Kalkulator Diameter Kon - Kira dari Ketinggian & Jejari

Apakah diameter kon?

Diameter kon ialah lebar tapak bulatnya, diukur dalam garis lurus melalui pusat. Nilainya sama dengan dua kali jejari tapak. Kon juga boleh dihuraikan melalui tingginya (jarak lurus dari tapak ke puncak) dan tinggi condongnya (jarak dari puncak menuruni bahagian luar kon ke tepi tapak). Jika mana-mana dua daripada tiga nilai ini diketahui, nilai ketiga boleh dicari.

Formula diameter kon

Terdapat dua cara biasa untuk mencari diameter, bergantung pada ukuran yang tersedia.

Daripada tinggi dan tinggi condong:

$d = 2\sqrt{s^2 - h^2}$

Di sini d ialah diameter, s ialah tinggi condong dan h ialah tinggi. Hubungan ini berasal daripada teorem Pythagoras: tinggi condong ialah hipotenus bagi segi tiga bersudut tegak yang terbentuk oleh tinggi dan jejari, jadi $s^2 = h^2 + r^2$. Dengan menyelesaikan persamaan untuk jejari dan mendarabkannya dengan dua, diameter diperoleh. Kalkulator mengira nilai yang sama dalam bentuk setara $2\sqrt{(s-h)(s+h)}$. Kedua-dua bentuk memberikan jawapan yang sama, tetapi bentuk kedua mengekalkan lebih banyak digit yang tepat apabila tinggi condong hanya sedikit lebih besar daripada tinggi.

Daripada jejari:

$d = 2r$

Ini hanyalah takrif diameter. Jika jejari sudah diketahui, tiada ukuran lain diperlukan.

Tinggi condong mestilah sentiasa lebih panjang daripada tinggi kerana tinggi condong ialah hipotenus bagi segi tiga bersudut tegak, dan hipotenus sentiasa merupakan sisi yang paling panjang. Jika tinggi condong sama dengan atau lebih pendek daripada tinggi, bentuk yang dihuraikan itu bukan kon yang sah.

Cara mengira diameter kon

Kaedah 1: tinggi dan tinggi condong

1. Ukur tinggi (h), iaitu jarak menegak lurus dari tapak ke puncak.
2. Ukur tinggi condong (s), iaitu jarak dari puncak ke tepi tapak di sepanjang permukaan kon.
3. Kuasakan kedua-dua nilai, tolak tinggi kuasa dua daripada tinggi condong kuasa dua, kemudian ambil punca kuasa dua: $\sqrt{s^2 - h^2}$.
4. Darabkan hasilnya dengan 2 untuk mendapatkan diameter.

Kaedah 2: jejari

1. Ukur jejari (r), iaitu jarak dari pusat tapak ke tepinya.
2. Darabkan dengan 2.

Hanya satu daripada dua kaedah ini patut digunakan pada satu-satu masa. Memberikan tinggi, tinggi condong dan jejari serentak adalah tidak jelas kerana ketiga-tiga nilai itu mungkin tidak menerangkan kon yang konsisten.

Contoh pengiraan

Contoh 1: tinggi dan tinggi condong

Sebuah kon mempunyai tinggi 3 unit dan tinggi condong 5 unit.

$d = 2\sqrt{5^2 - 3^2} = 2\sqrt{25 - 9} = 2\sqrt{16} = 2 \times 4 = 8$

Diameternya ialah 8 unit.

Contoh 2: jejari

Sebuah kon mempunyai jejari 4 unit.

$d = 2 \times 4 = 8$

Diameternya ialah 8 unit. Ini sepadan dengan Contoh 1 kerana kon dengan tinggi 3 dan tinggi condong 5 mempunyai jejari tapak 4.

Contoh 3: kon leper

Sebuah kon mempunyai tinggi 0.1 unit dan tinggi condong 10 unit.

$d = 2\sqrt{10^2 - 0.1^2} = 2\sqrt{100 - 0.01} = 2\sqrt{99.99} \approx 19.999$

Diameternya kira-kira 20.00 unit. Apabila tinggi sangat kecil berbanding dengan tinggi condong, diameter menghampiri dua kali tinggi condong.

Contoh 4: kon seperti jarum

Sebuah kon mempunyai tinggi 9.99 unit dan tinggi condong 10 unit.

$d = 2\sqrt{10^2 - 9.99^2} = 2\sqrt{100 - 99.8001} = 2\sqrt{0.1999} \approx 0.894$

Diameternya kira-kira 0.89 unit. Apabila tinggi condong hanya sedikit lebih panjang daripada tinggi, kon itu tinggi dan kurus, manakala diameter tapaknya kecil.

Kegunaan pengiraan diameter kon

Diameter kon digunakan apabila bentuk kon diukur atau dibina. Jurutera menggunakannya semasa mereka bentuk corong, muncung dan tangki berbentuk kon. Pengilang menggunakannya untuk menentukan saiz acuan dan bahagian berbentuk kon. Ahli geologi menggunakan ukuran yang serupa untuk menghuraikan kon gunung berapi. Hubungan yang sama antara tinggi, tinggi condong dan jejari terpakai pada mana-mana kon bulat tegak, daripada topi parti kertas hingga kon hidung roket.

Sejarah

Kajian matematik tentang kon bermula sejak zaman Yunani purba. Apollonius dari Perga, yang berkarya sekitar 200 SM, menulis risalah utama berjudul Conics yang mengkaji cara satah memotong kon untuk menghasilkan bulatan, elips, parabola dan hiperbola. Hubungan asas antara tinggi, jejari dan tinggi condong kon, yang berdasarkan teorem Pythagoras, telah diketahui sejak zaman purba dan masih digunakan sebagai kaedah pada masa kini.

Soalan lazim

Apakah diameter kon?

Diameter ialah lebar tapak bulat kon, diukur lurus merentasi pusat. Nilainya sama dengan dua kali jejari tapak.

Bagaimanakah diameter kon boleh dicari tanpa jejari?

Gunakan tinggi dan tinggi condong dengan formula $d = 2\sqrt{s^2 - h^2}$. Formula ini menggunakan teorem Pythagoras untuk mencari jejari, kemudian mendarabkannya dengan dua.

Apakah hubungan antara diameter, tinggi dan tinggi condong kon?

Tinggi, jejari dan tinggi condong membentuk segi tiga bersudut tegak. Tinggi condong ialah hipotenus, tinggi ialah satu sisi, dan jejari ialah sisi yang satu lagi: $s^2 = h^2 + r^2$. Diameter ialah dua kali jejari.

Mengapakah kalkulator menolak sesetengah nilai?

Tinggi mestilah lebih besar daripada sifar. Tinggi condong mestilah lebih besar daripada tinggi kerana hipotenus tidak boleh lebih pendek daripada atau sama panjang dengan sisi. Jejari mestilah lebih besar daripada sifar. Tinggi dan tinggi condong, atau jejari, hendaklah dimasukkan secara berasingan; memasukkan ketiga-tiganya serentak adalah tidak jelas dan akan ditolak. Jika jejari dimasukkan bersama tinggi, jejari sahaja digunakan kerana jejari sudah menentukan diameter.

Bolehkah kon mempunyai dua diameter yang berbeza?

Kon standard mempunyai satu diameter pada tapaknya dan berakhir pada satu titik di puncak. Kon terpenggal, iaitu kon yang bahagian atasnya yang runcing telah dipotong, mempunyai dua diameter, satu pada setiap hujung rata.

Apakah unit yang patut digunakan?

Mana-mana unit yang konsisten boleh digunakan, seperti sentimeter, meter atau inci. Hasilnya dinyatakan dalam unit yang sama seperti unit yang digunakan untuk input.

Rujukan

1. Weisstein, Eric W. "Cone." MathWorld, Wolfram Research. https://mathworld.wolfram.com/Cone.html
2. O'Connor, J.J. dan Robertson, E.F. "Conic sections." MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews. https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Conic_sections/