Konusa sānu laukuma kalkulators - Bezmaksas tiešsaistes rīks

Konusa sānu virsmas laukums

Konusa sānu virsmas laukums ir tā izliektās virsmas laukums, neieskaitot plakano riņķveida pamatu. To sauc arī par sānu virsmas laukumu. Taisnam riņķveida konusam to var aprēķināt, izmantojot tikai divus mērījumus: pamata rādiusu un konusa augstumu.

Kas ir sānu virsmas laukums?

Konusam ir divas virsmas: plakans riņķveida pamats un izliekta virsma, kas no pamata slīpi paceļas līdz virsotnei (smailajam galam). Sānu virsmas laukums ietver tikai izliekto daļu. Ja konusu pārgriež gar vienu slīpo malu un izklāj plaknē, sānu virsma izvēršas par riņķa sektoru. Šā sektora laukums ir vienāds ar konusa sānu virsmas laukumu.

Tas atšķiras no pilnā virsmas laukuma, kurā pamats tiek pieskaitīts atpakaļ.

Konusa sānu virsmas laukuma formula

Taisna riņķveida konusa sānu virsmas laukums L ir:

$L = \pi r s$

• r ir riņķveida pamata rādiuss
• s ir veidule — taisnes attālums no pamata malas līdz virsotnei
• L ir sānu virsmas laukums kvadrātvienībās

Veidules aprēķināšana

Vairums cilvēku zina konusa rādiusu un tā perpendikulāro augstumu (h), proti, vertikālo attālumu no pamata līdz virsotnei, nevis veiduli. Rādiuss, augstums un veidule veido taisnleņķa trijstūri, tāpēc veiduli var aprēķināt, izmantojot Pitagora teorēmu:

$s = \sqrt{r^2 + h^2}$

Apvienotā formula

Ievietojot šo izteiksmi sānu virsmas laukuma formulā, iegūst pilno formulu, kurā izmantots tikai rādiuss un augstums:

$L = \pi r \sqrt{r^2 + h^2}$

Kā aprēķināt konusa sānu virsmas laukumu

1. Izmēriet vai pierakstiet pamata rādiusu (r).
2. Izmēriet vai pierakstiet perpendikulāro augstumu (h) no pamata līdz virsotnei.
3. Aprēķiniet veiduli: $s = \sqrt{r^2 + h^2}$.
4. Sareiziniet: $L = \pi \times r \times s$.
5. Nolasiet rezultātu. Šis kalkulators aprēķina ar pilnu precizitāti un parāda atbildi, noapaļotu līdz četrām zīmēm aiz komata.

Šajā lapā esošais kalkulators šīs darbības veic automātiski. Ievadiet rādiusu un augstumu, un tas parāda sānu virsmas laukumu kopā ar konusa diagrammu.

Ievades noteikumi

Rādiuss un augstums nedrīkst būt negatīvi. Negatīvas vērtības ievadīšanas gadījumā rezultāta vietā tiek parādīts kļūdas ziņojums. Nulles vērtība ir pieļaujama. Ja augstums ir nulle, konuss saplok uz sava pamata, tāpēc veidule ir vienāda ar rādiusu un formula dod šā riņķa laukumu $\pi r^2$. Ja rādiuss ir nulle, konuss saplok līdz taisnai līnijai un sānu virsmas laukums ir 0.

Aprēķina piemērs

Aplūkosim konusu, kura rādiuss ir 3 m un augstums 4 m.

1. Veidule: $s = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ m
2. Sānu virsmas laukums: $L = \pi \times 3 \times 5 = 15\pi \approx 47.1239$ m²

Otrs piemērs: rādiuss 2 m un augstums 10 m.

1. Veidule: $s = \sqrt{2^2 + 10^2} = \sqrt{4 + 100} = \sqrt{104} \approx 10.1980$ m
2. Sānu virsmas laukums: $L = \pi \times 2 \times 10.1980 \approx 64.0762$ m²

Augstākam konusam ar tādu pašu rādiusu ir garāka veidule, tāpēc tā sānu virsmas laukums ir lielāks, lai gan pamata izmērs ir tāds pats.

Sānu virsmas laukums un pilnais virsmas laukums

Sānu virsmas laukumā pamats nav ietverts. Pilnais virsmas laukums to pieskaita:

$A_{total} = \pi r s + \pi r^2$

Izmantojiet tikai sānu virsmas laukumu, ja nozīme ir tikai izliektajai virsmai, piemēram, aprēķinot, cik daudz materiāla vajadzīgs konusa sānu aptīšanai vai pārklāšanai. Izmantojiet pilno virsmas laukumu, ja arī pamats ir atklāts un tas ir jāpārklāj, jānokrāso vai jāņem vērā aprēķinos.

Kur šo aprēķinu izmanto

• Ražošana: lokšņu metāla, auduma vai pārklājuma daudzuma aprēķināšanai konusveida detaļām, piltuvēm vai abažūriem.
• Būvniecība: materiāla daudzuma aprēķināšanai konusveida jumtiem vai smailēm.
• Iepakojums un dizains: papīra vai kartona izmēru noteikšanai konusveida tvertnēm.
• Inženierija: raķešu priekšgaliem, bunkuriem un citām konusveida sastāvdaļām aviācijas un kosmosa, kā arī rūpnieciskajā projektēšanā.

Vēsture

Senie grieķu matemātiķi pētīja konusus un līknes, kas veidojas, tos šķeļot un ko sauc par konusšķēlumiem. Pergejas Apolonijs uzrakstīja plašu traktātu par šo tēmu, kas turpmākajos gadsimtos ietekmēja to, kā ģeometri aprakstīja konusus. Konusa virsmas laukuma formulas tieši izriet no tām pašām ģeometriskajām sakarībām, ko bija izsecinājuši viņš un agrākie matemātiķi, piemēram, Eiklīds.

Biežāk uzdotie jautājumi

Kāda ir atšķirība starp konusa sānu virsmas laukumu un pilno virsmas laukumu? Sānu virsmas laukums ietver tikai izliekto sānu virsmu. Pilnais virsmas laukums ir izliektās sānu virsmas un riņķveida pamata summa: $A_{total} = \pi r s + \pi r^2$.

Kā atrast konusa sānu virsmas laukumu, nemērot veiduli? Izmantojiet $L = \pi r \sqrt{r^2 + h^2}$. Ar Pitagora teorēmu šī formula automātiski aprēķina veiduli no rādiusa un augstuma.

Kādās mērvienībās tiek izteikts rezultāts? Tajās pašās kvadrātvienībās, kurās ievadīti dati. Ja rādiuss un augstums ir metros, sānu virsmas laukums ir kvadrātmetros; ja tie ir collās, rezultāts ir kvadrātcollās.

Vai rādiusu un augstumu var izteikt dažādās mērvienībās? Nē. Pirms ievadīšanas abiem jābūt izteiktiem vienā un tajā pašā garuma mērvienībā, pretējā gadījumā rezultāts būs nepareizs.

Kas notiek, ja ievadu negatīvu skaitli? Kalkulators to noraida un parāda kļūdas ziņojumu, jo konusam nevar būt negatīvs rādiuss vai augstums.

Kāda ir nošķelta konusa (konusa ar nogrieztu virsotni) sānu virsmas laukuma formula? Nošķeltam konusam, kura augšējais rādiuss ir $r_1$ un apakšējais rādiuss ir $r_2$: $L = \pi (r_1 + r_2) \sqrt{h^2 + (r_1 - r_2)^2}$. Šī formula atšķiras no pilna konusa formulas.

Atsauces

1. Weisstein, Eric W. "Cone." MathWorld — Wolfram tīmekļa resurss. https://mathworld.wolfram.com/Cone.html
2. "Lateral Surface Area of a Cone." CK-12 Foundation. https://www.ck12.org/geometry/lateral-surface-area-of-a-cone/
3. "Apollonius of Perga." Encyclopaedia Britannica. https://www.britannica.com/biography/Apollonius-of-Perga