Kāts Diametra Kalkulators - Aprēķināt pēc Augstuma un Rādiusa

Kāds ir konusa diametrs?

Konusa diametrs ir tā apļveida pamatnes platums, kas mērīts pa taisni caur centru. Tas ir divreiz lielāks par pamatnes rādiusu. Konusu var aprakstīt arī pēc tā augstuma (taisnais attālums no pamatnes līdz virsotnei) un slīpā augstuma (attālums no virsotnes pa konusa ārpusi līdz pamatnes malai). Ja ir zināmas jebkuras divas no šīm trim vērtībām, var atrast trešo.

Konusa diametra formula

Atkarībā no pieejamajiem mērījumiem diametru var atrast divos izplatītos veidos.

Pēc augstuma un slīpā augstuma:

$d = 2\sqrt{s^2 - h^2}$

Šeit d ir diametrs, s ir slīpais augstums un h ir augstums. Tas izriet no Pitagora teorēmas: slīpais augstums ir taisnleņķa trijstūra hipotenūza, ko veido augstums un rādiuss, tāpēc $s^2 = h^2 + r^2$. Izsakot rādiusu un reizinot to ar divi, iegūst diametru. Kalkulators aprēķina to pašu vērtību ekvivalentā formā $2\sqrt{(s-h)(s+h)}$. Abas formas dod vienādu rezultātu, taču otrā saglabā vairāk pareizu ciparu, ja slīpais augstums ir tikai nedaudz lielāks par augstumu.

Pēc rādiusa:

$d = 2r$

Tā ir vienkārši diametra definīcija. Ja rādiuss jau ir zināms, citi mērījumi nav vajadzīgi.

Slīpajam augstumam vienmēr jābūt lielākam par augstumu, jo tas ir taisnleņķa trijstūra hipotenūza, bet hipotenūza vienmēr ir garākā mala. Ja slīpais augstums ir vienāds ar augstumu vai īsāks par to, aprakstītā figūra nav derīgs konuss.

Kā aprēķināt konusa diametru

Metode 1: augstums un slīpais augstums

1. Izmēriet augstumu (h), taisno vertikālo attālumu no pamatnes līdz virsotnei.
2. Izmēriet slīpo augstumu (s), attālumu no virsotnes līdz pamatnes malai gar konusa virsmu.
3. Kāpiniet abas vērtības kvadrātā, no slīpā augstuma kvadrāta atņemiet augstuma kvadrātu un izvelciet kvadrātsakni: $\sqrt{s^2 - h^2}$.
4. Lai iegūtu diametru, reiziniet rezultātu ar 2.

Metode 2: rādiuss

1. Izmēriet rādiusu (r), attālumu no pamatnes centra līdz tās malai.
2. Reiziniet ar 2.

Vienlaikus jāizmanto tikai viena no šīm divām metodēm. Augstuma, slīpā augstuma un rādiusa ievadīšana kopā ir neviennozīmīga, jo šīs trīs vērtības var neatbilst vienam un tam pašam konusam.

Atrisināts piemērs

Piemērs 1: augstums un slīpais augstums

Konusa augstums ir 3 vienības, bet slīpais augstums ir 5 vienības.

$d = 2\sqrt{5^2 - 3^2} = 2\sqrt{25 - 9} = 2\sqrt{16} = 2 \times 4 = 8$

Diametrs ir 8 vienības.

Piemērs 2: rādiuss

Konusa rādiuss ir 4 vienības.

$d = 2 \times 4 = 8$

Diametrs ir 8 vienības. Tas atbilst 1. piemēram 1, jo konusam, kura augstums ir 3 un slīpais augstums ir 5, pamatnes rādiuss ir 4.

Piemērs 3: plakans konuss

Konusa augstums ir 0,1 vienības, bet slīpais augstums ir 10 vienības.

$d = 2\sqrt{10^2 - 0.1^2} = 2\sqrt{100 - 0.01} = 2\sqrt{99.99} \approx 19.999$

Diametrs ir aptuveni 20,00 vienības. Ja augstums ir ļoti mazs salīdzinājumā ar slīpo augstumu, diametrs tuvojas divkāršam slīpajam augstumam.

Piemērs 4: adatveida konuss

Konusa augstums ir 9,99 vienības, bet slīpais augstums ir 10 vienības.

$d = 2\sqrt{10^2 - 9.99^2} = 2\sqrt{100 - 99.8001} = 2\sqrt{0.1999} \approx 0.894$

Diametrs ir aptuveni 0,89 vienības. Ja slīpais augstums ir tikai nedaudz lielāks par augstumu, konuss ir augsts un šaurs, bet tā pamatnes diametrs ir mazs.

Kur izmanto konusa diametra aprēķinus

Konusa diametru izmanto visur, kur mēra vai veido koniskas formas. Inženieri to izmanto piltuvju, sprauslu un konisku tvertņu projektēšanā. Ražotāji to izmanto veidņu un konisku detaļu izmēru noteikšanai. Ģeologi līdzīgus mērījumus izmanto vulkānisko konusu aprakstīšanai. Tāda pati sakarība starp augstumu, slīpo augstumu un rādiusu attiecas uz jebkuru taisnu riņķa konusu — no papīra svētku cepures līdz raķetes priekšgalam.

Vēsture

Konusu matemātiskā izpēte aizsākās Senajā Grieķijā. Perģas Apolonijs, kurš darbojās ap 200 gadu p.m.ē., uzrakstīja nozīmīgu traktātu ar nosaukumu Conics, kurā pētīja, kā plaknes šķeļ konusus, veidojot riņķus, elipses, parabolas un hiperbolas. Pamata sakarība starp konusa augstumu, rādiusu un slīpo augstumu, kas balstās uz Pitagora teorēmu, ir zināma kopš senatnes un joprojām tiek izmantota.

Biežāk uzdotie jautājumi

Kāds ir konusa diametrs?

Tas ir konusa apļveida pamatnes platums, kas mērīts taisni caur centru. Tas ir divreiz lielāks par pamatnes rādiusu.

Kā atrast konusa diametru bez rādiusa?

Izmantojiet augstumu un slīpo augstumu ar formulu $d = 2\sqrt{s^2 - h^2}$. Tā, izmantojot Pitagora teorēmu, ļauj atrast rādiusu un pēc tam to reizināt ar divi.

Kāda ir sakarība starp konusa diametru, augstumu un slīpo augstumu?

Augstums, rādiuss un slīpais augstums veido taisnleņķa trijstūri. Slīpais augstums ir hipotenūza, augstums ir viena katete, bet rādiuss — otra katete: $s^2 = h^2 + r^2$. Diametrs ir divreiz lielāks par rādiusu.

Kāpēc kalkulators noraida dažas vērtības?

Augstumam jābūt lielākam par nulli. Slīpajam augstumam jābūt lielākam par augstumu, jo hipotenūza nevar būt īsāka par kateti vai vienāda ar to. Rādiusam jābūt lielākam par nulli. Augstums un slīpais augstums vai rādiuss jāievada atsevišķi; visu trīs vērtību ievadīšana vienlaikus ir neviennozīmīga, tāpēc tiek noraidīta. Ja kopā ar augstumu tiek ievadīts rādiuss, izmanto tikai rādiusu, jo tas jau nosaka diametru.

Vai konusam var būt divi dažādi diametri?

Standarta konusam ir viens diametrs pie pamatnes, un tas beidzas ar punktu virsotnē. Atšķeltam konusam, kas ir konuss ar nogrieztu smailo augšdaļu, ir divi diametri — pa vienam katrā plakanajā galā.

Kādas mērvienības jāizmanto?

Der jebkura savstarpēji saderīga mērvienība, piemēram, centimetri, metri vai collas. Rezultāts tiek iegūts tajā pašā mērvienībā, kas izmantota ievaddatiem.

Atsauces

1. Weisstein, Eric W. "Cone." MathWorld, Wolfram Research. https://mathworld.wolfram.com/Cone.html
2. O'Connor, J.J. un Robertson, E.F. "Conic sections." MacTutor History of Mathematics Archive, Sentendrūsas Universitāte. https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Conic_sections/