Kalkulator Bulatan Unit: Sinus, Kosinus dan Tangen Tepat
Masukkan sudut dalam darjah atau radian untuk mendapatkan titiknya pada bulatan unit, sinus, kosinus, tangen, sudut rujukan dan kuadran. Nilai tepat bagi sudut piawai.
Unit Circle Calculator
Enter an angle in degrees or radians to get its point on the unit circle, its sine, cosine and tangent, its reference angle and its quadrant. The standard angles are answered exactly.
Point on the circle (x, y)
(√3/2, 1/2)
Sine, cosine and tangent
cos θ (the x coordinate)
√3/2
sin θ (the y coordinate)
1/2
tan θ
√3/3
This is one of the sixteen standard angles, so the values are exact rather than rounded. As decimals: cos θ = 0.8660254, sin θ = 0.5, tan θ = 0.57735027.
Where it lands
Quadrant or axis
Quadrant I
Reference angle
30°
Reference angle in radians
π/6rad
The angle
Angle in degrees
30°
Angle in radians
0.52359878rad
Folded into one turn
30°
Folded angle in radians
π/6rad
The unit circle has radius 1 and is centred on the origin. A point on it is (cos θ, sin θ), so the coordinates and the two function values are the same pair of numbers. The tangent is sin θ divided by cos θ, which has no value where cos θ is 0.
Kalkulator Pemuatan...
📚
Dokumentasi
Kalkulator Bulatan Unit
Bulatan unit ialah bulatan berjari-jari 1 yang dilukis mengelilingi asalan graf. Kalkulator bulatan unit menerima satu sudut dan melaporkan tempat sudut itu bertemu dengan bulatan: titik (x, y), sinus, kosinus dan tangen, sudut rujukan serta kuadran. Halaman ini membaca sudut dalam darjah atau radian dan memberikan nilai tepat seperti √3/2 pada enam belas sudut piawai.
Fungsi kalkulator
Pengguna menaip satu sudut dan memilih darjah atau radian. Halaman ini memaparkan:
- titik (x, y) tempat sudut itu memotong bulatan
- cos θ, sin θ dan tan θ
- sudut rujukan, dalam darjah dan radian
- kuadran, atau paksi jika sudut itu jatuh padanya
- sudut dalam kedua-dua unit, serta sudut yang sama dilipat menjadi satu pusingan
Pada enam belas sudut piawai, jawapan dicetak sebagai bentuk tertutup tepat, dengan perpuluhan dipaparkan di bawahnya. Sudut lain dipaparkan hingga lapan angka bererti. Hanya paparan yang dibundarkan.
Formula bulatan unit
Sudut diukur mengikut arah lawan jam dari paksi-x positif. Sinar yang dilukis pada sudut θ memotong bulatan pada satu titik, dan kedua-dua koordinat titik itu ialah kosinus dan sinus:
dengan ialah koordinat mengufuk, ialah koordinat menegak dan ialah sudut.
Jejari ialah 1, jadi koordinat dan dua nilai fungsi itu merupakan pasangan nombor yang sama di bawah dua nama. Itulah sebabnya bulatan dilukis dengan jejari 1 dan bukannya saiz lain. Tangen dibina daripada pasangan yang sama:
Setiap titik pada bulatan juga memenuhi teorem Pythagoras, yang digunakan pada segi tiga bersudut tegak dengan sisi dan serta hipotenus 1:
Darjah dan radian
Halaman ini menerima mana-mana unit dan memaparkan kedua-duanya. Kedua-duanya berkait melalui setengah pusingan yang bersamaan dengan π radian:
\qquad \theta_{\mathrm{deg}} = \theta_{\mathrm{rad}} \times \frac{180}{\pi}$$ dengan $\theta_{\mathrm{deg}}$ ialah sudut dalam darjah dan $\theta_{\mathrm{rad}}$ ialah sudut yang sama dalam radian. ### Melipat menjadi satu pusingan Sudut boleh bernilai negatif dan boleh melepasi satu pusingan penuh. Titik pada bulatan berulang setiap 360°, jadi halaman ini mula-mula melipat sudut ke dalam julat dari 0° hingga, tetapi tidak termasuk, 360°: $$\theta_0 = ((\theta \bmod 360) + 360) \bmod 360$$ dengan $\theta$ ialah sudut seperti yang ditaip, dalam darjah, dan $\theta_0$ ialah arah yang sama ditulis dalam satu pusingan. 750° dilipat menjadi 30°, manakala −30° dilipat menjadi 330°. Lipatan ini dilakukan dalam darjah, dengan baki yang tepat. ### Sudut rujukan dan kuadran Sudut rujukan ialah sudut tirus antara sinar dengan paksi-x. Nilainya tidak pernah melebihi 90°: $$\theta_{\mathrm{ref}} = \begin{cases} \theta_0 & \text{if } \theta_0 \le 90 \\ 180 - \theta_0 & \text{if } \theta_0 \le 180 \\ \theta_0 - 180 & \text{if } \theta_0 \le 270 \\ 360 - \theta_0 & \text{selainnya} \end{cases}$$ dengan $\theta_0$ ialah sudut yang dilipat dalam darjah. Saiz sinus, kosinus dan tangen hanya bergantung pada sudut rujukan. Kuadran menentukan tanda. | Kuadran | Sudut dilipat | cos | sin | tan | |---|---|---|---|---| | I | 0° hingga 90° | + | + | + | | II | 90° hingga 180° | − | + | − | | III | 180° hingga 270° | − | − | + | | IV | 270° hingga 360° | + | − | − | Sudut 0°, 90°, 180° dan 270° terletak pada paksi. Kuadran ialah rantau terbuka antara dua paksi, jadi tiada satu pun daripada keempat-empat sudut itu berada di dalam kuadran, dan halaman ini menamakan paksi tersebut dan bukannya memilih kuadran bersebelahan. ### Enam belas sudut piawai Lima sudut rujukan mempunyai bentuk tertutup yang tepat. | Sudut rujukan | cos | sin | tan | |---|---|---|---| | 0° (0) | 1 | 0 | 0 | | 30° (π/6) | √3/2 | 1/2 | √3/3 | | 45° (π/4) | √2/2 | √2/2 | 1 | | 60° (π/3) | 1/2 | √3/2 | √3 | | 90° (π/2) | 0 | 1 | tidak ditakrifkan | Mencerminkan baris-baris itu ke dalam tiga kuadran yang lain memberikan enam belas sudut: 0, 30, 45, 60, 90, 120, 135, 150, 180, 210, 225, 240, 270, 300, 315 dan 330 darjah. Halaman ini menjana sudut-sudut itu dengan memutarkan titik kuadran pertama sebanyak suku pusingan pada setiap langkah, bukannya menyalin jadual empat kali, kerana kesilapan tanda boleh berlaku semasa penyalinan. 15°, 75° dan 105° juga mempunyai bentuk tertutup, tetapi bentuk dua sebutan seperti 2 − √3. Sudut-sudut itu berada di luar keluarga ini dan dijawab sebagai perpuluhan. 15° memberikan cos 0.96592583, sin 0.25881905 dan tan 0.26794919. ### Contoh: 210 darjah 210° lebih besar daripada 180° dan lebih kecil daripada 270°, jadi sudut itu berada dalam kuadran III. Menolak 180 daripadanya menghasilkan sudut rujukan 30°. Pada sudut rujukan 30°, ketiga-tiga saiz itu ialah √3/2, 1/2 dan √3/3. Kuadran III menjadikan kedua-dua koordinat negatif, jadi titiknya ialah (−√3/2, −1/2). Tangen ialah nombor negatif dibahagi nombor negatif, jadi nilainya kekal positif pada √3/3. Dalam radian, sudut itu ialah 7π/6 dan sudut rujukannya ialah π/6. Sebagai perpuluhan, halaman ini memaparkan cos −0.8660254, sin −0.5 dan tan 0.57735027. 570° dan −150° memberikan jawapan yang sama kerana kedua-duanya dilipat menjadi 210°. ### Pemalar yang tepat | Pemalar | Nilai | Tepat? | Sumber | |---|---|---|---| | Darjah dalam satu pusingan | 360 | tepat mengikut takrif | ISO 80000-3 | | Radian dalam satu pusingan | 2π | tepat mengikut takrif | ISO 80000-3; Risalah SI | | cos 30°, sin 60° | √3/2 | tepat | NIST DLMF §4.14 | | cos 45°, sin 45° | √2/2 | tepat | NIST DLMF §4.14 | | cos 60°, sin 30° | 1/2 | tepat | NIST DLMF §4.14 | | tan 90°, tan 270° | tiada nilai | tepat, suatu kutub | NIST DLMF §4.15 | π ialah nombor tak nisbah, jadi ia tidak mempunyai bentuk perpuluhan atau perduaan yang tepat dan apa-apa nilai yang disimpan baginya telah dibundarkan. Halaman ini mengelakkan pembundaran itu daripada jawapan melalui dua cara. Lipatan dilakukan dalam darjah, yang boleh dibahagi dengan 360 tanpa baki. Sudut piawai pula dibaca daripada jadual bentuk tertutup di atas, bukan daripada sinus titik apung. ### Membaca sudut yang ditaip dalam radian Nilai radian yang dimasukkan sudah merupakan perpuluhan yang dibundarkan. π/2 ditaip sebagai 1.5707963267948966, dan penukaran semula memberikan sudut yang berbeza kira-kira satu per sepuluh trilion darjah daripada 90, bukannya tepat 90. Oleh itu, halaman ini membaca mana-mana sudut yang berada dalam lingkungan satu per sejuta darjah daripada sudut piawai sebagai sudut itu. Toleransi menentukan jadual yang digunakan; toleransi itu tidak meluaskan jawapan. 30.001° tidak menjadi 30°. Sudut melebihi satu bilion darjah ditolak. Ini ialah had aritmetik, bukannya had geometri: jarak antara nombor yang boleh disimpan oleh komputer bertambah mengikut saiznya, dan selepas kira-kira empat setengah bilion darjah, jarak itu lebih lebar daripada toleransi satu per sejuta darjah, sehingga lipatan tidak lagi mengekalkan perincian yang mencukupi untuk menamakan sudut. Nilai satu bilion memberikan sedikit margin sebelum titik itu. ### Soalan lazim **Untuk apakah bulatan unit digunakan?** Bulatan unit menukarkan sinus dan kosinus kepada koordinat. Membaca satu titik daripada bulatan memberikan kedua-dua nilai serentak, dan rajah itu menunjukkan sebab kedua-duanya berulang pada setiap pusingan penuh serta sebab tandanya berubah dari satu kuadran ke kuadran yang lain. **Apakah nilai tepat sin 30°?** Setengah. cos 30° ialah √3/2, kira-kira 0.8660254, manakala tan 30° ialah √3/3, kira-kira 0.57735027. **Mengapakah tan 90° tidak ditakrifkan?** Tangen ialah sinus dibahagi kosinus, dan cos 90° ialah 0. Pembahagian dengan sifar tidak mempunyai jawapan. Halaman ini mencari kutub dengan menamakan sudut itu, bukan dengan memeriksa sama ada tangen yang dikira menjadi besar, kerana tangen yang curam sedikit sebelum 90° ialah nombor biasa. **Apakah sudut rujukan?** Sudut rujukan ialah sudut tirus antara sinar dengan paksi-x, jadi nilainya sentiasa antara 0° dan 90°. 150°, 210° dan 330° semuanya mempunyai sudut rujukan 30°, sebab itu sinus dan kosinusnya berkongsi tiga saiz yang sama dan hanya berbeza pada tanda. **Adakah sudut negatif berfungsi?** Ya. Sudut negatif berpusing mengikut arah jam. −30° menunjuk ke arah yang sama seperti 330°, jadi halaman ini memberikan titik (√3/2, −1/2) dan kuadran IV. **Mengapakah halaman ini memaparkan sudut dua kali?** 750° dan 30° memotong bulatan pada titik yang sama, tetapi kedua-duanya bukan putaran yang sama. Halaman ini memaparkan semula sudut seperti yang ditaip, menukarkannya kepada unit yang satu lagi dan menunjukkan sudut yang dilipat di sebelahnya.