Kvadrātiskās vienādojuma atrisinātājs - Aprēķiniet saknes ax² + bx + c = 0

Kas ir kvadrātvienādojums?

Kvadrātvienādojums ir vienādojums formā $ax^2 + bx + c = 0$, kur $a$, $b$ un $c$ ir skaitļi un $a$ nav nulle. Šajā lapā esošais kvadrātvienādojumu risinātājs, izmantojot lietotāja ievadītos koeficientus $a$, $b$ un $c$, atrod to $x$ vērtību vai vērtības, kurām vienādojums ir patiess.

Ja $a$ būtu nulle, loceklis $x^2$ izzustu un vienādojums kvadrātvienādojuma vietā kļūtu par lineāru vienādojumu. Tāpēc kalkulators pieprasa $a \neq 0$ un parāda kļūdu, ja $a = 0$.

Kvadrātvienādojuma formula

Ikvienu kvadrātvienādojumu formā $ax^2 + bx + c = 0$ var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma formulu:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Zīme $\pm$ apzīmē divus atsevišķus aprēķinus: vienu ar plusa zīmi un otru ar mīnusa zīmi. Tāpēc kvadrātvienādojumam var būt divi dažādi atrisinājumi.

Izteiksmi zem kvadrātsaknes, $b^2 - 4ac$, sauc par diskriminantu. To parasti apzīmē ar $\Delta$, kas ir grieķu alfabēta burts delta. Tikai diskriminants jau iepriekš parāda, cik reālu atrisinājumu ir vienādojumam, neveicot pārējo aprēķinu.

Kā aprēķināt saknes

1. Uzrakstiet vienādojumu standarta formā $ax^2 + bx + c = 0$.
2. Nosakiet koeficientus $a$, $b$ un $c$.
3. Aprēķiniet diskriminantu: $\Delta = b^2 - 4ac$.
4. Ja $\Delta$ ir pozitīvs, aprēķiniet abas saknes, izmantojot $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.
5. Ja $\Delta$ ir nulle, aprēķiniet vienīgo sakni, izmantojot $x = \dfrac{-b}{2a}$.
6. Ja $\Delta$ ir negatīvs, vienādojumam nav reālu sakņu, jo negatīvam skaitlim nav reālas kvadrātsaknes.

Šajā lapā esošais kalkulators šīs darbības veic automātiski. Tas pieņem koeficientus no $-10^{10}$ līdz $10^{10}$ un noapaļo rezultātus līdz izvēlētam ciparu skaitam aiz komata — no 0 līdz 10.

Ko nozīmē diskriminants

Šis kalkulators, ja $\Delta$ ir negatīvs, paziņo, ka reālu sakņu nav. Tas neaprēķina kompleksās saknes — skaitļus, kas ietver $i = \sqrt{-1}$.

Aprēķina piemērs

Atrisiniet $x^2 + 5x + 6 = 0$.

Šeit $a = 1$, $b = 5$ un $c = 6$.

Vispirms atrodiet diskriminantu:

$\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$

Tā kā $\Delta$ ir pozitīvs, vienādojumam ir divas reālas saknes:

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{-5 \pm 1}{2}$

$x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = -2 \qquad x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = -3$

To var pārbaudīt, sadalot reizinātājos: $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$, un izteiksme ir nulle, ja $x = -2$ vai $x = -3$.

Otrajā piemērā diskriminants ir negatīvs. Vienādojumam $x^2 + x + 1 = 0$ ir $a = 1$, $b = 1$, $c = 1$, tāpēc $\Delta = 1 - 4 = -3$. Tā kā $\Delta$ ir negatīvs, vienādojumam nav reālu sakņu.

Parabola, virsotne un simetrijas ass

Funkcijas $f(x) = ax^2 + bx + c$ grafiks ir līkne, ko sauc par parabolu. Ja $a$ ir pozitīvs, parabola ir vērsta uz augšu un tai ir zemākais punkts. Ja $a$ ir negatīvs, tā ir vērsta uz leju un tai ir augstākais punkts. Šo zemāko vai augstāko punktu sauc par virsotni.

Virsotne atrodas punktā:

$x = -\frac{b}{2a}, \qquad y = f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)$

Vertikālu taisni caur virsotni, $x = -\dfrac{b}{2a}$, sauc par simetrijas asi, jo abas parabolas puses ir tās spoguļattēli. Vienādojuma reālās saknes ir punkti, kuros parabola šķērso x asi, tāpēc tās atrodas simetrijas ass abās pusēs vienādā attālumā no tās.

Kalkulators blakus rezultātam uzzīmē šo parabolu. Tas uz līknes atzīmē virsotni un visas reālās saknes, kā arī vajadzības gadījumā paplašina attēloto diapazonu, lai ikviena sakne paliktu redzama.

Kur izmanto kvadrātvienādojumus

Kvadrātvienādojumi apraksta daudzas reālas situācijas. Fizikā izmesta objekta augstumu laikā apraksta vienādojums $h(t) = -\tfrac{1}{2}gt^2 + v_0t + h_0$, un tā atrisināšana attiecībā uz $t$ dod laiku, kad objekts nokrīt. Inženierzinātnēs satelītantēnām un tiltu trosēm ir paraboliska forma, jo to forma palīdz fokusēt vai sadalīt spēku. Datorgrafikā staru trasēšanas programmas risina kvadrātvienādojumus, lai noteiktu, kur taisne krusto sfēru.

Īsa vēsture

Babiloniešu matemātiķi konkrētas kvadrātvienādojumu problēmas risināja aptuveni 2000. gadā p. m. ē., izmantojot ģeometriskas, nevis algebriskas metodes. Arī tādi grieķu matemātiķi kā Eiklīds kvadrātvienādojumus aplūkoja ģeometriski. Ap 600. gadu m. ē. indiešu matemātiķis Brahmagupta sniedza skaidru sakņu formulu, kas ietvēra arī negatīvus risinājumus. Ap 800. gadu m. ē. persiešu matemātiķis al-Hvārizmī grāmatā aprakstīja sistemātiskas kvadrātvienādojumu risināšanas metodes; tās nosaukums vēlāk deva vārdu “algebra”. Kvadrātvienādojuma formulas mūsdienu simboliskais pieraksts vēlāk nostiprinājās kā standarts, kad renesanses laikā attīstījās algebriskā notācija.

Biežāk uzdotie jautājumi

Kas notiek, ja koeficientam a ievadu 0? Kalkulators parāda kļūdu, jo $a = 0$ pārvērš vienādojumu par lineāru vienādojumu $bx + c = 0$, ko risina citādi.

Kāpēc vienādojumam dažkārt nav reālu sakņu? Tas notiek, ja diskriminants $b^2 - 4ac$ ir negatīvs. Negatīvam skaitlim nav reālas kvadrātsaknes, tāpēc formula nevar dot $x$ reālu vērtību. Vienādojumam joprojām ir divas kompleksas saknes, taču šis kalkulators tās neaprēķina.

Kāda ir atšķirība starp sakni un atrisinājumu? Nekāda. Abi vārdi apzīmē tādu $x$ vērtību, kas vienādojuma kreiso pusi padara vienādu ar nulli. “Sakne” attiecas uz vietu, kur grafiks satiekas ar x asi, bet “atrisinājums” — uz algebrisko risinājumu.

Cik ciparus aiz komata var izvēlēties? No 0 līdz 10. Ikdienas uzdevumiem parasti pietiek ar diviem vai trim cipariem aiz komata.

Vai var ievadīt ļoti lielus koeficientus? Koeficientiem jābūt diapazonā no $-10^{10}$ līdz $10^{10}$. Vērtības ārpus šī diapazona var radīt noapaļošanas kļūdas, tāpēc tās tiek noraidītas.

Vai šis kalkulators var atrast kompleksās saknes? Nē. Ja diskriminants ir negatīvs, tas kompleksu skaitļu aprēķināšanas vietā paziņo, ka reālu sakņu nav.

Atsauces

1. Quadratic Equation – MathWorld
2. NIST Mathematical Functions digitālā bibliotēka, §1.11, Algebra: kvadrātvienādojums