Kritinių reikšmių skaičiuoklė | Z-testas, t-testas, Chi-kvadrato testas

Kritinė reikšmė yra tikimybinio skirstinio ribinis taškas, žymintis hipotezės tikrinimo „atmetimo srities“ kraštą. Jei testo statistika viršija kritinę reikšmę, rezultatas laikomas statistiškai reikšmingu, o nulinė hipotezė atmetama. Ši skaičiuoklė nustato trijų dažniausiai taikomų testų kritines reikšmes: Z testo, t testo ir chi kvadrato testo.

Kas yra kritinė reikšmė?

Statistikos tyrimuose dažnai pradedama nuo nulinės hipotezės – paprastos prielaidos, kad nieko neįprasto nevyksta, pavyzdžiui, kad naujas vaistas neturi poveikio. Iš imties duomenų apskaičiuojama testo statistika ir ji palyginama su kritine reikšme, siekiant nuspręsti, ar duomenys suteikia pakankamai įrodymų prieš nulinę hipotezę.

Kritinė reikšmė priklauso nuo trijų dalykų: pasirinkto testo, reikšmingumo lygmens (žymimo α, graikiška alfa raide) ir nuo to, ar testas yra vienpusis, ar dvipusis. Reikšmingumo lygmuo yra tikimybė klaidingai atmesti teisingą nulinę hipotezę; dažnai pasirenkama 0,05 (5 %) arba 0,01 (1 %).

Vienpusiu testu tikrinamas poveikis viena kryptimi, pavyzdžiui, ar reikšmė yra „didesnė už“. Jis turi vieną kritinę reikšmę. Dvipusiu testu tikrinamas poveikis bet kuria kryptimi, todėl jis turi dvi kritines reikšmes – po vieną kiekvienoje skirstinio pusėje.

Kaip apskaičiuoti kritinę reikšmę

1. Pasirinkite testą: Z testą (didelėms imtims arba kai žinoma generalinės aibės dispersija), t testą (mažoms imtims, kai dispersija nežinoma) arba chi kvadrato testą (kategoriniams duomenims arba tinkamumui tikrinti).
2. Pasirinkite uodegų tipą: vienpusį arba dvipusį.
3. Pasirinkite reikšmingumo lygmenį α – skaičių nuo 0 iki 1. Dažniausiai pasirenkamos reikšmės yra 0,10, 0,05 ir 0,01.
4. Atlikdami t testą arba chi kvadrato testą, įveskite laisvės laipsnių skaičių (df). Atliekant t testą, df lygus imties dydžiui, iš kurio atimta 1. Atliekant chi kvadrato tinkamumo testą, df lygus kategorijų skaičiui, iš kurio atimta 1.
5. Raskite (arba apskaičiuokite) reikšmę, kuri po skirstinio kreive atkerta pasirinkto uodegos ploto dalį. Tai ir yra kritinė reikšmė.

Kritinės reikšmės formulės

Kiekvienoje formulėje naudojama kumuliatyvinio skirstinio funkcijos atvirkštinė funkcija: x reikšmė, kuriai plotas po kreive iki x lygus tikslinei tikimybei p.

Z testo formulė

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - \alpha) \quad \text{(vienpusis)}$ $Z_c = \Phi^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2}\right) \quad \text{(dvipusis)}$

Φ⁻¹ yra standartinio normaliojo kumuliatyvinio skirstinio funkcijos atvirkštinė funkcija.

t testo formulė

$t_c = t^{-1}(1 - \alpha,\ df) \quad \text{(vienpusis)}$ $t_c = t^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2},\ df\right) \quad \text{(dvipusis)}$

t⁻¹(p, df) yra t skirstinio kaupiamojo pasiskirstymo funkcijos, kai laisvės laipsnių skaičius yra df, atvirkštinė funkcija.

Chi kvadrato testo formulė

$\chi^2_c = \chi^2_{1-\alpha,\ df} \quad \text{(vienpusis)}$ $\chi^2_{\text{apatinė}} = \chi^2_{\alpha/2,\ df}, \qquad \chi^2_{\text{viršutinė}} = \chi^2_{1-\alpha/2,\ df} \quad \text{(dvipusis)}$

Chi kvadrato skirstinys įgyja tik teigiamas reikšmes, todėl abi kritinės reikšmės yra teigiamos, o apatinė reikšmė yra mažesnė už viršutinę.

Pavyzdys: Z testo kritinė reikšmė

Kokybės kontrolės grupė nori vienpusio Z testo kritinės reikšmės, kai α = 0,05.

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - 0.05) = \Phi^{-1}(0.95) \approx 1.6449$

Bet kuri testo statistika, didesnė už 1,6449, patenka į atmetimo sritį.

Pavyzdys: t testo kritinė reikšmė

Tyrėjas atlieka eksperimentą, kuriame dalyvauja 20 dalyvių, todėl df = 19. Jis nori dvipusės kritinės reikšmės, kai α = 0,01.

$t_c = t^{-1}(1 - 0.005,\ 19) = t^{-1}(0.995,\ 19) \approx 2.8609$

Atmetimo sritys yra t < -2,8609 ir t > 2,8609.

Pavyzdys: chi kvadrato kritinės reikšmės

Analitikas palygina stebėtus ir tikėtinus dažnius 5 kategorijose, todėl df = 4. Jis nori dvipusių kritinių reikšmių, kai α = 0,05.

$\chi^2_{\text{apatinė}} = \chi^2_{0.025,\ 4} \approx 0.4844$ $\chi^2_{\text{viršutinė}} = \chi^2_{0.975,\ 4} \approx 11.1433$

Chi kvadrato statistika, mažesnė už 0,4844 arba didesnė už 11,1433, patektų į atmetimo sritį.

Dažniausios kritinės reikšmės

Didėjant laisvės laipsnių skaičiui, t skirstinio kritinės reikšmės artėja prie atitinkamų Z testo reikšmių, nes t skirstinys artėja prie normaliojo skirstinio.

Dažnai užduodami klausimai

Kam naudojama kritinė reikšmė? Ji nustato ribą, pagal kurią sprendžiama, ar testo statistika yra pakankamai ekstremali, kad būtų galima atmesti nulinę hipotezę. Jei statistika peržengia kritinę reikšmę, rezultatas pasirinktu α lygmeniu yra statistiškai reikšmingas.

Kuo skiriasi vienpusė ir dvipusė kritinė reikšmė? Vienpusiu testu ieškoma poveikio viena kryptimi, todėl jame yra viena kritinė reikšmė. Dvipusiu testu ieškoma poveikio bet kuria kryptimi, todėl jame yra dvi kritinės reikšmės, Z ir t testuose simetriškai išdėstytos apie centrą. Kai α yra toks pats, dvipusė kritinė reikšmė absoliučiuoju dydžiu yra didesnė už vienpusę, nes ta pati bendra tikimybė padalijama dviem uodegoms, o ne vienai.

Kada vietoj t testo reikėtų naudoti Z testą? Z testas naudojamas, kai generalinės aibės dispersija yra žinoma arba imtis yra didelė – paprastai 30 ar daugiau stebėjimų. t testas naudojamas mažesnėms imtims, kai generalinės aibės dispersija nežinoma. Didėjant imties dydžiui, t testo kritinės reikšmės artėja prie Z testo kritinių reikšmių.

Ar kritinė reikšmė gali būti neigiama? Taip. Z testo ir t testo skirstiniai yra simetriški nulio atžvilgiu, todėl dvipusis testas turi vieną neigiamą ir vieną teigiamą kritinę reikšmę. Chi kvadrato kritinės reikšmės visada yra teigiamos, nes chi kvadrato skirstinys apibrėžtas tik nulinėms ar didesnėms reikšmėms.

Kaip laisvės laipsniai veikia kritinę reikšmę? Laisvės laipsniai parodo, kiek nepriklausomos informacijos yra duomenyse; paprastai tai yra imties dydis, iš kurio atimtas jau įvertintų parametrų skaičius. Mažesnis laisvės laipsnių skaičius lemia platesnius skirstinius, turinčius storesnes uodegas, ir didesnes kritines reikšmes. Esant didesniam laisvės laipsnių skaičiui, t skirstinys ir chi kvadrato skirstinys tampa panašesni į normalųjį skirstinį.

Kokia kritinė reikšmė atitinka 95 % pasikliautinąjį lygmenį? Esant 95 % pasikliautinajam lygmeniui, α = 0,05. Dvipusio Z testo kritinės reikšmės yra ±1,9600. Vienpusio Z testo kritinė reikšmė yra 1,6449.

Istorija

Karlas Pearsonas chi kvadrato testą pristatė 1900. Williamas Sealy Gossetas, publikavęsis „Student“ slapyvardžiu, sukūrė t skirstinį 1908, kad galėtų analizuoti mažas imtis Guinness alaus darykloje. Ronaldas Fisheris savo knygoje Statistiniai metodai tyrėjams 1920-aisiais suformulavo reikšmingumo tikrinimo ir kritinių reikšmių taikymą. Iki kompiuterių atsiradimo tyrėjai kritinių reikšmių ieškodavo spausdintose lentelėse; dabar skaičiuoklės ir programinė įranga jas apskaičiuoja tiesiogiai pagal skirstinių formules.

Šaltiniai

1. Pearson, K. (1900). „Apie kriterijų, pagal kurį galima pagrįstai manyti, kad tam tikra nuokrypių sistema susidarė atsitiktinės atrankos būdu.“ Philosophical Magazine, serija 5, 50(302), 157–175.
2. Student [Gosset, W. S.] (1908). „Vidurkio tikėtinoji paklaida.“ Biometrika, 6(1), 1–25.
3. Fisher, R. A. (1925). Statistiniai metodai tyrėjams. Edinburgas: Oliver & Boyd.
4. NIST/SEMATECH elektroninis statistinių metodų vadovas, „Kritinės reikšmės“.