Right Circular Cone Calculator for Surface Area and Volume

Pengira Kone Silinder Betul

Pengenalan

Kone silinder betul adalah bentuk geometri tiga dimensi yang meruncing secara lancar dari pangkal bulatan rata kepada satu titik yang dipanggil puncak atau vertex. Ia dipanggil "betul" kerana segmen garis (paksi) yang menghubungkan puncak kepada pusat pangkal adalah tegak lurus kepada pangkal. Kalkulator ini membantu anda mencari sifat-sifat utama bagi kone silinder betul:

Jumlah Luas Permukaan (A): Jumlah kawasan pangkal dan kawasan permukaan lateral (sisi).
Isipadu (V): Jumlah ruang yang terkurung dalam kone.
Luas Permukaan Lateral (Aₗ): Kawasan permukaan sisi kone.
Luas Permukaan Pangkalan (A_b): Kawasan pangkal bulatan.

Memahami sifat-sifat ini adalah penting dalam bidang seperti kejuruteraan, seni bina, dan pelbagai sains fizikal.

Formula

Definisi

Biarkan:

r = Jari-jari pangkal
h = Ketinggian kone (jarak tegak lurus dari pangkal ke puncak)
l = Ketinggian miring kone

Ketinggian miring (l) boleh dikira menggunakan teorem Pythagoras:

l = \sqrt{r^2 + h^2}

Pengiraan

Luas Permukaan Pangkalan (A_b):

Kawasan pangkal bulatan diberikan oleh:
$A_b = \pi r^2$
Luas Permukaan Lateral (Aₗ):

Luas permukaan lateral adalah kawasan permukaan sisi kone:
$Aₗ = \pi r l$
Jumlah Luas Permukaan (A):

Jumlah kawasan pangkal dan luas permukaan lateral:
$A = A_b + Aₗ = \pi r^2 + \pi r l = \pi r (r + l)$
Isipadu (V):

Ruang yang terkurung dalam kone:
$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

Kes Tepi

Jari-jari Sifar (r = 0): Jika jari-jari adalah sifar, kone akan runtuh menjadi satu garis, menghasilkan isipadu dan luas permukaan sifar.
Ketinggian Sifar (h = 0): Jika ketinggian adalah sifar, kone menjadi cakera rata (pangkal), dan isipadu adalah sifar. Jumlah luas permukaan sama dengan luas pangkal.
Nilai Negatif: Nilai negatif untuk jari-jari atau ketinggian adalah tidak fizikal dalam konteks ini. Kalkulator memastikan bahawa r ≥ 0 dan h ≥ 0.

Kes Penggunaan

Kejuruteraan dan Reka Bentuk

Pembuatan: Merekabentuk komponen konikal seperti corong, kon pelindung, dan bahagian mesin.
Pembinaan: Mengira bahan yang diperlukan untuk bumbung konikal, menara, atau struktur sokongan.

Sains Fizikal

Optik: Memahami penyebaran cahaya dalam struktur konikal.
Geologi: Memodelkan kone gunung berapi dan mengira isipadu ruang magma.

Pendidikan Matematik

Mengajar Geometri: Menunjukkan prinsip geometri tiga dimensi dan kalkulus.
Penyelesaian Masalah: Menawarkan aplikasi praktikal untuk konsep matematik.

Alternatif

Pengiraan Silinder: Untuk bentuk dengan keratan rentas yang seragam, formula silinder mungkin lebih sesuai.
Frustum Kone: Jika kone dipotong (dipotong), pengiraan untuk frustum kon adalah perlu.

Sejarah

Kajian mengenai kone bermula sejak zaman matematikawan Yunani purba seperti Euclid dan Apollonius dari Perga, yang secara sistematik mengkaji seksyen konik. Kone telah menjadi penting dalam pembangunan geometri, kalkulus, dan mempunyai aplikasi dalam astronomi dan fizik.

Elemen Euclid: Definisi awal dan sifat-sifat kone.
Seksi Konik Apollonius: Kajian terperinci mengenai lengkung yang terbentuk dengan memotong kone dengan satu pesawat.
Pembangunan Kalkulus: Pengiraan isipadu dan luas permukaan menyumbang kepada kalkulus integral.

Contoh

Contoh Nombor

Diberikan kone dengan jari-jari r = 5 unit dan ketinggian h = 12 unit.

Kira ketinggian miring (l):
$l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ unit}$
Luas Permukaan Pangkalan (A_b):
$A_b = \pi r^2 = \pi (5)^2 = 25\pi \approx 78.54 \text{ unit}^2$
Luas Permukaan Lateral (Aₗ):
$Aₗ = \pi r l = \pi (5)(13) = 65\pi \approx 204.20 \text{ unit}^2$
Jumlah Luas Permukaan (A):
$A = A_b + Aₗ = 25\pi + 65\pi = 90\pi \approx 282.74 \text{ unit}^2$
Isipadu (V):
$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (5)^2 (12) = \frac{1}{3} \pi (25)(12) = 100\pi \approx 314.16 \text{ unit}^3$

Contoh Kod

Excel

1' Kira sifat-sifat kone silinder betul dalam Excel VBA
2Function ConeProperties(r As Double, h As Double) As String
3    If r < 0 Or h < 0 Then
4        ConeProperties = "Jari-jari dan ketinggian mesti tidak negatif."
5        Exit Function
6    End If
7    l = Sqr(r ^ 2 + h ^ 2)
8    A_b = WorksheetFunction.Pi() * r ^ 2
9    A_l = WorksheetFunction.Pi() * r * l
10    A = A_b + A_l
11    V = (1 / 3) * WorksheetFunction.Pi() * r ^ 2 * h
12    ConeProperties = "Luas Pangkalan: " & A_b & vbCrLf & _
13                     "Luas Lateral: " & A_l & vbCrLf & _
14                     "Jumlah Luas Permukaan: " & A & vbCrLf & _
15                     "Isipadu: " & V
16End Function
17' Penggunaan dalam sel Excel:
18' =ConeProperties(5, 12)
19

Python

1import math
2
3def cone_properties(r, h):
4    if r < 0 or h < 0:
5        return "Jari-jari dan ketinggian mesti tidak negatif."
6    l = math.sqrt(r ** 2 + h ** 2)
7    A_b = math.pi * r ** 2
8    A_l = math.pi * r * l
9    A = A_b + A_l
10    V = (1 / 3) * math.pi * r ** 2 * h
11    return {
12        'Luas Pangkalan': A_b,
13        'Luas Lateral': A_l,
14        'Jumlah Luas Permukaan': A,
15        'Isipadu': V
16    }
17
18## Penggunaan contoh
19result = cone_properties(5, 12)
20for key, value in result.items():
21    print(f"{key}: {value:.4f}")
22

JavaScript

1function coneProperties(r, h) {
2  if (r < 0 || h < 0) {
3    return "Jari-jari dan ketinggian mesti tidak negatif.";
4  }
5  const l = Math.sqrt(r ** 2 + h ** 2);
6  const A_b = Math.PI * r ** 2;
7  const A_l = Math.PI * r * l;
8  const A = A_b + A_l;
9  const V = (1 / 3) * Math.PI * r ** 2 * h;
10  return {
11    luasPangkalan: A_b,
12    luasLateral: A_l,
13    jumlahLuasPermukaan: A,
14    isipadu: V,
15  };
16}
17
18// Penggunaan contoh
19const result = coneProperties(5, 12);
20for (const [key, value] of Object.entries(result)) {
21  console.log(`${key}: ${value.toFixed(4)}`);
22}
23

Java

1public class RightCircularCone {
2    public static void main(String[] args) {
3        double r = 5;
4        double h = 12;
5        String result = coneProperties(r, h);
6        System.out.println(result);
7    }
8
9    public static String coneProperties(double r, double h) {
10        if (r < 0 || h < 0) {
11            return "Jari-jari dan ketinggian mesti tidak negatif.";
12        }
13        double l = Math.sqrt(Math.pow(r, 2) + Math.pow(h, 2));
14        double A_b = Math.PI * Math.pow(r, 2);
15        double A_l = Math.PI * r * l;
16        double A = A_b + A_l;
17        double V = (1.0 / 3) * Math.PI * Math.pow(r, 2) * h;
18        return String.format("Luas Pangkalan: %.4f\nLuas Lateral: %.4f\nJumlah Luas Permukaan: %.4f\nIsipadu: %.4f",
19                A_b, A_l, A, V);
20    }
21}
22

C++

1#include <iostream>
2#include <cmath>
3#include <string>
4
5std::string coneProperties(double r, double h) {
6    if (r < 0 || h < 0) {
7        return "Jari-jari dan ketinggian mesti tidak negatif.";
8    }
9    double l = std::sqrt(r * r + h * h);
10    double A_b = M_PI * r * r;
11    double A_l = M_PI * r * l;
12    double A = A_b + A_l;
13    double V = (1.0 / 3) * M_PI * r * r * h;
14    char buffer[256];
15    snprintf(buffer, sizeof(buffer), "Luas Pangkalan: %.4f\nLuas Lateral: %.4f\nJumlah Luas Permukaan: %.4f\nIsipadu: %.4f",
16             A_b, A_l, A, V);
17    return std::string(buffer);
18}
19
20int main() {
21    double r = 5;
22    double h = 12;
23    std::string result = coneProperties(r, h);
24    std::cout << result << std::endl;
25    return 0;
26}
27

Rajah

Rajah SVG Kone Silinder Betul

Penjelasan Rajah

Bentuk Kone: Kone digambarkan dengan laluan sisi dan ellips pangkal untuk mewakili bentuk tiga dimensi.
Ketinggian (h): Ditunjukkan sebagai garis putus-putus dari puncak ke pusat pangkal.
Jari-jari (r): Ditunjukkan sebagai garis putus-putus dari pusat pangkal ke tepinya.
Label: Menunjukkan dimensi kone.

Rujukan

Diameter Hidraulik - Wikipedia
Pengira Aliran Saluran Terbuka
Thomas, G. B., & Finney, R. L. (1996). Kalkulus dan Geometri Analitik. Addison Wesley.

Nota: Kalkulator memastikan bahawa jari-jari (r) dan ketinggian (h) mesti lebih besar atau sama dengan sifar. Input negatif dianggap tidak sah dan akan menghasilkan mesej ralat.

Whiz Tools