrose.
Geologija: Vulkaninių konų modeliavimas ir magma kamerų tūrių skaičiavimas.

Matematikos švietimas

Geometrijos mokymas: Demonstravimas trimatės geometrijos ir skaičiavimo principų.
Problemos sprendimas: Siūlymas praktinių taikymų matematinėms sąvokoms.

Alternatyvos

Cilindro skaičiavimai: Formulės uniformių pjūvių formoms gali būti tinkamesnės.
Kono frustas: Jei konas yra nukirstas (pjaunamas), reikalingi skaičiavimai koniniam frustui.

Istorija

Kono studijos siekia senovės graikų matematikų, tokių kaip Euklidas ir Apolonijus iš Pergo, kurie sistemingai nagrinėjo konines sekas. Konai buvo esminiai geometrijos, skaičiavimo ir turėjo taikymų astronomijoje ir fizikoje.

Euklido elementai: Ankstyvieji konų apibrėžimai ir savybės.
Apolonijaus koninės sekos: Išsami konusų su plokštuma susikirtimo studija.
Skaičiavimo plėtra: Tūrių ir paviršiaus plotų skaičiavimas prisidėjo prie integralinio skaičiavimo.

Pavyzdžiai

Skaičių pavyzdys

Tegu konas turi spindulį r = 5 vienetai ir aukštį h = 12 vienetai.

Apskaičiuokite šlaitinį aukštį (l):
$l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ vienetai}$
Bazės paviršiaus plotas (A_b):
$A_b = \pi r^2 = \pi (5)^2 = 25\pi \approx 78.54 \text{ vienetai}^2$
Šoninis paviršiaus plotas (Aₗ):
$Aₗ = \pi r l = \pi (5)(13) = 65\pi \approx 204.20 \text{ vienetai}^2$
Bendras paviršiaus plotas (A):
$A = A_b + Aₗ = 25\pi + 65\pi = 90\pi \approx 282.74 \text{ vienetai}^2$
Tūris (V):
$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (5)^2 (12) = \frac{1}{3} \pi (25)(12) = 100\pi \approx 314.16 \text{ vienetai}^3$

Kodo pavyzdžiai

Excel

1' Apskaičiuokite teisus cilindrinio kono savybes Excel VBA
2Function ConeProperties(r As Double, h As Double) As String
3    If r < 0 Or h < 0 Then
4        ConeProperties = "Spindulys ir aukštis turi būti neigiami."
5        Exit Function
6    End If
7    l = Sqr(r ^ 2 + h ^ 2)
8    A_b = WorksheetFunction.Pi() * r ^ 2
9    A_l = WorksheetFunction.Pi() * r * l
10    A = A_b + A_l
11    V = (1 / 3) * WorksheetFunction.Pi() * r ^ 2 * h
12    ConeProperties = "Bazės plotas: " & A_b & vbCrLf & _
13                     "Šoninis plotas: " & A_l & vbCrLf & _
14                     "Bendras paviršiaus plotas: " & A & vbCrLf & _
15                     "Tūris: " & V
16End Function
17' Naudojimas Excel ląstelėje:
18' =ConeProperties(5, 12)
19

Python

1import math
2
3def cone_properties(r, h):
4    if r < 0 or h < 0:
5        return "Spindulys ir aukštis turi būti neigiami."
6    l = math.sqrt(r ** 2 + h ** 2)
7    A_b = math.pi * r ** 2
8    A_l = math.pi * r * l
9    A = A_b + A_l
10    V = (1 / 3) * math.pi * r ** 2 * h
11    return {
12        'Bazės plotas': A_b,
13        'Šoninis plotas': A_l,
14        'Bendras paviršiaus plotas': A,
15        'Tūris': V
16    }
17
18## Pavyzdžio naudojimas
19result = cone_properties(5, 12)
20for key, value in result.items():
21    print(f"{key}: {value:.4f}")
22

JavaScript

1function coneProperties(r, h) {
2  if (r < 0 || h < 0) {
3    return "Spindulys ir aukštis turi būti neigiami.";
4  }
5  const l = Math.sqrt(r ** 2 + h ** 2);
6  const A_b = Math.PI * r ** 2;
7  const A_l = Math.PI * r * l;
8  const A = A_b + A_l;
9  const V = (1 / 3) * Math.PI * r ** 2 * h;
10  return {
11    bazesPlotas: A_b,
12    soninisPlotas: A_l,
13    bendrasPavirsiusPlotas: A,
14    turis: V,
15  };
16}
17
18// Pavyzdžio naudojimas
19const result = coneProperties(5, 12);
20for (const [key, value] of Object.entries(result)) {
21  console.log(`${key}: ${value.toFixed(4)}`);
22}
23

Java

1public class RightCircularCone {
2    public static void main(String[] args) {
3        double r = 5;
4        double h = 12;
5        String result = coneProperties(r, h);
6        System.out.println(result);
7    }
8
9    public static String coneProperties(double r, double h) {
10        if (r < 0 || h < 0) {
11            return "Spindulys ir aukštis turi būti neigiami.";
12        }
13        double l = Math.sqrt(Math.pow(r, 2) + Math.pow(h, 2));
14        double A_b = Math.PI * Math.pow(r, 2);
15        double A_l = Math.PI * r * l;
16        double A = A_b + A_l;
17        double V = (1.0 / 3) * Math.PI * Math.pow(r, 2) * h;
18        return String.format("Bazės plotas: %.4f\nŠoninis plotas: %.4f\nBendras paviršiaus plotas: %.4f\nTūris: %.4f",
19                A_b, A_l, A, V);
20    }
21}
22

C++

1#include <iostream>
2#include <cmath>
3#include <string>
4
5std::string coneProperties(double r, double h) {
6    if (r < 0 || h < 0) {
7        return "Spindulys ir aukštis turi būti neigiami.";
8    }
9    double l = std::sqrt(r * r + h * h);
10    double A_b = M_PI * r * r;
11    double A_l = M_PI * r * l;
12    double A = A_b + A_l;
13    double V = (1.0 / 3) * M_PI * r * r * h;
14    char buffer[256];
15    snprintf(buffer, sizeof(buffer), "Bazės plotas: %.4f\nŠoninis plotas: %.4f\nBendras paviršiaus plotas: %.4f\nTūris: %.4f",
16             A_b, A_l, A, V);
17    return std::string(buffer);
18}
19
20int main() {
21    double r = 5;
22    double h = 12;
23    std::string result = coneProperties(r, h);
24    std::cout << result << std::endl;
25    return 0;
26}
27

Diagramos

SVG Diagramas Teisus Cilindrinis Konas

Diagramos Paaiškinimas

Kono forma: Konas pavaizduotas su šonine linija ir bazės elipsės, kad būtų pavaizduota trimatė forma.
Aukštis (h): Pavaizduotas kaip brūkšninė linija nuo viršūnės iki bazės centro.
Spindulys (r): Pavaizduotas kaip brūkšninė linija nuo bazės centro iki jos krašto.
Žymėjimai: Nurodo kono matmenis.

Nuorodos

Hidraulinis skersmuo - Vikipedija
Atvirų kanalų srauto skaičiuoklė
Thomas, G. B., & Finney, R. L. (1996). Skaičiavimas ir analitinė geometrija. Addison Wesley.

Pastaba: Skaičiuoklė užtikrina, kad spindulys (r) ir aukštis (h) turi būti didesni arba lygūs nuliui. Neigiami įvedimai laikomi neteisingais ir sukels klaidos pranešimą.

Whiz Tools