Kalkulator Keratan Kerucut - Bulatan, Elips, Parabola

Apakah Kalkulator Keratan Kon?

Kalkulator keratan rentas kon menentukan kesipian dan persamaan piawai bulatan, elips, parabola atau hiperbola berdasarkan beberapa ukuran. Keempat-empat lengkung ini terhasil apabila satah rata memotong kon pada sudut yang berbeza.

Empat Keratan Kon

Memotong kon secara melintang menghasilkan bulatan. Mencondongkan satah menghasilkan elips. Memotong selari dengan sisi kon menghasilkan parabola. Memotong kedua-dua bahagian kon berganda menghasilkan hiperbola.

Setiap lengkung mempunyai kesipian, iaitu nombor yang menunjukkan sejauh mana lengkung itu berbeza daripada bulatan sempurna.

• Bulatan: $e = 0$
• Elips: $0 < e < 1$
• Parabola: $e = 1$
• Hiperbola: $e > 1$

Cara Menggunakan Kalkulator Ini

1. Pilih jenis keratan kon: bulatan, elips, parabola atau hiperbola.
2. Masukkan ukuran yang diperlukan.
   • Bulatan: jejari ($r$)
   • Elips: paksi separa major ($a$) dan paksi separa minor ($b$)
   • Parabola: panjang fokus ($f$)
   • Hiperbola: paksi separa melintang ($a$) dan paksi separa konjugat ($b$)
3. Kesipian dan persamaan piawai dipaparkan secara automatik sebaik sahaja nilai input positif yang sah dimasukkan untuk jenis keratan kon yang dipilih; tiada butang Kira untuk diklik.
4. Graf lengkung dilukis di bawah hasil pengiraan.

Kalkulator memaparkan persamaan dengan nombor yang dimasukkan telah digantikan, jadi elips dengan $a = 5$ dan $b = 3$ dipaparkan sebagai $(x/5)^2 + (y/3)^2 = 1$. Itu ialah persamaan yang sama dengan $x^2/25 + y^2/9 = 1$. Kesipian dipaparkan hingga empat tempat perpuluhan.

Semua input mestilah nombor positif. Bagi elips, paksi semi-major mestilah sekurang-kurangnya sepanjang paksi semi-minor kerana paksi semi-major ditakrifkan sebagai paksi yang lebih panjang. Hiperbola tidak mempunyai peraturan sedemikian: paksi separa melintang dan paksi separa konjugatnya boleh mempunyai sebarang panjang positif, termasuk panjang yang sama.

Formula Bulatan

Bagi bulatan berjari-jari $r$ yang berpusat di asalan:

$$x^2 + y^2 = r^2$$

Kesipian: $e = 0$.

Bulatan ialah kes khas elips yang kedua-dua paksinya sama panjang dan kedua-dua fokusnya terletak di pusat.

Formula Elips

Bagi elips yang berpusat di asalan dengan paksi semi-major $a$ dan paksi semi-minor $b$, dengan $a \geq b > 0$:

$$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$ $$e = \sqrt{1 - \left(\dfrac{b}{a}\right)^2}$$

Contoh: $a = 5$, $b = 3$.

$$e = \sqrt{1 - \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8$$

Persamaan: $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$

Apabila $a = b$, elips menjadi bulatan dan $e = 0$.

Formula Parabola

Bagi parabola yang membuka ke kanan, dengan jarak fokus $f$ (jarak dari bucu ke fokus):

$$y^2 = 4fx$$

Kesipian: $e = 1$, sentiasa.

Contoh: $f = 2$. Persamaan: $y^2 = 8x$.

Formula Hiperbola

Bagi hiperbola yang berpusat di asalan dengan paksi separa melintang $a$ dan paksi separa konjugat $b$, dengan $a$ dan $b$ ialah sebarang nombor positif:

$$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$ $$e = \sqrt{1 + \left(\dfrac{b}{a}\right)^2}$$

Paksi separa melintang $a$ ialah separuh jarak antara dua bucu, iaitu titik tempat lengkung membelok. Paksi separa konjugat $b$ ialah separuh panjang paksi konjugat, iaitu segmen yang dilukis melalui pusat dan bersudut tegak terhadap paksi itu. Paksi ini menentukan seberapa cepat cabang terbuka.

Berbeza daripada elips, hiperbola tidak memerlukan $a$ lebih besar daripada $b$. Kedua-dua panjang itu tidak bergantung antara satu sama lain, jadi $b$ boleh lebih kecil, sama dengan atau lebih besar daripada $a$. Apabila $a = b$, lengkung itu dipanggil hiperbola segi empat tepat, dengan kesipian $\sqrt{2} \approx 1.4142$.

Contoh: $a = 5$, $b = 3$.

$$e = \sqrt{1 + \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 + 0.36} = \sqrt{1.36} \approx 1.1662$$

Persamaan: $\dfrac{x^2}{25} - \dfrac{y^2}{9} = 1$

Kegunaan Keratan Kon dalam Dunia Sebenar

Planet dan komet mengikuti orbit yang berbentuk seperti keratan kon. Hukum pertama Kepler menyatakan bahawa orbit planet ialah elips dengan matahari pada salah satu fokus. Sesetengah komet mengikuti laluan parabola atau hiperbola dan tidak pernah kembali.

Parabola memfokuskan sinar selari kepada satu titik, jadi jurutera menggunakan bentuk parabola dalam piring satelit, cermin teleskop dan lampu utama kereta. Lengkung hiperbola terdapat pada dinding menara penyejuk, yang memberikan kekuatan sambil menggunakan kurang bahan. Elips pula digunakan dalam gerbang, siling galeri bisikan dan reka bentuk gear.

Sejarah Ringkas Keratan Kon

Ahli matematik Yunani Menaechmus mengkaji keratan kon sekitar 350 SM ketika cuba menyelesaikan masalah menggandakan kubus. Apollonius dari Perga menulis risalah terperinci yang dipanggil Conics sekitar 200 SM. Beliau menamakan elips, parabola dan hiperbola serta menghuraikan sifat-sifatnya. Berabad-abad kemudian, Johannes Kepler menggunakan elips untuk menerangkan pergerakan planet, manakala Isaac Newton menggunakan keratan kon untuk menjelaskan graviti.

Soalan lazim

Apakah empat jenis keratan kon?

Bulatan, elips, parabola dan hiperbola. Setiap satunya terbentuk apabila satah memotong kon pada sudut yang berbeza, dan setiap satunya mempunyai julat kesipian yang berbeza.

Bagaimanakah kesipian dikira?

Kesipian adalah tetap bagi bulatan ($e = 0$) dan parabola ($e = 1$). Bagi elips, $e = \sqrt{1 - (b/a)^2}$, dengan menggunakan paksi semi-major $a$ dan paksi semi-minor $b$. Bagi hiperbola, $e = \sqrt{1 + (b/a)^2}$, dengan menggunakan paksi separa melintang $a$ dan paksi separa konjugat $b$.

Adakah paksi separa melintang hiperbola mesti lebih panjang daripada paksi separa konjugatnya?

Tidak. Berbeza daripada paksi semi-major dan paksi semi-minor elips, paksi separa melintang ($a$) dan paksi separa konjugat ($b$) hiperbola ialah ukuran yang tidak bergantung antara satu sama lain. Kedua-duanya mesti positif, tetapi mana-mana satu boleh menjadi lebih panjang.

Bolehkah elips menjadi bulatan?

Ya. Apabila paksi semi-major sama dengan paksi semi-minor, elips itu menjadi bulatan dan kesipiannya ialah 0.

Mengapakah piring satelit menggunakan bentuk parabola?

Parabola memantulkan sinar yang bergerak selari dengan paksinya ke satu titik fokus. Piring satelit dan cermin teleskop menggunakan sifat ini untuk menumpukan isyarat atau cahaya pada satu tempat.

Apakah hiperbola segi empat tepat?

Hiperbola segi empat tepat ialah hiperbola yang paksi separa melintangnya sama dengan paksi separa konjugatnya ($a = b$). Asimptotnya berserenjang, dan kesipiannya ialah $\sqrt{2} \approx 1.4142$.

Rujukan

1. Keratan kon - Wikipedia
2. Kesipian Keratan Kon - Khan Academy
3. Keratan Kon - OpenStax