Eenheidscirkel: exacte sinus, cosinus en tangens
Voer een hoek in graden of radialen in voor het punt op de eenheidscirkel, de sinus, cosinus, tangens, referentiehoek en het kwadrant. Voor standaardhoeken worden exacte waarden weergegeven.
Unit Circle Calculator
Enter an angle in degrees or radians to get its point on the unit circle, its sine, cosine and tangent, its reference angle and its quadrant. The standard angles are answered exactly.
Point on the circle (x, y)
(√3/2, 1/2)
Sine, cosine and tangent
cos θ (the x coordinate)
√3/2
sin θ (the y coordinate)
1/2
tan θ
√3/3
This is one of the sixteen standard angles, so the values are exact rather than rounded. As decimals: cos θ = 0.8660254, sin θ = 0.5, tan θ = 0.57735027.
Where it lands
Quadrant or axis
Quadrant I
Reference angle
30°
Reference angle in radians
π/6rad
The angle
Angle in degrees
30°
Angle in radians
0.52359878rad
Folded into one turn
30°
Folded angle in radians
π/6rad
The unit circle has radius 1 and is centred on the origin. A point on it is (cos θ, sin θ), so the coordinates and the two function values are the same pair of numbers. The tangent is sin θ divided by cos θ, which has no value where cos θ is 0.
Laadcalculator...
📚
Documentatie
Rekenmachine voor de eenheidscirkel
De eenheidscirkel is de cirkel met straal 1 rond de oorsprong van een grafiek. Een rekenmachine voor de eenheidscirkel neemt één hoek en geeft aan waar die hoek de cirkel snijdt: het punt (x, y), de sinus, cosinus en tangens, de referentiehoek en het kwadrant. Deze pagina leest een hoek in graden of radialen en geeft exacte waarden zoals √3/2 bij de zestien standaardhoeken.
Wat de calculator doet
Een bezoeker voert één hoek in en kiest graden of radialen. De pagina geeft:
- het punt (x, y) waar de hoek de cirkel snijdt
- cos θ, sin θ en tan θ
- de referentiehoek, in graden en radialen
- het kwadrant, of de as wanneer de hoek daarop terechtkomt
- de hoek in beide eenheden en dezelfde hoek teruggebracht tot één omwenteling
Bij de zestien standaardhoeken worden de antwoorden weergegeven als exacte gesloten vormen, met de decimalen eronder. Elke andere hoek wordt weergegeven met acht significante cijfers. Alleen de weergave wordt afgerond.
De formule van de eenheidscirkel
Hoeken worden tegen de klok in gemeten vanaf de positieve x-as. Een straal die onder hoek θ is getekend, snijdt de cirkel in één punt; de twee coördinaten van dat punt zijn de cosinus en de sinus:
waarbij de horizontale coördinaat is, de verticale coördinaat en de hoek.
De straal is 1, dus de coördinaten en de twee functiewaarden zijn hetzelfde paar getallen onder twee namen. Daarom wordt de cirkel getekend met straal 1 en niet met een andere grootte. De tangens wordt uit hetzelfde paar opgebouwd:
Elk punt op de cirkel voldoet ook aan de stelling van Pythagoras, toegepast op de rechthoekige driehoek met zijden en en schuine zijde 1:
Graden en radialen
De pagina accepteert beide eenheden en geeft beide weer. Ze hangen samen doordat een halve omwenteling π radialen is:
\qquad \theta_{\mathrm{deg}} = \theta_{\mathrm{rad}} \times \frac{180}{\pi}$$ waarbij $\theta_{\mathrm{deg}}$ de hoek in graden is en $\theta_{\mathrm{rad}}$ dezelfde hoek in radialen is. ### Terugbrengen tot één omwenteling Een hoek kan negatief zijn en een volledige omwenteling overschrijden. Het punt op de cirkel herhaalt zich elke 360°, dus de pagina brengt de hoek eerst terug tot het bereik van 0° tot, maar niet met inbegrip van, 360°: $$\theta_0 = ((\theta \bmod 360) + 360) \bmod 360$$ waarbij $\theta$ de ingevoerde hoek in graden is en $\theta_0$ dezelfde richting binnen één omwenteling weergeeft. 750° wordt teruggebracht tot 30° en −30° tot 330°. Deze bewerking gebeurt in graden, waarbij de rest exact is. ### Referentiehoek en kwadrant De referentiehoek is de scherpe hoek tussen de halfrechte en de x-as. Deze is nooit groter dan 90°: $$\theta_{\mathrm{ref}} = \begin{cases} \theta_0 & \text{if } \theta_0 \le 90 \\ 180 - \theta_0 & \text{if } \theta_0 \le 180 \\ \theta_0 - 180 & \text{if } \theta_0 \le 270 \\ 360 - \theta_0 & \text{anders} \end{cases}$$ waarbij $\theta_0$ de teruggebrachte hoek in graden is. De grootte van de sinus, cosinus en tangens hangt alleen af van de referentiehoek. Het kwadrant bepaalt de tekens. | Kwadrant | Teruggebrachte hoek | cos | sin | tan | |---|---|---|---|---| | I | 0° tot 90° | + | + | + | | II | 90° tot 180° | − | + | − | | III | 180° tot 270° | − | − | + | | IV | 270° tot 360° | + | − | − | De hoeken 0°, 90°, 180° en 270° liggen op een as. Een kwadrant is het open gebied tussen twee assen, dus geen van deze vier ligt erin; de pagina noemt in plaats daarvan de as en kiest geen aangrenzend kwadrant. ### De zestien standaardhoeken Vijf referentiehoeken hebben exacte gesloten vormen. | Referentiehoek | cos | sin | tan | |---|---|---|---| | 0° (0) | 1 | 0 | 0 | | 30° (π/6) | √3/2 | 1/2 | √3/3 | | 45° (π/4) | √2/2 | √2/2 | 1 | | 60° (π/3) | 1/2 | √3/2 | √3 | | 90° (π/2) | 0 | 1 | niet gedefinieerd | Door die rijen naar de andere drie kwadranten te spiegelen ontstaan zestien hoeken: 0, 30, 45, 60, 90, 120, 135, 150, 180, 210, 225, 240, 270, 300, 315 en 330 graden. De pagina genereert ze door de punten in het eerste kwadrant telkens een kwartslag te draaien, in plaats van de tabel vier keer over te schrijven, omdat juist bij overschrijven een verkeerd teken kan binnensluipen. 15°, 75° en 105° hebben ook gesloten vormen, maar die bevatten twee termen, zoals 2 − √3. Ze vallen buiten deze familie en worden als decimalen gegeven. Voor 15° geldt cos 0,96592583, sin 0,25881905 en tan 0,26794919. ### Voorbeeld: 210 graden 210° is groter dan 180° en kleiner dan 270°, dus de hoek ligt in kwadrant III. Als 180 ervan wordt afgetrokken, blijft een referentiehoek van 30° over. Bij een referentiehoek van 30° zijn de drie groottes √3/2, 1/2 en √3/3. In kwadrant III zijn beide coördinaten negatief, dus het punt is (−√3/2, −1/2). De tangens is een negatief getal gedeeld door een negatief getal en blijft dus positief: √3/3. In radialen is de hoek 7π/6 en de referentiehoek π/6. Als decimalen toont de pagina cos −0,8660254, sin −0,5 en tan 0,57735027. 570° en −150° geven dezelfde antwoorden, omdat beide worden teruggebracht tot 210°. ### Welke constanten exact zijn | Constante | Waarde | Exact? | Bron | |---|---|---|---| | Graden in één omwenteling | 360 | exact per definitie | ISO 80000-3 | | Radialen in één omwenteling | 2π | exact per definitie | ISO 80000-3; SI-brochure | | cos 30°, sin 60° | √3/2 | exact | NIST DLMF §4,14 | | cos 45°, sin 45° | √2/2 | exact | NIST DLMF §4,14 | | cos 60°, sin 30° | 1/2 | exact | NIST DLMF §4,14 | | tan 90°, tan 270° | niet gedefinieerd | exact, een pool | NIST DLMF §4,15 | π is irrationaal en heeft dus geen exacte decimale of binaire vorm; elke opgeslagen waarde ervan is afgerond. De pagina houdt die afronding op twee manieren buiten de antwoorden. De terugbrenging gebeurt in graden, waarbij 360 deelbaar is zonder rest. En de standaardhoeken worden uit de bovenstaande tabel met gesloten vormen gelezen, nooit uit een sinus met drijvende komma. ### Een in radialen ingevoerde hoek lezen Een invoer in radialen is al een afgerond decimaal getal. π/2 wordt ingevoerd als 1,5707963267948966; bij terugconversie levert dat een hoek op die ongeveer een tien biljoenste graad van 90 verwijderd is, in plaats van exact 90. Daarom leest de pagina elke hoek die minder dan een miljoenste graad van een standaardhoek afligt als die standaardhoek. De tolerantie bepaalt welke tabel wordt gebruikt; ze maakt een antwoord nooit ruimer. 30,001° wordt niet 30°. Hoeken boven een miljard graden worden geweigerd. Dat is een beperking van de rekenkunde, niet van de meetkunde: het verschil tussen de getallen die een computer kan opslaan groeit met hun grootte. Boven ongeveer vier en een half miljard graden is dat verschil groter dan de tolerantie van een miljoenste graad, waardoor de terugbrenging niet meer genoeg details behoudt om een hoek te benoemen. Een miljard houdt daaronder een marge. ### Veelgestelde vragen **Waarvoor wordt de eenheidscirkel gebruikt?** De eenheidscirkel zet sinus en cosinus om in coördinaten. Door één punt op de cirkel af te lezen, krijgt men beide waarden tegelijk; de figuur laat zien waarom ze zich elke volledige omwenteling herhalen en waarom hun tekens van het ene kwadrant naar het volgende veranderen. **Wat is de exacte waarde van sin 30°?** Een half. cos 30° is √3/2, ongeveer 0,8660254, en tan 30° is √3/3, ongeveer 0,57735027. **Waarom is tan 90° niet gedefinieerd?** De tangens is de sinus gedeeld door de cosinus, en cos 90° is 0. Delen door nul heeft geen uitkomst. De pagina vindt de pool door de hoek te benoemen, niet door te controleren of een berekende tangens groot terugkomt, omdat een steile tangens vlak voor 90° een gewoon getal is. **Wat is een referentiehoek?** Het is de scherpe hoek tussen de straal en de x-as, dus deze ligt altijd tussen 0° en 90°. 150°, 210° en 330° hebben allemaal een referentiehoek van 30°, waardoor hun sinus en cosinus dezelfde drie groottes hebben en alleen in teken verschillen. **Werkt een negatieve hoek?** Ja. Een negatieve hoek draait met de klok mee. −30° wijst in dezelfde richting als 330°, dus de pagina geeft het punt (√3/2, −1/2) en kwadrant IV. **Waarom toont de pagina de hoek twee keer?** 750° en 30° snijden de cirkel in hetzelfde punt, maar ze zijn niet dezelfde rotatie. De pagina herhaalt de ingevoerde hoek, omgerekend naar de andere eenheid, en toont de teruggebrachte hoek ernaast.