Kalkulator Swobodnego Spadku - Kalkulator Prędkości, Dystansu i Czasu

Kalkulator swobodnego spadku: prędkość, odległość i czas

Kalkulator swobodnego spadku wyznacza prędkość obiektu spadającego pod wpływem grawitacji, przebytą przez niego odległość oraz wysokość, na jakiej nadal znajduje się nad ziemią. Wprowadź wysokość początkową, prędkość początkową i czas, który upłynął, a kalkulator zwróci prędkość końcową, przemieszczenie w dół oraz wysokość końcową.

Czym jest swobodny spadek?

Swobodny spadek to ruch wywołany wyłącznie przez grawitację. Opór powietrza jest pomijany. W pobliżu powierzchni Ziemi każdy spadający obiekt przyspiesza w tym samym tempie, niezależnie od swojej masy. Moneta i młotek upuszczone jednocześnie uderzają w ziemię w tej samej chwili, o ile opór powietrza jest na tyle mały, że można go pominąć.

Galileusz Galilei wykazał to doświadczalnie na początku 1600 roku, obalając wcześniejszy pogląd, że cięższe obiekty spadają szybciej. W 1971 roku astronauta misji Apollo 15 David Scott upuścił na Księżycu młotek i piórko, gdzie nie ma powietrza spowalniającego piórko. Oba obiekty spadły jednocześnie, co zarejestrowała kamera.

To przyspieszenie nazywa się standardowym przyspieszeniem grawitacyjnym i oznacza g. Jego zdefiniowana wartość wynosi dokładnie 9,80665 metrów na sekundę do kwadratu (m/s²), zgodnie z międzynarodowym porozumieniem z 1901 roku. W jednostkach imperialnych to samo przyspieszenie wynosi 32,17405 stopy (9,81 m) na sekundę do kwadratu (ft/s²). Wartość ta jest ilorazem 9,80665 i 0,3048, czyli dokładnej liczby metrów w jednej stopie, zaokrąglonym do pięciu miejsc po przecinku. W wielu przykładach podręcznikowych wartość metryczną zaokrągla się do 9,81 m/s², aby uprościć obliczenia.

Wzór na swobodny spadek

Każdy problem dotyczący swobodnego spadku można opisać za pomocą trzech równań. Kierunek w dół przyjmuje się jako dodatni, więc dodatnia prędkość oznacza ruch w stronę ziemi, a ujemna — ruch w górę.

Wzór na prędkość

$v = v_0 + gt$

• $v$ = prędkość końcowa
• $v_0$ = prędkość początkowa (0 w przypadku upuszczenia obiektu z bezruchu; ujemna w przypadku rzutu w górę)
• $g$ = przyspieszenie grawitacyjne, 9,80665 m/s² lub 32,17405 stopy/s² w tym kalkulatorze
• $t$ = czas, który upłynął, w sekundach

Wzór na odległość

$d = v_0t + \frac{1}{2}gt^2$

W tym wzorze $d$ oznacza przemieszczenie, czyli odległość, jaką obiekt przebył w dół. Dla obiektu upuszczonego z bezruchu ($v_0 = 0$) równanie upraszcza się do $d = \frac{1}{2}gt^2$. Jeśli obiekt został wyrzucony w górę i nadal znajduje się powyżej punktu wypuszczenia, $d$ przyjmuje wartość ujemną.

Wzór na zależność prędkości od odległości

Gdy czas jest nieznany, to równanie bezpośrednio wiąże prędkość z odległością:

$v^2 = v_0^2 + 2gd$

Dla obiektu upuszczonego z bezruchu wzór upraszcza się do $v = \sqrt{2gd}$. Służy on do wyznaczania prędkości uderzenia na podstawie znanej wysokości, z której obiekt spada, lub wysokości na podstawie znanej prędkości uderzenia.

Jak obliczyć swobodny spadek za pomocą tego kalkulatora

Kalkulator przyjmuje cztery ustawienia i zwraca trzy wyniki.

1. Wybierz układ jednostek. Układ metryczny wykorzystuje metry oraz metry na sekundę. Układ imperialny wykorzystuje stopy oraz stopy na sekundę.
2. Wprowadź wysokość początkową, czyli wysokość, na której obiekt znajduje się nad ziemią na początku. Nie może być ujemna.
3. Wprowadź prędkość początkową. Użyj wartości 0 dla obiektu upuszczonego z bezruchu, liczby dodatniej dla obiektu wyrzuconego w dół lub liczby ujemnej dla obiektu wyrzuconego w górę.
4. Wprowadź czas, który upłynął od chwili wypuszczenia obiektu. Musi być większy od zera.

Wyniki to prędkość końcowa, przemieszczenie i wysokość końcowa (wysokość początkowa pomniejszona o przemieszczenie). Czas jest tutaj daną wejściową, a nie wynikiem: kalkulator nie oblicza wstecz czasu na podstawie docelowej prędkości lub odległości.

Jeśli wprowadzony czas jest na tyle długi, że obiekt zdążył już uderzyć w ziemię, kalkulator informuje o tym zamiast podawać ujemną wysokość końcową.

Przykład: ustawienia domyślne

Obiekt upuszczono z bezruchu z wysokości 100 metrów. Gdzie znajduje się po 3 sekundach?

Prędkość po 3 sekundach:

$v = 0 + 9.80665 \times 3 = 29.41995 \approx 29.42 \text{ m/s}$

Przemieszczenie w ciągu tych 3 sekund:

$d = \frac{1}{2} \times 9.80665 \times 3^2 = 44.129925 \approx 44.13 \text{ m}$

Wysokość końcowa:

$100 - 44.129925 = 55.870075 \approx 55.87 \text{ m}$

Obiekt spada więc z prędkością około 29,42 m/s, przebył w dół około 44,13 m i nadal znajduje się około 55,87 m nad ziemią.

Przykład: czas i prędkość na podstawie znanej wysokości

Klucz upuszczono z rusztowania o wysokości 20 metrów. Ile czasu zajmie mu uderzenie w ziemię i jak szybko będzie się poruszał w chwili uderzenia?

Korzystając z $d = \frac{1}{2}gt^2$, przy $d = 20$ m i $g = 9.81$ m/s²:

$t = \sqrt{\frac{2 \times 20}{9.81}} \approx 2.02 \text{ sekund}$

$v = gt = 9.81 \times 2.02 \approx 19.8 \text{ m/s (około 71 km/h)}$

Przykład: wysokość na podstawie prędkości uderzenia

Obiekt uderza w ziemię z prędkością 25 m/s po upuszczeniu z bezruchu. Z jakiej wysokości spadał?

Korzystając z $v^2 = 2gd$:

$d = \frac{v^2}{2g} = \frac{25^2}{2 \times 9.81} = \frac{625}{19.62} \approx 31.9 \text{ metrów}$

To w przybliżeniu wysokość dziesięciopiętrowego budynku.

Zmiany wartości przyspieszenia grawitacyjnego

Standardowe przyspieszenie grawitacyjne, 9,80665 m/s², jest średnią wartością referencyjną. Rzeczywiste przyspieszenie grawitacyjne nieznacznie różni się na powierzchni Ziemi. Jest słabsze na równiku (około 9,78 m/s²) niż na biegunach (około 9,83 m/s²), ponieważ Ziemia jest na równiku wybrzuszona i obraca się tam najszybciej. Przyspieszenie grawitacyjne nieznacznie słabnie także wraz z wysokością: na wysokości 10 000 metrów spada do około 9,78 m/s².

Na innych ciałach niebieskich przyspieszenie grawitacyjne ma zupełnie inne wartości, dlatego te same wzory dają bardzo różne wyniki:

Przyspieszenie grawitacyjne na Księżycu wynosi około jednej szóstej przyspieszenia ziemskiego, dlatego upuszczony tam obiekt w tym samym czasie pokonuje około sześć razy mniejszą odległość.

Swobodny spadek a opór powietrza

Wzory te zakładają próżnię, w której powietrze nie stawia oporu obiektowi. Rzeczywisty opór powietrza rośnie proporcjonalnie do kwadratu prędkości, więc ma większe znaczenie przy większych prędkościach. Ma niewielki wpływ na gęsty, zwarty obiekt, taki jak klucz lub kamień, spadający z niewielkiej wysokości. Silnie wpływa natomiast na lekkie lub szerokie obiekty, takie jak piórko, kartka papieru lub spadochron.

Gdy opór powietrza staje się na tyle duży, że równoważy siłę grawitacji, obiekt przestaje przyspieszać i porusza się ze stałą prędkością, zwaną prędkością graniczną. Skoczek spadochronowy w pozycji na brzuchu zazwyczaj osiąga prędkość graniczną około 53 metrów na sekundę, czyli około 190 km/h lub 120 mil/h, zanim otworzy spadochron.

Często zadawane pytania

Czym jest swobodny spadek w fizyce?

Swobodny spadek to ruch obiektu, na który działa wyłącznie grawitacja, przy pominięciu oporu powietrza. Wszystkie spadające obiekty w pobliżu powierzchni Ziemi przyspieszają w dół w tym samym tempie, około 9,81 m/s², niezależnie od swojej masy.

Dlaczego wszystkie obiekty spadają w tym samym tempie?

Grawitacja silniej przyciąga cięższy obiekt, ale cięższy obiekt również bardziej przeciwstawia się zmianie ruchu, ponieważ ma większą bezwładność. Te dwa efekty dokładnie się równoważą, dlatego masa nie wpływa na tempo przyspieszenia w swobodnym spadku.

Jaki jest wzór na prędkość w swobodnym spadku?

$v = v_0 + gt$, gdzie $v_0$ oznacza prędkość początkową, $g$ — przyspieszenie grawitacyjne, a $t$ — czas. Dla obiektu upuszczonego z bezruchu wzór przyjmuje po prostu postać $v = gt$.

Jaki jest wzór na odległość w swobodnym spadku?

$d = v_0t + \frac{1}{2}gt^2$. Dla obiektu upuszczonego z bezruchu wzór upraszcza się do $d = \frac{1}{2}gt^2$.

Dlaczego przemieszczenie bywa ujemne?

W tym kalkulatorze kierunek w dół przyjmuje się jako dodatni. Ujemne przemieszczenie oznacza, że obiekt znajduje się powyżej punktu, z którego został wypuszczony, co dzieje się wtedy, gdy wyrzucono go w górę i nie zdążył jeszcze opaść. Wyrzuć piłkę w górę z prędkością 10 m/s i sprawdź jej położenie po 1 sekundzie: $d = -10 \times 1 + \frac{1}{2} \times 9.80665 \times 1^2 = -5.10$ m, więc znajduje się 5,10 m wyżej niż na początku.

Ile czasu zajmuje obiektowi spadek z określonej wysokości?

Rozwiązanie wzoru na odległość względem czasu daje $t = \sqrt{2d/g}$ dla obiektu upuszczonego z bezruchu. Spadek z wysokości 20 metrów zajmuje około 2,02 sekundy.

Dlaczego ten kalkulator wykorzystuje 9,80665 m/s² zamiast 9,8?

9,80665 m/s² to dokładna, międzynarodowo zdefiniowana wartość standardowego przyspieszenia grawitacyjnego, przyjęta w 1901 roku. Zaokrąglanie jej do 9,8 lub 9,81 jest powszechne w podręcznikach i wystarczająco dokładne w większości zastosowań. Kalkulator wykorzystuje wartość zdefiniowaną, aby wyniki metryczne i imperialne opisywały ten sam fizyczny spadek, czego nie zapewnia zaokrąglona para 9,8 m/s² i 32,2 stopy/s².

Czy ten kalkulator uwzględnia opór powietrza?

Nie. Zakłada wyidealizowany swobodny spadek w próżni. Daje to dokładne wyniki dla gęstych, zwartych obiektów spadających z umiarkowanych wysokości, ale zawyża prędkość i odległość w przypadku lekkich lub szerokich obiektów oraz bardzo długich spadków, podczas których opór powietrza staje się istotny.