Kalkulator Wartości Krytycznych | Test Z, Test t, Chi-kwadrat

Wartość krytyczna to punkt odcięcia na rozkładzie prawdopodobieństwa, który wyznacza granicę „obszaru odrzucenia” w teście hipotezy. Jeśli statystyka testowa przekracza wartość krytyczną, wynik uznaje się za istotny statystycznie, a hipotezę zerową odrzuca. Ten kalkulator wyznacza wartości krytyczne dla trzech najczęściej stosowanych testów: testu Z, testu t i testu chi-kwadrat.

Czym jest wartość krytyczna?

W statystyce badacze często rozpoczynają od hipotezy zerowej, czyli prostego założenia, że nie dzieje się nic niezwykłego, na przykład że nowy lek nie działa. Na podstawie danych z próby oblicza się statystykę testową i porównuje ją z wartością krytyczną, aby zdecydować, czy dane dostarczają wystarczających dowodów przeciwko hipotezie zerowej.

Wartość krytyczna zależy od trzech czynników: wyboru testu, poziomu istotności (zapisywanego jako α, grecka litera alfa) oraz tego, czy test jest jednostronny, czy dwustronny. Poziom istotności to prawdopodobieństwo błędnego odrzucenia prawdziwej hipotezy zerowej; często ustala się go na poziomie 0,05 (5%) lub 0,01 (1%).

Test jednostronny sprawdza występowanie efektu w jednym kierunku, na przykład „większego niż”. Ma jedną wartość krytyczną. Test dwustronny sprawdza występowanie efektu w dowolnym kierunku i ma dwie wartości krytyczne, po jednej z każdej strony rozkładu.

Jak obliczyć wartość krytyczną

1. Wybierz test: test Z (duże próby lub znana wariancja populacji), test t (małe próby z nieznaną wariancją) albo test chi-kwadrat (dane kategorialne lub test zgodności).
2. Wybierz rodzaj testu: jednostronny lub dwustronny.
3. Wybierz poziom istotności α, czyli liczbę między 0 a 1. Typowe wartości to 0,10, 0,05 i 0,01.
4. W przypadku testu t lub testu chi-kwadrat wprowadź liczbę stopni swobody (df). Dla testu t df jest równe liczebności próby pomniejszonej o 1. W teście zgodności chi-kwadrat df jest równe liczbie kategorii pomniejszonej o 1.
5. Odczytaj z tablic (lub oblicz) wartość odcinającą wybrany obszar ogona pod krzywą rozkładu. Jest to wartość krytyczna.

Wzory na wartości krytyczne

Każdy wzór wykorzystuje odwrotność dystrybuanty skumulowanej: wartość x, dla której pole pod krzywą do x jest równe docelowemu prawdopodobieństwu p.

Wzór dla testu Z

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - \alpha) \quad \text{(jednostronny)}$ $Z_c = \Phi^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2}\right) \quad \text{(dwustronny)}$

Φ⁻¹ jest odwrotnością dystrybuanty skumulowanej standardowego rozkładu normalnego.

Wzór dla testu t

$t_c = t^{-1}(1 - \alpha,\ df) \quad \text{(jednostronny)}$ $t_c = t^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2},\ df\right) \quad \text{(dwustronny)}$

t⁻¹(p, df) jest odwrotnością dystrybuanty skumulowanej rozkładu t z df stopniami swobody.

Wzór dla testu chi-kwadrat

$\chi^2_c = \chi^2_{1-\alpha,\ df} \quad \text{(jednostronny)}$ $\chi^2_{\text{dolna}} = \chi^2_{\alpha/2,\ df}, \qquad \chi^2_{\text{górna}} = \chi^2_{1-\alpha/2,\ df} \quad \text{(dwustronny)}$

Rozkład chi-kwadrat przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie, dlatego obie wartości krytyczne są dodatnie, a dolna jest mniejsza od górnej.

Przykład: wartość krytyczna w teście Z

Zespół kontroli jakości chce wyznaczyć jednostronną wartość krytyczną testu Z przy α = 0,05.

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - 0.05) = \Phi^{-1}(0.95) \approx 1.6449$

Każda statystyka testowa większa niż 1,6449 należy do obszaru odrzucenia.

Przykład: wartość krytyczna w teście t

Badacz przeprowadza eksperyment z udziałem 20 osób, więc df = 19. Chce wyznaczyć dwustronną wartość krytyczną przy α = 0,01.

$t_c = t^{-1}(1 - 0.005,\ 19) = t^{-1}(0.995,\ 19) \approx 2.8609$

Obszary odrzucenia to t < -2,8609 oraz t > 2,8609.

Przykład: wartości krytyczne rozkładu chi-kwadrat

Analityk porównuje zaobserwowane i oczekiwane liczebności w 5 kategoriach, więc df = 4. Chce wyznaczyć dwustronne wartości krytyczne przy α = 0,05.

$\chi^2_{\text{dolna}} = \chi^2_{0.025,\ 4} \approx 0.4844$ $\chi^2_{\text{górna}} = \chi^2_{0.975,\ 4} \approx 11.1433$

Statystyka chi-kwadrat mniejsza niż 0,4844 lub większa niż 11,1433 należałaby do obszaru odrzucenia.

Typowe wartości krytyczne

Wraz ze wzrostem liczby stopni swobody wartości krytyczne rozkładu t zbliżają się do odpowiednich wartości dla testu Z, ponieważ rozkład t zbliża się do rozkładu normalnego.

Często zadawane pytania

Do czego służy wartość krytyczna? Wyznacza granicę decydującą o tym, czy statystyka testowa jest wystarczająco ekstremalna, aby odrzucić hipotezę zerową. Jeśli statystyka przekroczy wartość krytyczną, wynik jest istotny statystycznie przy wybranym poziomie α.

Jaka jest różnica między jednostronną a dwustronną wartością krytyczną? Test jednostronny szuka efektu w jednym kierunku i ma jedną wartość krytyczną. Test dwustronny szuka efektu w dowolnym kierunku i ma dwie wartości krytyczne, rozmieszczone symetrycznie względem środka w przypadku testu Z i testu t. Przy tym samym α dwustronna wartość krytyczna ma większą wartość bezwzględną niż jednostronna, ponieważ to samo całkowite prawdopodobieństwo jest podzielone między dwa ogony zamiast jednego.

Kiedy należy użyć testu Z zamiast testu t? Testu Z używa się, gdy wariancja populacji jest znana lub próba jest duża, zwykle obejmuje 30 lub więcej obserwacji. Testu t używa się w przypadku mniejszych prób z nieznaną wariancją populacji. Wraz ze wzrostem liczebności próby wartości krytyczne testu t zbieżają do wartości krytycznych testu Z.

Czy wartość krytyczna może być ujemna? Tak. Rozkłady testu Z i testu t są symetryczne względem zera, dlatego test dwustronny ma jedną ujemną i jedną dodatnią wartość krytyczną. Wartości krytyczne rozkładu chi-kwadrat są zawsze dodatnie, ponieważ rozkład chi-kwadrat jest określony wyłącznie dla wartości równych zero lub większych.

Jak stopnie swobody wpływają na wartość krytyczną? Stopnie swobody mierzą ilość niezależnych informacji zawartych w danych; zwykle jest to liczebność próby pomniejszona o liczbę wcześniej oszacowanych parametrów. Mniejsza liczba stopni swobody prowadzi do szerszych rozkładów z cięższymi ogonami i większymi wartościami krytycznymi. Większa liczba stopni swobody przybliża rozkład t i rozkład chi-kwadrat do rozkładu normalnego.

Która wartość krytyczna odpowiada poziomowi ufności 95%? Poziom ufności 95% oznacza α = 0,05. W dwustronnym teście Z wartości krytyczne wynoszą ±1,9600. W jednostronnym teście Z wartość krytyczna wynosi 1,6449.

Historia

Karl Pearson wprowadził test chi-kwadrat w 1900 roku. William Sealy Gosset, publikujący pod pseudonimem „Student”, opracował rozkład t w 1908 roku, aby analizować małe próby w browarze Guinness. Ronald Fisher sformalizował testowanie istotności i wartości krytyczne w dekadzie rozpoczynającej się w 1920 roku, w swojej książce Statistical Methods for Research Workers. Przed erą komputerów badacze odczytywali wartości krytyczne z drukowanych tablic; obecnie kalkulatory i oprogramowanie obliczają je bezpośrednio na podstawie wzorów rozkładów.

Piśmiennictwo

1. Pearson, K. (1900). „On the criterion that a given system of deviations... is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling.” Philosophical Magazine, seria 5, 50(302), 157–175.
2. Student [Gosset, W. S.] (1908). „The probable error of a mean.” Biometrika, 6(1), 1–25.
3. Fisher, R. A. (1925). Statistical Methods for Research Workers. Edynburg: Oliver & Boyd.
4. NIST/SEMATECH, elektroniczny podręcznik metod statystycznych, „Wartości krytyczne”.