Kalkulator Ujian-Z - Alat Kepentingan Statistik Percuma

Apakah ujian-z?

Ujian-z ialah ujian statistik yang menyemak sama ada min sampel berbeza dengan ketara daripada min populasi yang diketahui, apabila sisihan piawai populasi telah diketahui. Ujian ini menghasilkan satu nombor, iaitu skor-z, yang menunjukkan jarak min sampel daripada min populasi dalam unit sisihan piawai. Penyelidik, pemeriksa kualiti dan penganalisis menggunakannya untuk menilai sama ada perbezaan yang diperhatikan berkemungkinan benar atau sekadar hasil kebetulan.

Formula ujian Z

Ujian-z mengira skor-z dengan rumus ini:

$Z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$

$\bar{x}$ ialah min sampel
$\mu$ ialah min populasi
$\sigma$ ialah sisihan piawai populasi
$n$ ialah saiz sampel

Bahagian bawah rumus, $\sigma / \sqrt{n}$ , dipanggil ralat piawai. Ralat ini mengukur sejauh mana min sampel dijangka berubah hanya disebabkan oleh pensampelan rawak.

Cara mengira ujian-z langkah demi langkah

Cari min sampel ( $\bar{x}$ ) daripada data yang dikumpulkan.
Kenal pasti min populasi yang diketahui ( $\mu$ ).
Kenal pasti sisihan piawai populasi yang diketahui ( $\sigma$ ).
Kira saiz sampel ( $n$ ).
Tolak $\mu$ daripada $\bar{x}$ .
Bahagikan $\sigma$ dengan punca kuasa dua $n$ untuk mendapatkan ralat piawai.
Bahagikan hasil langkah 5 dengan hasil langkah 6. Jawapannya ialah skor-z.

Contoh pengiraan

Sebuah kilang menyatakan bahawa panjang purata bolt keluaran mereka ialah 10 cm, dengan sisihan piawai populasi sebanyak 0.2 cm. Seorang pemeriksa mengukur 100 bolt dan mendapati min sampel sebanyak 10.05 cm.

$\bar{x} = 10.05$
$\mu = 10$
$\sigma = 0.2$
$n = 100$

Ralat piawai: $0.2 / \sqrt{100} = 0.2 / 10 = 0.02$

Skor-z: $(10.05 - 10) / 0.02 = 0.05 / 0.02 = 2.5$

Skor-z ialah 2.5. Min sampel berada 2.5 ralat piawai di atas min populasi.

Cara mentafsir skor-z

Skor-z yang hampir dengan 0 bermakna min sampel hampir dengan min populasi. Skor-z positif atau negatif yang besar bermakna min sampel jauh daripada min populasi, yang menunjukkan perbezaan sebenar dan bukannya kebetulan rawak.

Nilai kritikal yang lazim bagi ujian dua hala:

α = 0.10 (tahap keyakinan 90%): z = ±1.645
α = 0.05 (tahap keyakinan 95%): z = ±1.96
α = 0.01 (tahap keyakinan 99%): z = ±2.58

Jika skor-z yang dikira melebihi nilai kritikal bagi aras keertian yang dipilih, keputusan itu dipanggil signifikan secara statistik dan hipotesis nol (iaitu tiada perbezaan) ditolak.

Dalam contoh pengiraan, z = 2.5 melebihi ±1.96, maka perbezaan itu signifikan secara statistik pada aras 0.05. Nilai-p dua hala bagi z = 2.5 ialah kira-kira 1.24%, yang bermakna terdapat kira-kira peluang 1 dalam 80 untuk melihat perbezaan sebesar ini jika panjang purata bolt yang sebenar ialah 10 cm.

Bila menggunakan ujian-z

Ujian-z sesuai apabila:

Sisihan piawai populasi diketahui.
Saiz sampel agak besar, biasanya lebih daripada 30.
Data diperoleh melalui pensampelan rawak.
Populasi bertaburan normal, atau sampel cukup besar untuk Teorem Had Pusat digunakan.

Jika sisihan piawai populasi tidak diketahui atau sampel kecil, ujian-t digunakan. Ujian-t menganggar kebolehubahan daripada sampel itu sendiri dan mengambil kira ketidakpastian tambahan yang disebabkannya.

Ujian-z berbanding ujian-t

Kedua-dua ujian mengukur sejauh mana min sampel berbeza daripada nilai jangkaan, dalam unit ralat piawai. Ujian-z mengandaikan sisihan piawai populasi diketahui. Ujian-t menganggar nilai itu daripada sampel dan menggunakan taburan yang lebih luas serta bergantung pada saiz sampel untuk mengambil kira ketidakpastian tambahan. Dalam amalan, ujian-t digunakan dengan lebih kerap kerana sisihan piawai populasi sebenar jarang diketahui.

Kegunaan ujian-z dalam dunia sebenar

Kawalan kualiti: menyemak sama ada kelompok bahagian yang dikeluarkan menepati spesifikasi sasaran.
Penyelidikan perubatan: membandingkan keputusan purata kumpulan rawatan dengan nilai populasi yang diketahui.
Pendidikan: membandingkan skor ujian sesebuah kelas dengan purata kebangsaan.
Kewangan: menyemak sama ada pulangan sesuatu dana berbeza daripada purata penanda aras.

Sejarah

Taburan normal yang menjadi asas ujian-z dihuraikan oleh Abraham de Moivre pada 1733 sebagai penghampiran kepada taburan binomial. Carl Friedrich Gauss dan Pierre-Simon Laplace mengembangkan lagi teorinya pada awal tahun 1800-an. Kaedah pengujian hipotesis formal, termasuk penggunaan skor-z dan nilai kritikal untuk menilai keertian statistik, dikembangkan pada awal abad ke-20 oleh ahli statistik seperti Ronald Fisher, Jerzy Neyman dan Egon Pearson.

Perkara yang ditunjukkan oleh kalkulator ini

Kalkulator ini meminta empat nombor: min sampel, min populasi, sisihan piawai populasi dan saiz sampel. Kalkulator ini melaporkan skor-z yang dibundarkan kepada empat tempat perpuluhan. Di bawah hasil tersebut, kalkulator melukis lengkung normal piawai dan menandakan skor-z dengan garis menegak supaya kedudukan hasil pada taburan dapat dilihat. Lengkung itu ialah ketumpatan normal piawai, $\varphi(x) = e^{-x^{2}/2} / \sqrt{2\pi}$ .

Dua had dikenakan pada masukan. Saiz sampel mestilah lebih besar daripada 0. Sisihan piawai populasi mestilah sekurang-kurangnya 0.0001; sebaran yang lebih kecil akan menolak skor-z kepada nilai yang amat besar dan tidak membawa makna yang berguna. Kalkulator ini tidak melaporkan nilai-p, jadi gunakan nilai kritikal di atas atau jadual normal piawai untuk menentukan sama ada hasil itu signifikan.

Soalan lazim

Apakah perbezaan antara ujian-z dengan ujian-t?

Ujian-z memerlukan sisihan piawai populasi yang diketahui dan berfungsi paling baik dengan sampel besar. Ujian-t digunakan apabila sisihan piawai populasi tidak diketahui dan perlu dianggar daripada sampel; ujian ini berfungsi untuk sampel kecil dan besar.

Apakah saiz sampel yang diperlukan oleh ujian-z?

Saiz sampel melebihi 30 ialah panduan umum yang lazim. Di bawah jumlah itu, hasil ujian-z menjadi kurang boleh dipercayai dan ujian-t biasanya merupakan pilihan yang lebih baik.

Apakah maksud skor-z 2.5?

Skor-z 2.5 bermakna min sampel berada 2.5 ralat piawai di atas min populasi. Nilai ini melebihi nilai kritikal dua hala ±1.96 bagi keyakinan 95%, maka perbezaan itu signifikan secara statistik pada aras tersebut. Nilai-p dua hala bagi z = 2.5 ialah kira-kira 1.24%.

Apakah nilai-p dalam ujian-z?

Nilai-p ialah kebarangkalian untuk memperoleh hasil yang sekurang-kurangnya sama ekstrem dengan hasil yang diperhatikan, jika benar-benar tiada perbezaan daripada min populasi. Nilai-p yang lebih kecil memberikan bukti yang lebih kuat terhadap hipotesis nol. Nilai-p di bawah 0.05 lazimnya dianggap signifikan secara statistik.

Apakah hipotesis nol dalam ujian-z?

Hipotesis nol menyatakan bahawa tiada perbezaan antara min sampel dengan min populasi. Ujian-z mengukur sejauh mana bukti daripada sampel menyokong penolakan dakwaan itu.

Bolehkah ujian-z digunakan untuk sampel kecil?

Penggunaannya tidak disyorkan. Dengan sampel kecil atau sisihan piawai populasi yang tidak diketahui, ujian-t memberikan hasil yang lebih tepat kerana mengambil kira ketidakpastian tambahan ketika menganggar kebolehubahan daripada data yang terhad.