Kalkulator planu oszczędnościowego: wartość przyszła

Kalkulator planu oszczędnościowego

Kalkulator planu oszczędnościowego szacuje, ile będzie warta lokata oszczędnościowa lub rachunek inwestycyjny po wybranej liczbie lat. Łączy jednorazową wpłatę początkową z regularną wpłatą dokonywaną co miesiąc, kwartał lub rok, a następnie obie kwoty rosną dzięki oprocentowaniu składanemu.

Działanie kalkulatora

Kalkulator przyjmuje siedem danych: wpłatę początkową, regularną wpłatę, częstotliwość wpłat (miesięczną, kwartalną lub roczną), informację, czy każda wpłata jest dokonywana na początku czy na końcu okresu, roczną stopę procentową, częstotliwość kapitalizacji odsetek oraz liczbę lat, przez które pieniądze rosną.

Zwraca trzy wartości: wartość przyszłą (saldo końcowe), sumę wpłat (wpłata początkowa plus wszystkie regularne wpłaty) oraz łączną kwotę naliczonych odsetek (różnicę między dwiema pierwszymi wartościami). Wykres pokazuje saldo na koniec każdego okresu wpłat.

Wpłata początkowa może wynosić od 0 USD do 1 USD biliona, a wpłata od 0 USD do 1 USD miliarda na okres. Stopa procentowa może wynosić od 0% do 100%. Liczba lat musi być większa niż 0 i nie może przekraczać 100. Co najmniej jedna z wartości — wpłata początkowa lub regularna — musi być większa niż 0 USD.

Jak obliczyć wartość przyszłą planu oszczędnościowego

Łączy się tu dwa standardowe wyniki, opisane w artykułach Wikipedii „Future value” i „Annuity”.

Wpłata początkowa rośnie wyłącznie dzięki oprocentowaniu składanemu:

FV(wpłaty) = P₀ × (1 + i)ˣ

Strumień regularnych wpłat rośnie jak renta:

FV(wpłat) = PMT × (1 + i)ˣ⁻ᴺ × A

• P₀ oznacza wpłatę początkową.
• PMT oznacza regularną wpłatę.
• i oznacza stopę procentową dla jednego okresu wpłat.
• x oznacza horyzont wyrażony w okresach wpłat (lata × liczba okresów w roku).
• N oznacza liczbę faktycznie dokonanych wpłat.
• A oznacza współczynnik renty, czyli wartość przyszłą kwoty 1 USD wpłacanej w każdym okresie przez N okresów.

Współczynnik renty zależy od momentu dokonywania wpłat:

Wpłata na początku każdego okresu przynosi odsetki przez jeden dodatkowy okres, stąd dodatkowy czynnik (1 + i). Gdy stopa wynosi 0%, współczynnik renty wynosi N: wpłaty sumują się bez wzrostu.

Wartość przyszła jest sumą obu części. Łączna kwota odsetek to wartość przyszła pomniejszona o wszystkie wpłacone środki.

Gdy kapitalizacja i wpłaty mają różne częstotliwości

Odsetki mogą być kapitalizowane częściej lub rzadziej niż dokonywane są wpłaty, na przykład co miesiąc przy wpłatach kwartalnych. Kalkulator przelicza nominalną roczną stopę r, kapitalizowaną n razy w roku, na efektywną stopę dla jednego okresu wpłat (zob. artykuł Wikipedii „Effective interest rate”):

i = (1 + r/n)^(n/m) − 1

gdzie m oznacza liczbę wpłat w roku. Przy rocznej stopie 5% kapitalizowanej co miesiąc i wpłatach kwartalnych i = (1 + 0,05/12)³ − 1 ≈ 1,2552% na kwartał. Gdy obie częstotliwości są takie same, i wynosi bezpośrednio r/n.

Przykład obliczeniowy

Plan rozpoczyna się od 1000 USD i obejmuje wpłatę 100 USD na początku każdego miesiąca przez 10 lat przy rocznej stopie 5% kapitalizowanej co miesiąc. Są to wartości domyślne kalkulatora.

1. Liczba okresów w roku m = 12, więc horyzont wynosi x = 120 okresów, a N = 120 wpłat.
2. Miesięczna stopa wynosi i = 0,05 / 12 ≈ 0,0041667.
3. Współczynnik wzrostu: (1 + i)¹²⁰ ≈ 1,647009.
4. Wpłata początkowa: 1000 USD × 1,647009 ≈ 1647,01 USD.
5. Współczynnik renty (zwykłej): (1,647009 − 1) / 0,0041667 ≈ 155,282279. Wpłaty są dokonywane na początku każdego miesiąca, więc należy pomnożyć przez (1 + i): 155,929289.
6. Wpłaty: 100 USD × 155,929289 ≈ 15 592,93 USD.
7. Wartość przyszła: 1647,01 USD + 15 592,93 USD = 17 239,94 USD.

Łączna suma wpłat wynosi 1000 USD + 120 × 100 USD = 13 000 USD, więc łączna kwota odsetek to 17 239,94 USD − 13 000 USD = 4239,94 USD. Przy tym samym planie, lecz z wpłatami na koniec każdego miesiąca, wartość przyszła wynosi 17 175,24 USD, czyli około 65 USD mniej.

Drugi przykład z wpłatami na koniec miesiąca: wpłata początkowa 5000 USD, 200 USD miesięcznie, stopa 6% kapitalizowana co miesiąc, 20 lat. W tym przypadku (1,005)²⁴⁰ ≈ 3,310204, wpłata początkowa rośnie do 16 551,02 USD, współczynnik renty wynosi 462,040895, a wpłaty rosną do 92 408,18 USD. Wartość przyszła wynosi 108 959,20 USD: wpłacono 53 000 USD, a 55 959,20 USD stanowią odsetki. Wynik ten zgadza się z kalkulatorem odsetek składanych amerykańskiej Komisji Papierów Wartościowych i Giełd w serwisie investor.gov, z którym porównano działanie silnika tego narzędzia.

Konwencje stosowane przez ten kalkulator

Domyślnie wpłaty są dokonywane na początku okresu. W większości rzeczywistych planów oszczędnościowych obciążenie rachunku następuje na początku każdego miesiąca, dlatego domyślnie stosowana jest renta płatna z góry. Wiele podręczników i kalkulatorów zakłada jednak rentę zwykłą; opcja momentu wpłaty przełącza między tymi wariantami.

W przypadku ułamkowych lat liczba wpłat zależy od ich momentu. W ciągu 2,5 roku przy wpłatach rocznych plan z wpłatami na koniec okresu obejmuje 2 wpłaty (wpłaty dotyczą tylko zakończonych lat), natomiast plan z wpłatami na początku okresu obejmuje 3 wpłaty (każda wpłata przypadająca na dany rok jest dokonywana na jego początku). Każda dokonana wpłata, podobnie jak kwota początkowa, rośnie do dokładnego końca horyzontu, w tym przez końcowy niepełny okres.

Wyniki są nominalne. Nie odejmuje się inflacji, podatków ani opłat. Wartość przyszła odpowiada kwocie widocznej na wyciągu z rachunku, a nie jej sile nabywczej.

Zaokrąglenie następuje tylko raz, na końcu. Wartość przyszła i łączna suma wpłat są zaokrąglane do centa, a łączna kwota odsetek jest ich różnicą, dzięki czemu trzy wyświetlane wartości zawsze sumują się dokładnie.

Często zadawane pytania

Jaka jest wartość przyszła planu oszczędnościowego? To saldo rachunku na koniec planu: wpłata początkowa i każda regularna wpłata, powiększone o odsetki składane od momentu wpłaty do końca planu.

Czy dokonywanie wpłat na początku miesiąca naprawdę ma znaczenie? Tak, choć niewielkie. Każda wpłata przynosi odsetki przez jeden dodatkowy okres, co mnoży część salda pochodzącą z wpłat przez (1 + i). W domyślnym przykładzie różnica po 10 latach wynosi 64,70 USD.

Dlaczego częstotliwość kapitalizacji zmienia wynik? Częstsza kapitalizacja nalicza odsetki wcześniej, dzięki czemu wcześniej zaczynają one przynosić kolejne odsetki. Kalkulator uwzględnia to w efektywnej stopie na okres i = (1 + r/n)^(n/m) − 1, dlatego dokładnie obsługuje dowolne połączenie częstotliwości kapitalizacji i wpłat.

Co dzieje się przy stopie procentowej 0%? Wartość przyszła jest po prostu sumą wszystkich wpłaconych środków. Przy domyślnym planie i stopie 0% na koniec otrzymuje się dokładnie 13 000 USD, a odsetki wynoszą 0 USD.

Czy kalkulator uwzględnia inflację lub podatki? Nie. Wszystkie wyniki są nominalnymi kwotami w dolarach. Aby oszacować siłę nabywczą, można zamiast tego wprowadzić niższą „realną” stopę, ale narzędzie nie przyjmuje stóp ujemnych.

Dlaczego łączna kwota odsetek to wartość przyszła pomniejszona o łączną sumę wpłat? Odsetki to każdy dolar znajdujący się na rachunku, który nie został wpłacony. Ponieważ wpłaty są uwzględnione w łącznej sumie wpłat, wszystko, co pozostaje z wartości przyszłej, musi pochodzić z kapitalizacji.

Piśmiennictwo

1. "Future value." Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Future_value.
2. "Annuity." Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Annuity.
3. "Effective interest rate." Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Effective_interest_rate.
4. "Compound Interest Calculator." U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov, https://www.investor.gov/financial-tools-calculators/calculators/compound-interest-calculator.