🛠️

Whiz Tools

Kritinės Vertės Skaičiuoklė Statistiniams Testams

Raskite vienpuses ir dvišales kritines vertes plačiausiai naudojamiems statistiniams testams, įskaitant Z-testą, t-testą ir Khi-kvadrato testą. Puikiai tinka statistiniams hipotezių testavimams ir tyrimų analizei.

Kritinė vertė

📚

Dokumentacija

Kritinė Vertė Skaičiuoklė

Įvadas

Kritinės vertės yra esminės statistinėje hipotezių testavime. Jos apibrėžia slenkstį, kuriuo mes atmetame nulinę hipotezę ir pereiname prie alternatyvios hipotezės. Apskaičiuodami kritinę vertę, tyrėjai gali nustatyti, ar jų testavimo statistika patenka į atmetimo regioną, ir priimti informuotus sprendimus remdamiesi savo duomenimis.

Ši skaičiuoklė padeda rasti vienpusės ir dvipusės kritinės vertes dažniausiai naudojamiems statistiniams testams, įskaitant Z-testą, t-testą ir Chi-kvadrato testą. Ji palaiko įvairius reikšmingumo lygius ir laipsnius laisvės, teikdama tikslius rezultatus jūsų statistinėms analizėms.

Kaip Naudotis Šia Skaičiuokle

  1. Pasirinkite Testo Tipą:

    • Z-testas: Dideliems imties dydžiams arba žinomai populiacijos dispersijai.
    • t-testas: Kai imties dydis yra mažas, o populiacijos dispersija nežinoma.
    • Chi-kvadrato testas: Kategoriniams duomenims ir tinkamumo testams.

  2. Pasirinkite Uodegos Tipą:

    • Vienpusis testas: Testuoja kryptinį poveikį (pvz., didesnis arba mažesnis už tam tikrą vertę).
    • Dvipusis testas: Testuoja bet kokį reikšmingą skirtumą, nepriklausomai nuo krypties.

  3. Įveskite Reikšmingumo Lygį (( \alpha )):

    • Vertė tarp 0 ir 1 (dažniausiai pasirenkamos 0.05, 0.01, 0.10).
    • Atspindi nulinės hipotezės atmetimo, kai ji yra teisinga, tikimybę (I tipo klaida).

  4. Įveskite Laipsnius Laisvės (jei taikoma):

    • Reikalinga t-testams ir Chi-kvadrato testams.
    • T-testams: ( df = n - 1 ), kur ( n ) yra imties dydis.
    • Chi-kvadrato testams: ( df = ) kategorijų skaičius minus 1.

  5. Apskaičiuoti:

    • Paspauskite mygtuką Apskaičiuoti, kad gautumėte kritinę vertę(-es).
    • Rezultatas bus rodomas kritinė vertė(-s), atitinkanti jūsų įvestis.

Formulė

Z-testo Kritinė Vertė

Standartinei normaliajai distribucijai:

  • Vienpusis testas: Zc=Φ−1(1−α)Z_c = \Phi^{-1}(1 - \alpha)
  • Dvipusis testas: Zc=Φ−1(1−α2)Z_c = \Phi^{-1}\left(1 - \dfrac{\alpha}{2}\right)

Kur:

  • ( \Phi^{-1} ) yra standartinės normaliosios distribucijos atvirkštinė kumuliacinė pasiskirstymo funkcija (kvantilio funkcija).

t-testo Kritinė Vertė

t-distribucijai su ( df ) laipsniais laisvės:

  • Vienpusis testas: tc=t−1(1−α,df)t_c = t^{-1}(1 - \alpha, df)
  • Dvipusis testas: tc=t−1(1−α2,df)t_c = t^{-1}\left(1 - \dfrac{\alpha}{2}, df\right)

Kur:

  • ( t^{-1}(p, df) ) yra p-th kvantilis t-distribucijoje su ( df ) laipsniais laisvės.

Chi-kvadrato Testo Kritinė Vertė

Chi-kvadrato distribucijai su ( df ) laipsniais laisvės:

  • Vienpusis testas: χc2=χ1−α,df2\chi^2_c = \chi^2_{1 - \alpha, df}
  • Dvipusis testas (teikia tiek apatinę, tiek viršutinę kritines vertes):
    • Apatinė kritinė vertė: χlower2=χα/2,df2\chi^2_{\text{lower}} = \chi^2_{\alpha/2, df}
    • Viršutinė kritinė vertė: χupper2=χ1−α/2,df2\chi^2_{\text{upper}} = \chi^2_{1 - \alpha/2, df}

Kur:

  • ( \chi^2_{p, df} ) yra p-th kvantilis Chi-kvadrato distribucijoje.

Apskaičiavimas

Skaičiuoklė atlieka šiuos žingsnius:

  1. Įvesties Validacija:

    • Patikrina, ar ( \alpha ) yra tarp 0 ir 1 (0 < ( \alpha ) < 1).
    • Patikrina, ar ( df ) yra teigiamas sveikasis skaičius (t-testams ir Chi-kvadrato testams).

  2. Priklausomai nuo Uodegos Tipo, Pakeiskite Reikšmingumo Lygį:

    • Dvipusiems testams ( \alpha ) padalijamas iš 2.

  3. Apskaičiuoti Kritinę Vertę(-es):

    • Naudoja statistines distribucijų funkcijas, kad rastų kritines vertes.
    • Užtikrina tikslumą net ir ekstremaliems ( \alpha ) vertėms ir ( df ).

  4. Rodyti Rezultatus:

    • Pateikia kritines vertes, suapvalintas iki keturių dešimtainių vietų.
    • Dvipusiems Chi-kvadrato testams pateikiamos tiek apatinės, tiek viršutinės kritinės vertės.

Kraštutiniai Atvejai ir Apsvarstymai

  • Ekstremalūs Reikšmingumo Lygiai (( \alpha ) artimas 0 arba 1):

    • Kritinės vertės artėja prie begalybės, kai ( \alpha ) artėja prie 0.
    • Kai ( \alpha ) yra ekstremaliai mažas (pvz., mažesnis nei ( 10^{-10} )), kritinė vertė gali būti skaičiavimo prasme begalinė arba neapibrėžta.
    • Tvarkymas: Skaičiuoklė rodys 'Begalybė' arba 'Neapibrėžta' tokiems atvejams. Vartotojai turėtų atsargiai interpretuoti šiuos rezultatus ir apsvarstyti, ar tokie ekstremalūs reikšmingumo lygiai yra tinkami jų analizei.

  • Dideli Laipsniai Laisvės (( df )):

    • Didėjant ( df ), t-distribucija ir Chi-kvadrato distribucija artėja prie normaliosios distribucijos.
    • Labai dideliems ( df ) kritinės vertės gali tapti neapibrėžtos dėl skaičiavimo apribojimų.
    • Tvarkymas: Skaičiuoklė pateikia įspėjimus, kai ( df ) viršija praktinius skaičiavimo ribas. Tokiais atvejais apsvarstykite galimybę naudoti Z-testą kaip aproksimaciją.

  • Maži Laipsniai Laisvės (( df \leq 1 )):

    • Kai ( df = 1 ), t-distribucija ir Chi-kvadrato distribucija turi sunkius uodegas.
    • Kritinės vertės gali būti labai didelės arba neapibrėžtos.
    • Tvarkymas: Skaičiuoklė įspėja vartotojus, jei ( df ) yra per mažas patikimiems rezultatams.

  • Vienpusiai vs. Dvipusiai Testai:

    • Teisingo uodegos tipo pasirinkimas yra esminis tiksliai kritinėms vertėms.
    • Netinkamas naudojimas gali lemti neteisingas išvadas hipotezių testavime.
    • Gairės: Užtikrinkite, kad jūsų tyrimo klausimas atitiktų pasirinktą uodegos tipą.

Naudojimo Atvejai

Kritinės vertės naudojamos įvairiose srityse:

  1. Akademiniai Tyrimai:

    • Hipotezių testavimas eksperimentuose ir studijose.
    • Statistinio reikšmingumo nustatymas rezultatams.

  2. Kokybės Užtikrinimas:

    • Gamybos procesų stebėjimas.
    • Naudojant kontrolės diagramas anomalijoms aptikti.

  3. Sveikata ir Medicina:

    • Naujų gydymo metodų ar vaistų efektyvumo vertinimas.
    • Klinikinės tyrimų rezultatų analizė.

  4. Finansai ir Ekonomika:

    • Rinkos tendencijų ir ekonominių rodiklių vertinimas.
    • Duomenimis pagrįstų investicijų sprendimų priėmimas.

Alternatyvos

  • p-reikšmės:

    • Privalumai:
      • Teikia tikslią tikimybę gauti testavimo statistiką, bent jau tokia ekstremali, kaip stebėta vertė.
      • Leidžia nuoseklesnį sprendimų priėmimą, o ne griežtą ribą.
    • Trūkumai:
      • Gali būti neteisingai interpretuojama; maža p-reikšmė nematuoja poveikio dydžio ar jo svarbos.
      • Priklauso nuo imties dydžio; didelės imtys gali duoti mažas p-reikšmes trivialiems efektams.

  • Patikimumo Intervalai:

    • Privalumai:
      • Pateikia vertių intervalą, kuriame tikėtina, kad tikras parametras yra.
      • Teikia informaciją apie įverčio tikslumą.
    • Trūkumai:
      • Nenaudojami tiesiogiai hipotezių testavimui.
      • Interpretacija gali būti sudėtinga, jei patikimumo intervalai persidengia.

  • Bayes metodai:

    • Privalumai:
      • Įtraukia ankstesnes žinias ar įsitikinimus į analizę.
      • Pateikia tikimybės pasiskirstymą parametro įverčiui.
    • Trūkumai:
      • Reikalauja ankstesnių pasiskirstymų specifikacijos, kuri gali būti subjektyvi.
      • Kompiuterinės analizės sudėtingumas sudėtingiems modeliams.

  • Neparametriniai Testai:

    • Privalumai:
      • Nenaudoja specifinės distribucijos prielaidų.
      • Naudingi, kai duomenys neatitinka parametrijų testų prielaidų.
    • Trūkumai:
      • Paprastai mažiau galingi nei parametrijų testai, kai prielaidos yra patenkintos.
      • Rezultatų interpretacija gali būti mažiau aiški.

Istorija

Kritinių verčių plėtra yra susijusi su statistinės išvados raida:

  • XX a. Pradžia:

    • Karl Pearson pristatė Chi-kvadrato testą 1900 m., padėdamas pamatus tinkamumo testavimui.
    • William Gosset (slapyvardžiu "Student") sukūrė t-distribuciją 1908 m. mažoms imtims.

  • Ronaldas Fisheris:

    • 1920-aisiais Fisheris formalizavo statistinio hipotezių testavimo koncepciją.
    • Įvedė terminą "reikšmingumo lygis" ir pabrėžė tinkamų kritinių verčių pasirinkimą.

  • Kompiuterinių Technologijų Pažanga:

    • Kompiuterių atsiradimas leido tiksliai apskaičiuoti kritines vertes įvairioms distribucijoms.
    • Statistinė programinė įranga dabar teikia greitus ir tikslius rezultatus, palengvindama plačią naudojimą tyrimuose.

Pavyzdžiai

Pavyzdys 1: Z-testo Kritinės Vertės Apskaičiavimas (Vienpusis)

Scenarijus: Įmonė nori patikrinti, ar naujas procesas sumažina vidutinį gamybos laiką. Jie nustato ( \alpha = 0.05 ).

Sprendimas:

  • Kritinė vertė: Zc=Φ−1(1−α)=Φ−1(0.95)≈1.6449Z_c = \Phi^{-1}(1 - \alpha) = \Phi^{-1}(0.95) \approx 1.6449

Kodo Pavyzdžiai:

Python
1import scipy.stats as stats
2
3alpha = 0.05
4Z_c = stats.norm.ppf(1 - alpha)
5print(f"Kritinė Vertė (Z_c): {Z_c:.4f}")
6
JavaScript
1// JavaScript pavyzdys Z-testui kritinei vertei
2function calculateZCriticalValue(alpha) {
3  return jStat.normal.inv(1 - alpha, 0, 1);
4}
5
6const alpha = 0.05;
7const Z_c = calculateZCriticalValue(alpha);
8console.log(`Kritinė Vertė (Z_c): ${Z_c.toFixed(4)}`);
9

Pastaba: Reikia jStat bibliotekos statistinėms funkcijoms.

Excel
1' Excel formulė Z-testui kritinei vertei (vienpusis)
2' Įrašykite langelyje:
3=NORM.S.INV(1 - 0.05)
4
5' Rezultatas:
6' Grąžina 1.6449
7

Pavyzdys 2: t-testo Kritinės Vertės Apskaičiavimas (Dvipusis)

Scenarijus: Tyrėjas atlieka eksperimentą su 20 dalyvių (( df = 19 )) ir naudoja ( \alpha = 0.01 ).

Sprendimas:

  • Kritinė vertė: tc=t−1(1−α2,df)=t−1(0.995,19)≈2.8609t_c = t^{-1}\left(1 - \dfrac{\alpha}{2}, df\right) = t^{-1}(0.995, 19) \approx 2.8609

Kodo Pavyzdžiai:

R
1alpha <- 0.01
2df <- 19
3t_c <- qt(1 - alpha / 2, df)
4print(paste("Kritinė Vertė (t_c):", round(t_c, 4)))
5
MATLAB
1alpha = 0.01;
2df = 19;
3t_c = tinv(1 - alpha / 2, df);
4fprintf('Kritinė Vertė (t_c): %.4f\n', t_c);
5
JavaScript
1// JavaScript pavyzdys t-testui kritinei vertei
2function calculateTCriticalValue(alpha, df) {
3  return jStat.studentt.inv(1 - alpha / 2, df);
4}
5
6const alpha = 0.01;
7const df = 19;
8const t_c = calculateTCriticalValue(alpha, df);
9console.log(`Kritinė Vertė (t_c): ${t_c.toFixed(4)}`);
10

Pastaba: Reikia jStat bibliotekos.

Excel
1' Excel formulė t-testui kritinei vertei (dvipusis)
2' Įrašykite langelyje:
3=T.INV.2T(0.01, 19)
4
5' Rezultatas:
6' Grąžina 2.8609
7

Pavyzdys 3: Chi-kvadrato Testo Kritinių Verčių Apskaičiavimas (Dvipusis)

Scenarijus: Analitikas tikrina stebėtus duomenis su tikėtinomis dažniais per 5 kategorijas (( df = 4 )) esant ( \alpha = 0.05 ).

Sprendimas:

  • Apatinė kritinė vertė: χlower2=χα/2,df2=χ0.025,42≈0.7107\chi^2_{\text{lower}} = \chi^2_{\alpha/2, df} = \chi^2_{0.025, 4} \approx 0.7107
  • Viršutinė kritinė vertė: χupper2=χ1−α/2,df2=χ0.975,42≈11.1433\chi^2_{\text{upper}} = \chi^2_{1 - \alpha/2, df} = \chi^2_{0.975, 4} \approx 11.1433

Kodo Pavyzdžiai:

Python
1import scipy.stats as stats
2
3alpha = 0.05
4df = 4
5chi2_lower = stats.chi2.ppf(alpha / 2, df)
6chi2_upper = stats.chi2.ppf(1 - alpha / 2, df)
7print(f"Apatinė Kritinė Vertė: {chi2_lower:.4f}")
8print(f"Viršutinė Kritinė Vertė: {chi2_upper:.4f}")
9
MATLAB
1alpha = 0.05;
2df = 4;
3chi2_lower = chi2inv(alpha / 2, df);
4chi2_upper = chi2inv(1 - alpha / 2, df);
5fprintf('Apatinė Kritinė Vertė: %.4f\n', chi2_lower);
6fprintf('Viršutinė Kritinė Vertė: %.4f\n', chi2_upper);
7
JavaScript
1// JavaScript pavyzdys Chi-kvadrato testui kritinėms vertėms
2function calculateChiSquaredCriticalValues(alpha, df) {
3  const lower = jStat.chisquare.inv(alpha / 2, df);
4  const upper = jStat.chisquare.inv(1 - alpha / 2, df);
5  return { lower, upper };
6}
7
8const alpha = 0.05;
9const df = 4;
10const chi2_vals = calculateChiSquaredCriticalValues(alpha, df);
11console.log(`Apatinė Kritinė Vertė: ${chi2_vals.lower.toFixed(4)}`);
12console.log(`Viršutinė Kritinė Vertė: ${chi2_vals.upper.toFixed(4)}`);
13

Pastaba: Reikia jStat bibliotekos.

Excel
1' Excel formulės Chi-kvadrato testui kritinėms vertėms (dvipusis)
2' Apatinė kritinė vertė (langelyje):
3=CHISQ.INV(0.025, 4)
4
5' Viršutinė kritinė vertė (kitame langelyje):
6=CHISQ.INV(0.975, 4)
7
8' Rezultatai:
9' Apatinė Kritinė Vertė: 0.7107
10' Viršutinė Kritinė Vertė: 11.1433
11

Pavyzdys 4: Ekstremalių Verčių Tvarkymas (Kraštutinis Atvejis)

Scenarijus: Testas atliekamas su labai mažu reikšmingumo lygiu ( \alpha = 0.0001 ) ir ( df = 1 ).

Sprendimas:

  • Vienpusio t-testui: tc=t−1(1−α,df)t_c = t^{-1}(1 - \alpha, df)

  • Kritinė vertė artėja prie labai didelio skaičiaus.

Kodo Pavyzdys (Python):

1import scipy.stats as stats
2
3alpha = 0.0001
4df = 1
5t_c = stats.t.ppf(1 - alpha, df)
6print(f"Kritinė Vertė (t_c): {t_c}")
7

Rezultatas:

Išvestis parodys labai didelę kritinę vertę, nurodydama, kad esant tokiam mažam ( \alpha ) ir žemam ( df ), kritinė vertė yra ekstremaliai didelė, galbūt artėjanti prie begalybės. Tai iliustruoja, kaip ekstremalios įvestys gali sukelti skaičiavimo iššūkius.

Tvarkymas Skaičiuoklėje:

Skaičiuoklė grąžins 'Begalybė' arba 'Neapibrėžta' tokiems atvejams ir patars vartotojui apsvarstyti reikšmingumo lygio koregavimą arba alternatyvių metodų naudojimą.

Vizualizacija

Suprasti kritines vertes padeda vizualizuoti distribucijų kreives ir atmetimo regionus.

Normalioji Distribucija (Z-testas)

z f(z)

0 1.96 Standartinė Normalioji Distribucija Atmetimo Regionas Priėmimo Regionas Kritinė Vertė

SVG diagrama iliustruojanti standartinę normaliąją distribuciją su pažymėtomis kritinėmis vertėmis. Sritis už kritinės vertės atspindi atmetimo regioną. X ašis žymi z-reikšmę, o Y ašis žymi tikimybės tankio funkciją f(z).

t-Distribucija

t f(t)

0 -2.101 2.101 t-Distribucija (df = 20) Kairysis Atmetimo Regionas Dešinysis Atmetimo Regionas Priėmimo Regionas Kritinė Vertė Kritinė Vertė

SVG diagrama rodanti t-distribuciją su nurodytais kritiniais vertėmis. Pastebėtina, kad t-distribucija turi sunkesnes uodegas, palyginti su normalia distribucija.

Chi-kvadrato Distribucija

χ²L χ²U

χ² Tikimybės Tankis Chi-kvadrato Distribucija Dvipusis testas

SVG diagrama vaizduojanti Chi-kvadrato distribuciją su pažymėtomis apatine ir viršutine kritinėmis vertėmis dvipusiam testui. Distribucija yra pasvirusi į dešinę.

Pastaba: SVG diagramos yra įterptos į turinį, kad padėtų suprasti. Kiekviena diagrama yra tiksliai pažymėta, o spalvos pasirinktos taip, kad būtų papildomos Tailwind CSS.

Nuorodos

  1. Pearson, K. (1900). On the Criterion that a Given System of Deviations from the Probable in the Case of a Correlated System of Variables is Such that it Can be Reasonably Supposed to Have Arisen from Random Sampling. Philosophical Magazine Series 5, 50(302), 157–175. Nuoroda

  2. Student (Gosset, W. S.) (1908). The Probable Error of a Mean. Biometrika, 6(1), 1–25. Nuoroda

  3. Fisher, R. A. (1925). Statistical Methods for Research Workers. Edinburgh: Oliver & Boyd.

  4. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods. Kritinės Vertės. Nuoroda

  5. Wikipedia. Kritinė Vertė. Nuoroda

🔗

Susiję įrankiai

Raskite daugiau įrankių, kurie gali būti naudingi jūsų darbo eiga.

pH vertės skaičiuoklė: konvertuokite vandenilio jonų koncentraciją į pH

Išbandykite šį įrankį

pH vertės skaičiuoklė: konvertuoti vandenilio jonų koncentraciją į pH

Išbandykite šį įrankį

Kp vertės skaičiuoklė cheminėms pusiausvyros reakcijoms

Išbandykite šį įrankį

Z-Score Skaičiuoklė: Apskaičiuokite standartinį įvertinimą

Išbandykite šį įrankį

Normalumo skaičiuoklė chemijos tirpalams

Išbandykite šį įrankį

Apskaičiuoti kūgio tūrį: pilno ir sutrumpinto kūgio įrankis

Išbandykite šį įrankį

pKa vertės skaičiuoklė: rasti rūgščių disociacijos konstantas

Išbandykite šį įrankį

Lengvai apskaičiuokite žalias įvertinimo balles iš vidurkio, standartinio nuokrypio ir z-reikšmės

Išbandykite šį įrankį