Conic Sections Calculator: Explore Curves and Eccentricity

Kalkulator Seksyen Konik

Pengenalan

Dengan hanya memotong kon dengan satu pesawat, anda boleh mendapatkan banyak lengkung menarik yang dikenali sebagai seksyen konik. Ini termasuk lingkaran, elips, parabola, dan hiperbola. Seksyen konik adalah asas dalam matematik dan muncul dalam pelbagai bidang seperti astronomi, fizik, kejuruteraan, dan seni bina.

Kalkulator Seksyen Konik kami membolehkan anda meneroka lengkung menarik ini dengan mengira eksentrikiti dan mendapatkan persamaan standard mereka berdasarkan parameter input anda. Selami dunia seksyen konik dan temui sifat dan aplikasi unik mereka.

Cara Menggunakan Kalkulator Ini

Pilih Jenis Seksyen Konik:
- Lingkaran
- Elips
- Parabola
- Hiperbola
Masukkan Parameter Yang Diperlukan:
- Lingkaran: Masukkan Jari-jari ( $r$ ).
- Elips: Masukkan Paksi separuh utama ( $a$ ) dan Paksi separuh kecil ( $b$ ).
- Parabola: Masukkan Panjang Fokus ( $f$ ).
- Hiperbola: Masukkan Paksi Transverse ( $a$ ) dan Paksi Konjugat ( $b$ ).
Klik "Kira" untuk mengira:
- Eksentrikiti ( $e$ ).
- Persamaan Standard seksyen konik.
- Representasi Visual lengkung tersebut.
Semak Keputusan yang dipaparkan di bawah kalkulator.

Pengesahan Input

Kalkulator melakukan pemeriksaan berikut pada input pengguna:

Nilai Positif: Semua parameter input mesti merupakan nombor nyata positif.
Sekatan Elips:
- Paksi separuh utama ( $a$ ) mesti lebih besar atau sama dengan Paksi separuh kecil ( $b$ ).
Sekatan Hiperbola:
- Paksi Transverse ( $a$ ) mesti lebih besar daripada Paksi Konjugat ( $b$ ).

Jika input tidak sah diberikan, mesej ralat akan dipaparkan, dan pengiraan akan dihentikan sehingga input yang sah dimasukkan.

Formula

Eksentrikiti ( $e$ ) adalah parameter utama yang menentukan bentuk seksyen konik, menunjukkan seberapa banyak ia menyimpang daripada bentuk bulatan.

Lingkaran

Eksentrikiti: $e = 0$
Persamaan Standard: $x^2 + y^2 = r^2$
Penerangan: Lingkaran adalah kes khas elips di mana titik fokus bertemu di pusat, menghasilkan eksentrikiti sifar.

Elips

Eksentrikiti: $e = \sqrt{1 - \left( \dfrac{b}{a} \right)^2}$
Persamaan Standard: $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$
Parameter:
- $a$ : Paksi separuh utama (jari-jari terpanjang).
- $b$ : Paksi separuh kecil (jari-jari terpendek).
Penerangan: Elips adalah bentuk oval di mana jumlah jarak dari mana-mana titik pada lengkung kepada dua titik fokus adalah tetap.

Parabola

Eksentrikiti: $e = 1$
Persamaan Standard (membuka ke kanan): $y^2 = 4 f x$
Parameter:
- $f$ : Panjang Fokus (jarak dari puncak ke fokus).
Penerangan: Parabola adalah lengkung pesawat simetri yang terbentuk oleh persimpangan kon dengan pesawat yang selari dengan sisinya.

Hiperbola

Eksentrikiti: $e = \sqrt{1 + \left( \dfrac{b}{a} \right)^2}$
Persamaan Standard: $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$
Parameter:
- $a$ : Paksi Transverse (jarak dari pusat ke vertex sepanjang paksi x).
- $b$ : Paksi Konjugat (berkaitan dengan jarak antara asimptot).
Penerangan: Hiperbola terdiri daripada dua lengkung terpisah yang dipanggil cabang, dan perbezaan jarak dari mana-mana titik pada lengkung kepada dua titik fokus adalah tetap.

Pengiraan

Berikut adalah cara kalkulator mengira eksentrikiti dan persamaan:

Untuk Lingkaran:
- Eksentrikiti: $e = 0$ .
- Persamaan: $x^2 + y^2 = r^2$ .
Untuk Elips:
- Semak: $a \geq b$ .
- Eksentrikiti: $e = \sqrt{1 - \left( \dfrac{b}{a} \right)^2}$
- Persamaan: $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$
Untuk Parabola:
- Eksentrikiti: $e = 1$ .
- Persamaan: $y^2 = 4 f x$
Untuk Hiperbola:
- Semak: $a > b$ .
- Eksentrikiti: $e = \sqrt{1 + \left( \dfrac{b}{a} \right)^2}$
- Persamaan: $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$

Kes Khas:

Elips menjadi Lingkaran: Apabila $a = b$ , elips menyederhanakan kepada lingkaran dengan $e = 0$ .
Input Tidak Sah:
- Nilai negatif atau sifar adalah tidak sah.
- Untuk elips dan hiperbola, jika $b > a$ , pengiraan tidak dapat diteruskan.

Unit dan Ketepatan

Unit: Unit adalah sewenang-wenangnya tetapi mesti konsisten (contohnya, semua dalam meter, sentimeter).
Ketepatan:
- Pengiraan menggunakan aritmetik titik terapung ketepatan berganda.
- Eksentrikiti dipaparkan sehingga empat tempat perpuluhan.
- Persamaan mengekalkan ketepatan yang sama seperti parameter input.

Kes Penggunaan

Seksyen konik mempunyai aplikasi yang luas:

Astronomi:
- Orbit planet adalah elips, dengan matahari di salah satu fokus.
- Laluan komet boleh jadi parabola atau hiperbola.
Fizik:
- Cermin parabola memfokuskan cahaya dan gelombang bunyi.
- Trajektori hiperbola menerangkan pergerakan zarah tertentu.
Kejuruteraan:
- Merancang piring satelit dan teleskop menggunakan bentuk parabola.
- Menara penyejuk hiperbola di loji kuasa untuk kecekapan struktur.
Seni Bina:
- Lengkung elips dalam jambatan dan bangunan untuk daya tarikan estetik dan kekuatan.
- Lengkung parabola dalam jambatan gantung.
Optik:
- Bentuk lensa berdasarkan seksyen konik untuk membetulkan aberrasi optik.

Alternatif

Lengkung dan bentuk lain mungkin dipertimbangkan bergantung kepada aplikasi:

Bentuk Bulatan: Pengiraan yang lebih mudah apabila ketepatan seksyen konik tidak diperlukan.
Lengkung Spline: Digunakan dalam grafik komputer untuk bentuk yang kompleks.
Lengkung Bezier: Digunakan dalam reka bentuk dan animasi untuk lengkung yang lancar dan boleh diskala.

Sejarah

Penerokaan seksyen konik bermula lebih dua milenia:

Menaechmus (circa 350 SM): Pertama kali menerangkan seksyen konik semasa cuba menyelesaikan masalah menggandakan kubus.
Euclid dan Archimedes: Mempelajari lebih lanjut tentang sifat seksyen konik.
Apollonius dari Perga (circa 200 SM): Dikenali sebagai "Geometer Hebat," beliau menulis karya penting "Conics," yang meletakkan asas untuk kajian seksyen konik.
Johannes Kepler (abad ke-17): Menemui bahawa planet bergerak dalam orbit elips, merumuskan tiga undang-undang gerakan planet.
Isaac Newton: Menggunakan seksyen konik dalam undang-undang graviti sejagatnya untuk menerangkan gerakan celestial.

Seksyen konik telah memainkan peranan penting dalam kemajuan matematik, fizik, dan kejuruteraan, mempengaruhi teknologi moden dan pemahaman saintifik.

Contoh

Excel (VBA)

1' Fungsi VBA untuk Mengira Eksentrikiti Hiperbola
2Function HyperbolaEccentricity(a As Double, b As Double) As Double
3    If a <= 0 Or b <= 0 Then
4        HyperbolaEccentricity = CVErr(xlErrValue)
5    ElseIf a <= b Then
6        HyperbolaEccentricity = CVErr(xlErrValue)
7    Else
8        HyperbolaEccentricity = Sqr(1 + (b ^ 2) / (a ^ 2))
9    End If
10End Function
11' Penggunaan dalam Excel:
12' =HyperbolaEccentricity(5, 3)
13

Python

1import math
2
3def ellipse_eccentricity(a, b):
4    if a <= 0 or b <= 0 or b > a:
5        raise ValueError("Parameter tidak sah: Pastikan a >= b > 0")
6    e = math.sqrt(1 - (b ** 2) / (a ** 2))
7    return e
8
9## Contoh penggunaan:
10a = 5.0  # Paksi separuh utama
11b = 3.0  # Paksi separuh kecil
12ecc = ellipse_eccentricity(a, b)
13print(f"Eksentrikiti elips: {ecc:.4f}")
14

JavaScript

1function calculateEccentricity(a, b) {
2  if (a <= 0 || b <= 0 || b > a) {
3    throw new Error("Parameter tidak sah: a mesti >= b > 0");
4  }
5  const e = Math.sqrt(1 - (b ** 2) / (a ** 2));
6  return e;
7}
8
9// Contoh penggunaan:
10const a = 5;
11const b = 3;
12const eccentricity = calculateEccentricity(a, b);
13console.log(`Eksentrikiti: ${eccentricity.toFixed(4)}`);
14

MATLAB

1% Skrip MATLAB untuk Mengira Eksentrikiti Parabola
2% Untuk parabola, eksentrikiti sentiasa 1
3e = 1;
4fprintf('Eksentrikiti parabola: %.4f\n', e);
5

C#

1using System;
2
3class ConicSection
4{
5    public static double ParabolaEccentricity()
6    {
7        return 1.0;
8    }
9
10    static void Main()
11    {
12        double eccentricity = ParabolaEccentricity();
13        Console.WriteLine($"Eksentrikiti parabola: {eccentricity}");
14    }
15}
16

Java

1public class ConicSectionCalculator {
2    public static double calculateCircleEccentricity() {
3        return 0.0;
4    }
5
6    public static void main(String[] args) {
7        double e = calculateCircleEccentricity();
8        System.out.printf("Eksentrikiti lingkaran: %.4f%n", e);
9    }
10}
11

Rust

1fn hyperbola_eccentricity(a: f64, b: f64) -> Result<f64, &'static str> {
2    if a <= 0.0 || b <= 0.0 || a <= b {
3        Err("Parameter tidak sah: a mesti > b > 0")
4    } else {
5        Ok((1.0 + (b.powi(2) / a.powi(2))).sqrt())
6    }
7}
8
9fn main() {
10    let a = 5.0;
11    let b = 3.0;
12    match hyperbola_eccentricity(a, b) {
13        Ok(eccentricity) => println!("Eksentrikiti: {:.4}", eccentricity),
14        Err(e) => println!("Ralat: {}", e),
15    }
16}
17

Contoh Numerik

Lingkaran:
- Jari-jari ( $r$ ): 5 unit
- Eksentrikiti ( $e$ ): $0$
- Persamaan: $x^2 + y^2 = 25$
Elips:
- Paksi separuh utama ( $a$ ): 5 unit
- Paksi separuh kecil ( $b$ ): 3 unit
- Eksentrikiti ( $e$ ): $e = \sqrt{1 - \left( \dfrac{3}{5} \right)^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8$
- Persamaan: $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$
Parabola:
- Panjang Fokus ( $f$ ): 2 unit
- Eksentrikiti ( $e$ ): $1$
- Persamaan: $y^2 = 8 x$
Hiperbola:
- Paksi Transverse ( $a$ ): 5 unit
- Paksi Konjugat ( $b$ ): 3 unit
- Eksentrikiti ( $e$ ): $e = \sqrt{1 + \left( \dfrac{3}{5} \right)^2} = \sqrt{1 + 0.36} = \sqrt{1.36} \approx 1.1667$
- Persamaan: $\dfrac{x^2}{25} - \dfrac{y^2}{9} = 1$

Whiz Tools

Conic Sections Calculator: Explore Curves and Eccentricity

Seksyen Konik

Dokumentasi