Paviršiaus Ploto Skaičiuoklė

Q: Kokia yra rutulio paviršiaus ploto formulė?

$SA = 4\pi r²$, kur r yra spindulys. Sferos, kurios spindulys yra 5 m, paviršiaus plotas yra maždaug 314,16 m².

Trimačio kūno paviršiaus plotas – tai bendras visų jo išorę dengiančių sienų ir lenktų paviršių plotas, matuojamas kvadratiniais vienetais, pavyzdžiui, kvadratiniais metrais arba kvadratinėmis pėdomis. Ši skaičiuoklė apskaičiuoja septynių dažnų kūnų paviršiaus plotą: rutulio, kubo, cilindro, piramidės, kūgio, stačiakampio gretasienio ir trikampės prizmės.

Ką reiškia paviršiaus plotas

Paviršiaus plotas yra visų geometrinio kūno išorinių paviršių plotų suma. Kubo paviršiaus plotas yra šešių plokščių kvadratinių sienų bendras plotas. Rutulio paviršiaus plotas yra vieno lenkto išorinio paviršiaus plotas. Paviršiaus plotas skiriasi nuo tūrio, kuris matuoja kūno viduje esančią erdvę, o ne jo ribos plotą. Abu dydžiai matuojami skirtingais vienetais: paviršiaus plotas – kvadratiniais vienetais (m²), tūris – kubiniais vienetais (m³).

Kaip apskaičiuoti paviršiaus plotą

Pasirinkite kūną iš septynių parinkčių sąrašo.
Įveskite kūnui reikalingus matmenis:
- Rutulys: spindulys
- Kubas: briaunos ilgis
- Cilindras: spindulys ir aukštis
- Piramidė: pagrindo ilgis, pagrindo plotis ir apotema
- Kūgis: spindulys ir aukštis
- Stačiakampis gretasienis: ilgis, plotis ir aukštis
- Trikampė prizmė: pagrindo ilgis, trikampio aukštis ir prizmės ilgis
Rezultatas parodomas automatiškai, kai kiekviename privalomame laukelyje įvesta reikšmė.
Perskaitykite paviršiaus plotą kvadratiniais vienetais. Šalia rezultato esantis kopijavimo mygtukas nukopijuoja jį į iškarpinę.

Kol privalomas laukas neįvestas, skaičiuoklė vietoj rezultato rodo trumpą raginimą. Kai visi laukai užpildyti, nulis arba neigiamas skaičius sukelia klaidos pranešimą.

Piramidei taikoma dar viena taisyklė, galiojanti bet kokiam kvadratiniam ar stačiakampiam pagrindui: įvesta apotema turi būti ilgesnė už pusę pagrindo pločio. Pusė pagrindo pločio yra atstumas nuo pagrindo centro iki vienos iš pagrindo ilgio kraštinių vidurio. Apotema, lygi šiam dydžiui arba už jį trumpesnė, nepalieka vietos vertikaliam aukščiui, todėl tokia piramidė neegzistuoja ir skaičiuoklė pateikia klaidą.

Paviršiaus ploto formulės

Toliau pateiktose formulėse r yra spindulys, h – aukštis, l – ilgis, w – plotis, b – pagrindo ilgis, o s – apotema.

Sfera: $SA = 4\pi r²$
Kubas: $SA = 6a²$ , kur a yra briaunos ilgis
Cilindras: $SA = 2\pi r² + 2\pi rh$ , dviejų apskritų galų plotas ir šoninio paviršiaus plotas
Kūgis: $SA = \pi r² + \pi rs$ , kur apotema $s = \sqrt{r² + h²}$
Piramidė su kvadratiniu pagrindu: $SA = l² + 2ls$ , kur l yra pagrindo ilgis, o s – trikampės sienos šoninės sienos aukštinė
Stačiakampis gretasienis: $SA = 2(lw + lh + wh)$
Trikampė prizmė (trikampio skerspjūvis, kurio pagrindas yra b, aukštis – h, o dvi lygios šoninės kraštinės yra $a = c$ ): $SA = bh + (a + b + c)L$ , kur L yra prizmės ilgis, o $a = c = \sqrt{h² + (b/2)²}$ – simetriškam (lygiakojui) trikampiui

Piramidė su stačiakampiu pagrindu turi du skirtingus šoninių sienų aukščius – po vieną kiekvienai trikampių sienų porai. Laukelyje „Šoninės sienos aukštis“ įvedamas šoninės sienos aukštis s, būdingas dviem sienoms, kurios remiasi į pagrindo ilgio briaunas. Pagal jį skaičiuotuvas apskaičiuoja vertikalųjį aukštį h, naudodamas $h = \sqrt{s² - (w/2)²}$ , tada apskaičiuoja kitą sienų porą:

Piramidė su stačiakampiu pagrindu: $SA = lw + ls + w\sqrt{h² + (l/2)²}$ , kur l yra pagrindo ilgis, w – pagrindo plotis, o h – iš s gautas vertikalusis aukštis.

Pirmiau pateikta piramidės su kvadratiniu pagrindu formulė yra šios formulės specialusis atvejis, gaunamas, kai pagrindo ilgis ir plotis yra lygūs (skiriasi ne daugiau kaip 0,001 įvestų vienetų).

Skaičiavimo pavyzdys

Rutulys, kurio spindulys 5 m: SA = 4π(5)² = 100π ≈ 314,16 m²

Kubas, kurio briaunos ilgis 3 m: SA = 6(3)² = 54 m²

Cilindras, kurio spindulys 2 m, o aukštis 5 m: SA = 2π(2)(2 + 5) = 28π ≈ 87,96 m²

Kūgis, kurio spindulys 3 m, o aukštis 4 m: apotema = √(3² + 4²) = 5 m, todėl SA = π(3)(3 + 5) = 24π ≈ 75,40 m²

Piramidė su kvadratiniu pagrindu, pagrindo ilgis 4 m, apotema 5 m: SA = 4² + 2(4)(5) = 16 + 40 = 56 m²

Piramidė su stačiakampiu pagrindu, pagrindo ilgis 6 m, pagrindo plotis 8 m, apotema 5 m: pusė pagrindo pločio yra 4 m, todėl vertikalusis aukštis yra √(5² − 4²) = 3 m. Kitos sienų poros apotema yra √(3² + 3²) = √18 ≈ 4,2426 m. SA = (6 × 8) + (6 × 5) + (8 × 4,2426) = 48 + 30 + 33,94 ≈ 111,94 m²

Stačiakampis gretasienis, ilgis 4 m, plotis 3 m, aukštis 5 m: SA = 2(4·3 + 4·5 + 3·5) = 2(12 + 20 + 15) = 94 m²

Trikampė prizmė, pagrindas 3 m, trikampio aukštis 4 m, prizmės ilgis 5 m: dvi lygios šoninės kraštinės yra √(4² + 1,5²) = √18,25 ≈ 4,272 m. SA = (3 × 4) + (4,272 + 3 + 4,272) × 5 = 12 + 57,72 ≈ 69,72 m²

Vienetai ir tikslumas

Visi įvesti matmenys turi būti išreikšti tais pačiais vienetais, pavyzdžiui, metrais, pėdomis arba centimetrais. Rezultatas pateikiamas tais vienetais, pakeltais kvadratu. Skaičiuoklė viduje skaičiuoja viso slankiojo kablelio tikslumu, o rezultatą rodo suapvalintą iki dviejų skaitmenų po kablelio.

Kodėl svarbus paviršiaus plotas

Paviršiaus plotas naudojamas apskaičiuojant sienai ar daiktui nudažyti arba padengti reikalingą dažų ar dangos kiekį, pakavimui reikalingas medžiagas ir talpyklai pagaminti reikalingą skardą ar audinį. Biologijoje ir chemijoje ląstelės arba katalizatoriaus dalelės paviršiaus plotas lemia, kaip greitai ji keičiasi medžiagomis su aplinka, nes mainai vyksta per paviršių. Inžinerijoje radiatoriaus arba šilumokaičio paviršiaus plotas lemia, kaip greitai jis gali perduoti šilumą.

Dažnai užduodami klausimai

Kas yra paviršiaus plotas? Paviršiaus plotas yra bendras visų trimačio objekto išorinių plokščiųjų arba lenktų paviršių plotas, išreikštas kvadratiniais vienetais.

Kokia yra rutulio paviršiaus ploto formulė? $SA = 4\pi r²$ , kur r yra spindulys. Sferos, kurios spindulys yra 5 m, paviršiaus plotas yra maždaug 314,16 m².

Kaip apskaičiuoti cilindro paviršiaus plotą? Prie dviejų apskritų galų ploto pridėkite šoninio paviršiaus plotą: $SA = 2\pi r² + 2\pi rh$ , kur r yra spindulys, o h – aukštis.

Kuo skiriasi paviršiaus plotas ir tūris? Paviršiaus plotas matuoja kūno išorinę ribą kvadratiniais vienetais. Tūris matuoja šios ribos apribotą erdvę kubiniais vienetais. Didėjant kūno dydžiui, jo paviršiaus plotas ir tūris paprastai didėja skirtingu greičiu.

Ar ši skaičiuoklė gali apskaičiuoti piramidės su stačiakampiu pagrindu plotą? Taip. Įveskite pagrindo ilgį ir plotį, kurie nėra vienodi, bei šoninių sienų, esančių ant pagrindo ilgio briaunų, aukštį. Iš šių trijų skaičių skaičiuoklė nustato vertikalųjį aukštį ir antrąjį šoninės sienos aukštį.

Kodėl piramidė kartais rodo klaidą? Apotema turi būti didesnė už pusę pagrindo pločio. Kai jos reikšmė lygi šiam dydžiui arba mažesnė, piramidės aukštis būtų lygus nuliui arba menamasis, todėl toks kūnas neegzistuoja ir paviršiaus ploto pateikti negalima.

Kokius kūnus palaiko ši skaičiuoklė? Rutulį, kubą, cilindrą, piramidę, kūgį, stačiakampį gretasienį ir trikampę prizmę.

Šaltiniai

"Surface Area." Wikipedia, Wikimedia Foundation. https://en.wikipedia.org/wiki/Surface_area
Weisstein, Eric W. "Surface Area." MathWorld — Wolfram internetinis išteklius. https://mathworld.wolfram.com/SurfaceArea.html
"Surface Area Formulas." Math Is Fun. https://www.mathsisfun.com/geometry/surface-area.html

Paviršiaus Ploto Skaičiuoklė - Nemokamas Įrankis Visoms 3D Formoms