Kalkulator dokładnego testu Fishera - Darmowe narzędzie statystyczne

Czym jest dokładny test Fishera?

Dokładny test Fishera to metoda statystyczna, która sprawdza, czy dwie zmienne kategorialne są ze sobą powiązane, na podstawie danych ułożonych w tabeli 2×2. Oblicza dokładne prawdopodobieństwo, zwane wartością p, zamiast przybliżenia. Dzięki temu jest użyteczny przy małej próbie.

Test porównuje liczebności w dwóch wierszach i dwóch kolumnach, na przykład pacjentów „leczonych” i „nieleczonych”, którzy wyzdrowieli lub nie wyzdrowieli. Tabela 2×2 ma cztery komórki, zwykle oznaczane literami A, B, C i D, a także sumy wierszy i kolumn.

Dokładny test Fishera a test chi-kwadrat

Test chi-kwadrat również sprawdza, czy dwie zmienne kategorialne są ze sobą powiązane, ale opiera się na przybliżeniu, które działa dobrze tylko wtedy, gdy liczebności w komórkach są wystarczająco duże. Często stosowana reguła mówi, że jeśli oczekiwana liczebność którejkolwiek komórki w tabeli jest mniejsza niż 5, przybliżenie chi-kwadrat staje się niewiarygodne i lepszym wyborem jest dokładny test Fishera. Dokładny test Fishera działa przy dowolnej liczebności próby, ale jest dokładny matematycznie, a nie przybliżony, co stanowi jego główną zaletę przy małych próbach.

Jak obliczać dokładny test Fishera

Test wykorzystuje rozkład hipergeometryczny, który opisuje prawdopodobieństwo wylosowania określonej liczby elementów ze zbioru bez odkładania ich z powrotem. Przy danych sumach wierszy i kolumn tabeli rozkład hipergeometryczny podaje prawdopodobieństwo każdego konkretnego układu czterech liczebności komórek.

Wzór na prawdopodobieństwo

Dla tabeli z komórkami A, B, C i D, sumami wierszy r₁ = A + B i r₂ = C + D, sumami kolumn c₁ = A + C i c₂ = B + D oraz całkowitą liczebnością próby n = A + B + C + D prawdopodobieństwo dokładnie takiej tabeli wynosi:

$P = \frac{r_1!\, r_2!\, c_1!\, c_2!}{A!\, B!\, C!\, D!\, n!}$

Znak „!” oznacza silnię: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1.

Wartość p dla testu jednostronnego

Wartość p dla testu jednostronnego jest sumą prawdopodobieństwa zaobserwowanej tabeli oraz każdej innej tabeli o tych samych sumach wierszy i kolumn, która wskazuje na związek o takiej samej lub większej sile w tym samym kierunku. „Kierunek” określa się przez porównanie komórki A z wartością, jaką miałaby, gdyby zmienne były niezależne; wartość ta nosi nazwę wartości oczekiwanej: E(A) = r₁c₁ / n.

• Jeśli A jest równe E(A) lub większe od E(A), związek ma charakter dodatni, a suma obejmuje każdą możliwą wartość komórki A od wartości zaobserwowanej do jej najwyższej możliwej wartości.
• Jeśli A jest mniejsze niż E(A), związek ma charakter ujemny, a suma obejmuje wartości od najniższej możliwej wartości komórki A do wartości zaobserwowanej.

Wartość p dla testu dwustronnego

Wartość p dla testu dwustronnego jest sumą prawdopodobieństw wszystkich możliwych tabel o tych samych sumach wierszy i kolumn, których prawdopodobieństwo jest równe prawdopodobieństwu tabeli zaobserwowanej lub od niego mniejsze. Uwzględnia to skrajne wyniki w obu kierunkach, dlatego wartość p dla testu dwustronnego jest zwykle większa niż wartość p dla testu jednostronnego obliczona na podstawie tej samej tabeli.

Przykład rozwiązany

W małym badaniu nowy lek podano 10 pacjentom, a placebo podano 10 innym pacjentom. Wyniki:

W tym przypadku A = 8, B = 2, C = 3, D = 7, a n = 20. Wartość oczekiwana A przy niezależności wynosi E(A) = (10 × 11) / 20 = 5,5. Ponieważ 8 jest większe niż 5,5, związek ma charakter dodatni, więc suma jednostronna obejmuje wartości od A = 8 do najwyższej możliwej wartości A, czyli 10.

Obliczenie prawdopodobieństw hipergeometrycznych dla A = 8, 9 i 10 daje jednostronną wartość p wynoszącą około 0,0349. Dodanie prawdopodobieństw każdej tabeli (w obu kierunkach), której prawdopodobieństwo jest równe prawdopodobieństwu tabeli zaobserwowanej lub od niego mniejsze, daje dwustronną wartość p wynoszącą około 0,0698.

Przy często stosowanym progu 0,05 wynik jednostronny uznaje się za istotny statystycznie, natomiast wyniku dwustronnego nie. Pokazuje to, dlaczego wybór rodzaju testu ma znaczenie: test jednostronny jest właściwy tylko wtedy, gdy kierunek efektu — w tym przypadku poprawa wyników przez lek — został przewidziany przed przeanalizowaniem danych.

Kiedy stosować dokładny test Fishera

Dokładny test Fishera jest często stosowany w:

• badaniach klinicznych z małą liczbą pacjentów;
• kontroli jakości porównującej liczby wad między dwiema partiami produkcyjnymi;
• badaniach genetycznych porównujących liczebności cechy w dwóch małych grupach;
• każdej tabeli 2×2, w której oczekiwana liczebność komórki jest mniejsza niż 5.

Często zadawane pytania

Do czego służy dokładny test Fishera? Sprawdza, czy dwie zmienne kategorialne są ze sobą powiązane, na podstawie liczebności w tabeli 2×2. Często wybiera się go zamiast testu chi-kwadrat, gdy próba jest mała.

Kiedy należy zastosować dokładny test Fishera zamiast testu chi-kwadrat? Gdy oczekiwana liczebność którejkolwiek komórki w tabeli jest mniejsza niż 5 lub gdy potrzebna jest większa pewność co do dokładnego prawdopodobieństwa, niezależnie od liczebności próby.

Jaka jest różnica między wynikami jednostronnymi a dwustronnymi? Jednostronna wartość p testuje przewidziany kierunek efektu, określony przed zapoznaniem się z danymi. Dwustronna wartość p testuje, czy istnieje jakikolwiek związek, w obu kierunkach. Dwustronna wartość p obliczona na podstawie tej samej tabeli jest zwykle większa.

Czy ten kalkulator podaje iloraz szans? Nie. Podaje tylko dokładną wartość p. Iloraz szans dla tej samej tabeli można obliczyć osobno, dzieląc A × D przez B × C.

Czy dokładny test Fishera można stosować do tabel większych niż 2×2? Opisana tutaj wersja jest przeznaczona do tabel 2×2. Większe tabele wymagają pokrewnej metody zwanej rozszerzeniem Freemana-Haltona, dostępnym w większości programów statystycznych.

Czy dokładny test Fishera można stosować do danych sparowanych, takich jak pomiary przed i po badaniu u tych samych osób? Nie. Zakłada on istnienie dwóch niezależnych grup. Do sparowanych danych kategorialnych należy zamiast tego zastosować test McNemara.

Piśmiennictwo

1. Fisher, R.A. (1922). „On the interpretation of χ² from contingency tables, and the calculation of P.” Journal of the Royal Statistical Society, 85(1), 87–94.
2. Freeman, G.H. i Halton, J.H. (1951). „Note on an exact treatment of contingency, goodness of fit and other problems of significance.” Biometrika, 38(1/2), 141–149.
3. Agresti, A. (2018). An Introduction to Categorical Data Analysis (3. wyd.). Wiley.