Konisko šķēlumu kalkulators - Aplis, Elipse, Parabola

Kas ir konusveida šķēlumu kalkulators?

Konusveida šķēlumu kalkulators pēc dažiem mērījumiem nosaka riņķa līnijas, elipses, parabolas vai hiperbolas ekscentricitāti un standarta vienādojumu. Šīs četras līknes veidojas, kad plakne dažādos leņķos šķeļ konusu.

Četri konusveida šķēlumi

Šķeļot konusu taisni šķērsām, iegūst riņķa līniju. Noliecot plakni, iegūst elipsi. Šķeļot paralēli konusa malai, iegūst parabolu. Šķeļot caur abām dubultkonusa pusēm, iegūst hiperbolu.

Katrai līknei ir ekscentricitāte — skaitlis, kas parāda, cik ļoti tā atšķiras no ideālas riņķa līnijas.

• Riņķa līnija: $e = 0$
• Elipse: $0 < e < 1$
• Parabola: $e = 1$
• Hiperbola: $e > 1$

Kā izmantot šo kalkulatoru

1. Izvēlieties konusveida šķēluma veidu: riņķa līniju, elipsi, parabolu vai hiperbolu.
2. Ievadiet nepieciešamos mērījumus.
   • Riņķa līnija: rādiuss ($r$)
   • Elipse: lielā pusass ($a$) un mazā pusass ($b$)
   • Parabola: fokusa attālums ($f$)
   • Hiperbola: reālā pusass ($a$) un imaginārā pusass ($b$)
3. Tiklīdz izvēlētajam konusveida šķēluma veidam ir ievadītas derīgas pozitīvas vērtības, automātiski tiek parādīta ekscentricitāte un standarta vienādojums; poga “Aprēķināt” nav jāspiež.
4. Zem rezultātiem tiek uzzīmēts līknes grafiks.

Kalkulators izvada vienādojumu, kurā ievadītie skaitļi jau ir ievietoti, tāpēc elipse ar $a = 5$ un $b = 3$ tiek parādīta kā $(x/5)^2 + (y/3)^2 = 1$. Tas ir tas pats vienādojums, kas $x^2/25 + y^2/9 = 1$. Ekscentricitāte tiek parādīta ar četrām zīmēm aiz komata.

Visiem ievades datiem jābūt pozitīviem skaitļiem. Elipsei lielajai pusasij jābūt vismaz tikpat garai kā mazajai pusasij, jo lielā pusass pēc definīcijas ir garākā. Hiperbolai šāda nosacījuma nav: tās pusšķērsass un pussaistītā ass var būt jebkāda pozitīva garuma, arī vienāda garuma.

Riņķa līnijas formula

Riņķa līnijai ar rādiusu $r$, kuras centrs atrodas koordinātu sākumpunktā:

$$x^2 + y^2 = r^2$$

Ekscentricitāte: $e = 0$.

Riņķa līnija ir īpašs elipses gadījums, kurā abas asis ir vienāda garuma un abi fokusi atrodas centrā.

Elipses formula

Elipsei, kuras centrs atrodas koordinātu sākumpunktā un kurai ir lielā pusass $a$ un mazā pusass $b$, kur $a \geq b > 0$:

$$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$ $$e = \sqrt{1 - \left(\dfrac{b}{a}\right)^2}$$

Piemērs: $a = 5$, $b = 3$.

$$e = \sqrt{1 - \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8$$

Vienādojums: $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$

Ja $a = b$, elipse kļūst par riņķa līniju un $e = 0$.

Parabolas formula

Parabolai, kas atveras pa labi un kurai fokusa attālums $f$ ir attālums no virsotnes līdz fokusam:

$$y^2 = 4fx$$

Ekscentricitāte: $e = 1$ vienmēr.

Piemērs: $f = 2$. Vienādojums: $y^2 = 8x$.

Hiperbolas formula

Hiperbolai, kuras centrs atrodas koordinātu sākumpunktā un kurai ir pusšķērsass $a$ un pussaistītā ass $b$, kur $a$ un $b$ ir jebkādi pozitīvi skaitļi:

$$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$ $$e = \sqrt{1 + \left(\dfrac{b}{a}\right)^2}$$

Reālā pusass $a$ ir puse no attāluma starp abām virsotnēm — punktiem, kuros līkne pagriežas. Imaginārā pusass $b$ ir puse no imaginārās ass garuma; šis ir nogrieznis, kas caur centru novilkts perpendikulāri tai. Tā nosaka, cik strauji zari atveras.

Atšķirībā no elipses hiperbolai nav nepieciešams, lai $a$ būtu lielāks par $b$. Abi garumi ir neatkarīgi, tāpēc $b$ var būt mazāks, vienāds vai lielāks par $a$. Ja $a = b$, līkni sauc par taisnleņķa hiperbolu, kuras ekscentricitāte ir $\sqrt{2} \approx 1.4142$.

Piemērs: $a = 5$, $b = 3$.

$$e = \sqrt{1 + \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 + 0.36} = \sqrt{1.36} \approx 1.1662$$

Vienādojums: $\dfrac{x^2}{25} - \dfrac{y^2}{9} = 1$

Konusveida šķēlumu izmantojums praksē

Planētas un komētas pārvietojas pa orbītām, kuru forma atgādina konusveida šķēlumus. Keplera pirmais likums nosaka, ka planētas orbīta ir elipse, kuras vienā fokusā atrodas Saule. Dažas komētas pārvietojas pa paraboliskām vai hiperboliskām trajektorijām un nekad neatgriežas.

Parabolas fokusē paralēlus starus vienā punktā, tāpēc inženieri izmanto paraboliskas formas satelītantenu, teleskopu spoguļu un automobiļu lukturu izgatavošanā. Hiperboliskas līknes sastopamas dzesēšanas torņu sienās, kur šāda forma nodrošina izturību, izmantojot mazāk materiāla. Elipses izmanto arkās, čukstu galeriju griestos un zobratu konstrukcijās.

Īsa konusveida šķēlumu vēsture

Grieķu matemātiķis Menaihms aptuveni 350 gadu p.m.ē. pētīja konusveida šķēlumus, mēģinot atrisināt kuba dubultošanas uzdevumu. Pergejas Apollonijs aptuveni 200 gadu p.m.ē. uzrakstīja detalizētu traktātu ar nosaukumu Konusi. Viņš deva nosaukumus elipsei, parabolei un hiperbolai un aprakstīja to īpašības. Gadsimtiem vēlāk Johanness Keplers izmantoja elipsi planētu kustības aprakstīšanai, bet Īzaks Ņūtons izmantoja konusveida šķēlumus gravitācijas izskaidrošanai.

Biežāk uzdotie jautājumi

Kādi ir četri konusveida šķēlumu veidi?

Riņķa līnija, elipse, parabola un hiperbola. Katrs no tiem veidojas, plaknei citā leņķī šķeļot konusu, un katram ir atšķirīgs ekscentricitātes diapazons.

Kā aprēķina ekscentricitāti?

Riņķa līnijai ($e = 0$) un parabolei ($e = 1$) ekscentricitāte ir nemainīga. Elipsei $e = \sqrt{1 - (b/a)^2}$, izmantojot lielo pusasi $a$ un mazo pusasi $b$. Hiperbolai $e = \sqrt{1 + (b/a)^2}$, izmantojot reālo pusasi $a$ un imagināro pusasi $b$.

Vai hiperbolas reālajai pusasij jābūt garākai par imagināro pusasi?

Nē. Atšķirībā no elipses lielās un mazās pusass, hiperbolas reālā pusass ($a$) un imaginārā pusass ($b$) ir neatkarīgi mērījumi. Abām jābūt pozitīvām, bet jebkura no tām var būt garākā.

Vai elipse var kļūt par riņķa līniju?

Jā. Kad lielā pusass ir vienāda ar mazo pusasi, elipse ir riņķa līnija un tās ekscentricitāte ir 0.

Kāpēc satelītantenas izmanto parabolisku formu?

Parabola atstaro starus, kas pārvietojas paralēli tās asij, vienā fokusa punktā. Satelītantenas un teleskopu spoguļi izmanto šo īpašību, lai koncentrētu signālus vai gaismu vienā punktā.

Kas ir taisnleņķa hiperbola?

Taisnleņķa hiperbola ir hiperbola, kuras pusšķērsass ir vienāda ar pussaistīto asi ($a = b$). Tās asimptotes ir perpendikulāras, un tās ekscentricitāte ir $\sqrt{2} \approx 1.4142$.

Atsauces

1. Konusveida šķēlums — Vikipēdija
2. Konusveida šķēlumu ekscentricitāte — Khan Academy
3. Konusveida šķēlumi — OpenStax