Taisnā apļa konusa kalkulators - virsmas un tilpuma aprēķins

Tiešā konusa kalkulators

Ievads

Tiešais konuss ir trīsdimensiju ģeometriska forma, kas pakāpeniski sašaurinās no plakana apļa pamatnes līdz punktam, ko sauc par virsotni vai virsotni. Tas tiek saukts par "tiešo", jo līnijas segments (ass), kas savieno virsotni ar pamatnes centru, ir perpendikulārs pamatnei. Šis kalkulators palīdz jums atrast galvenās īpašības tiešajam konusam:

Kopējā virsma (A): Pamatnes laukuma un laterālās (sānu) virsmas laukuma summa.
Tilpums (V): Telpas daudzums, kas ir konusa iekšpusē.
Laterālās virsmas laukums (Aₗ): Konusa sānu virsmas laukums.
Pamatnes virsmas laukums (A_b): Apļa pamatnes laukums.

Šo īpašību izpratne ir būtiska tādās jomās kā inženierija, arhitektūra un dažādās fiziskajās zinātnēs.

Formulas

Definīcijas

Lai:

r = Pamatnes rādiuss
h = Konusa augstums (perpendikulārā distance no pamatnes līdz virsotnei)
l = Konusa slīpuma augstums

Slīpuma augstumu (l) var aprēķināt, izmantojot Pitagora teorēmu:

l = \sqrt{r^2 + h^2}

Aprēķini

Pamatnes virsmas laukums (A_b):

Apļa pamatnes laukums ir dots ar:
$A_b = \pi r^2$
Laterālās virsmas laukums (Aₗ):

Laterālās virsmas laukums ir konusa sānu virsmas laukums:
$Aₗ = \pi r l$
Kopējā virsma (A):

Pamatnes laukuma un laterālās virsmas laukuma summa:
$A = A_b + Aₗ = \pi r^2 + \pi r l = \pi r (r + l)$
Tilpums (V):

Telpa, kas ir konusa iekšpusē:
$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

Malu gadījumi

Nulles rādiuss (r = 0): Ja rādiuss ir nulle, konuss sabrūk līnijā, rezultātā iegūstot nulles tilpumu un virsmas laukumus.
Nulles augstums (h = 0): Ja augstums ir nulle, konuss kļūst par plakanu disku (pamatni), un tilpums ir nulle. Kopējā virsma ir vienāda ar pamatnes laukumu.
Negatīvas vērtības: Negatīvas vērtības rādiusam vai augstumam šajā kontekstā ir neīstenīgas. Kalkulators nodrošina, ka r ≥ 0 un h ≥ 0.

Lietošanas gadījumi

Inženierija un dizains

Ražošana: Konusveida komponentu, piemēram, piltuvju, aizsargkonusu un mašīnu detaļu projektēšana.
Būvniecība: Materiālu aprēķināšana konusveida jumtiem, torņiem vai atbalsta konstrukcijām.

Fiziskās zinātnes

Optika: Gaismas izplatīšanās izpratne konusveida struktūrās.
Ģeoloģija: Vulcānisko konusu modelēšana un magma kameras tilpumu aprēķināšana.

Matemātikas izglītība

Ģeometrijas mācīšana: Trīsdimensiju ģeometrijas un kalkulācijas principu demonstrēšana.
Problēmu risināšana: Praktisku pielietojumu piedāvāšana matemātisko jēdzienu izpratnei.

Alternatīvas

Cilindra aprēķini: Formulas formām ar vienmērīgu šķērsgriezumu var būt piemērotākas.
Konusa frustums: Ja konuss ir nogriezts (sagriezts), ir nepieciešami aprēķini konusa frustumam.

Vēsture

Konusu pētījumi datēti ar senajiem grieķu matemātiķiem, piemēram, Eiklīdu un Apoloniju no Perga, kuri sistemātiski pētīja koniskās sekcijas. Konusi ir bijuši būtiski ģeometrijas, kalkulācijas attīstībā un tiem ir pielietojumi astronomijā un fizikā.

Eiklīda elementi: Agrīnas definīcijas un konusa īpašības.
Apolonija koniskās sekcijas: Detalizēta pētīšana par līkņu veidošanu, krustojot konusu ar plakni.
Kalkulācijas attīstība: Tilpumu un virsmas laukumu aprēķināšana veicināja integrālo kalkulāciju.

Piemēri

Skaitliskais piemērs

Dotais konuss ar rādiusu r = 5 vienības un augstumu h = 12 vienības.

Aprēķiniet slīpuma augstumu (l):
$l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ vienības}$
Pamatnes virsmas laukums (A_b):
$A_b = \pi r^2 = \pi (5)^2 = 25\pi \approx 78.54 \text{ vienības}^2$
Laterālās virsmas laukums (Aₗ):
$Aₗ = \pi r l = \pi (5)(13) = 65\pi \approx 204.20 \text{ vienības}^2$
Kopējā virsma (A):
$A = A_b + Aₗ = 25\pi + 65\pi = 90\pi \approx 282.74 \text{ vienības}^2$
Tilpums (V):
$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (5)^2 (12) = \frac{1}{3} \pi (25)(12) = 100\pi \approx 314.16 \text{ vienības}^3$

Koda piemēri

Excel

1' Aprēķināt tiešā konusa īpašības Excel VBA
2Function ConeProperties(r As Double, h As Double) As String
3    If r < 0 Or h < 0 Then
4        ConeProperties = "Rādiusam un augstumam jābūt nenegatīviem."
5        Exit Function
6    End If
7    l = Sqr(r ^ 2 + h ^ 2)
8    A_b = WorksheetFunction.Pi() * r ^ 2
9    A_l = WorksheetFunction.Pi() * r * l
10    A = A_b + A_l
11    V = (1 / 3) * WorksheetFunction.Pi() * r ^ 2 * h
12    ConeProperties = "Pamatnes laukums: " & A_b & vbCrLf & _
13                     "Laterālais laukums: " & A_l & vbCrLf & _
14                     "Kopējā virsma: " & A & vbCrLf & _
15                     "Tilpums: " & V
16End Function
17' Lietošana Excel šūnā:
18' =ConeProperties(5, 12)
19

Python

1import math
2
3def cone_properties(r, h):
4    if r < 0 or h < 0:
5        return "Rādiusam un augstumam jābūt nenegatīviem."
6    l = math.sqrt(r ** 2 + h ** 2)
7    A_b = math.pi * r ** 2
8    A_l = math.pi * r * l
9    A = A_b + A_l
10    V = (1 / 3) * math.pi * r ** 2 * h
11    return {
12        'Pamatnes laukums': A_b,
13        'Laterālais laukums': A_l,
14        'Kopējā virsma': A,
15        'Tilpums': V
16    }
17
18## Piemēra lietošana
19result = cone_properties(5, 12)
20for key, value in result.items():
21    print(f"{key}: {value:.4f}")
22

JavaScript

1function coneProperties(r, h) {
2  if (r < 0 || h < 0) {
3    return "Rādiusam un augstumam jābūt nenegatīviem.";
4  }
5  const l = Math.sqrt(r ** 2 + h ** 2);
6  const A_b = Math.PI * r ** 2;
7  const A_l = Math.PI * r * l;
8  const A = A_b + A_l;
9  const V = (1 / 3) * Math.PI * r ** 2 * h;
10  return {
11    pamatnesLaukums: A_b,
12    laterālaisLaukums: A_l,
13    kopējāVirsma: A,
14    tilpums: V,
15  };
16}
17
18// Piemēra lietošana
19const result = coneProperties(5, 12);
20for (const [key, value] of Object.entries(result)) {
21  console.log(`${key}: ${value.toFixed(4)}`);
22}
23

Java

1public class RightCircularCone {
2    public static void main(String[] args) {
3        double r = 5;
4        double h = 12;
5        String result = coneProperties(r, h);
6        System.out.println(result);
7    }
8
9    public static String coneProperties(double r, double h) {
10        if (r < 0 || h < 0) {
11            return "Rādiusam un augstumam jābūt nenegatīviem.";
12        }
13        double l = Math.sqrt(Math.pow(r, 2) + Math.pow(h, 2));
14        double A_b = Math.PI * Math.pow(r, 2);
15        double A_l = Math.PI * r * l;
16        double A = A_b + A_l;
17        double V = (1.0 / 3) * Math.PI * Math.pow(r, 2) * h;
18        return String.format("Pamatnes laukums: %.4f\nLaterālais laukums: %.4f\nKopējā virsma: %.4f\nTilpums: %.4f",
19                A_b, A_l, A, V);
20    }
21}
22

C++

1#include <iostream>
2#include <cmath>
3#include <string>
4
5std::string coneProperties(double r, double h) {
6    if (r < 0 || h < 0) {
7        return "Rādiusam un augstumam jābūt nenegatīviem.";
8    }
9    double l = std::sqrt(r * r + h * h);
10    double A_b = M_PI * r * r;
11    double A_l = M_PI * r * l;
12    double A = A_b + A_l;
13    double V = (1.0 / 3) * M_PI * r * r * h;
14    char buffer[256];
15    snprintf(buffer, sizeof(buffer), "Pamatnes laukums: %.4f\nLaterālais laukums: %.4f\nKopējā virsma: %.4f\nTilpums: %.4f",
16             A_b, A_l, A, V);
17    return std::string(buffer);
18}
19
20int main() {
21    double r = 5;
22    double h = 12;
23    std::string result = coneProperties(r, h);
24    std::cout << result << std::endl;
25    return 0;
26}
27

Diagrammas

SVG diagramma par tiešo konusu

Diagrammas izskaidrojums

Konusa forma: Konuss attēlots ar sānu ceļu un pamatnes elipsi, lai attēlotu trīsdimensiju formu.
Augstums (h): Attēlots kā punktēta līnija no virsotnes līdz pamatnes centram.
Rādiuss (r): Attēlots kā punktēta līnija no pamatnes centra līdz tās malai.
Etiķetes: Norāda konusa dimensijas.

Atsauces

Hidrauliskais diametrs - Vikipēdija
Atvērta kanāla plūsmas kalkulators
Thomas, G. B., & Finney, R. L. (1996). Kalkulācija un analītiskā ģeometrija. Addison Wesley.

Piezīme: Kalkulators nodrošina, ka rādiusam (r) un augstumam (h) jābūt lielākiem vai vienādiem ar nulli. Negatīvas ievades tiek uzskatītas par nederīgām un radīs kļūdas ziņojumu.

Whiz Tools