Gerador e Calculadora de Sequência Aritmética - Ferramenta Gratuita
Gere sequências aritméticas instantaneamente. Insira o primeiro termo, a diferença comum e o número de termos para criar padrões numéricos para matemática, finanças e programação.
Gerador de Sequência Aritmética
Documentação
O que é uma sequência aritmética?
Uma sequência aritmética é uma lista de números na qual cada termo é obtido adicionando uma quantidade fixa ao termo anterior. Essa quantidade fixa é chamada de razão. Na sequência 2, 5, 8, 11, 14, cada termo é 3 maior que o anterior, portanto a razão é 3. Sequências aritméticas também são chamadas de progressões aritméticas.
Um gerador de sequências aritméticas cria esse tipo de lista a partir de três valores:
- Primeiro termo (a₁): o número inicial.
- Razão (d): a quantidade fixa adicionada a cada termo para obter o próximo. Um valor positivo faz a sequência aumentar. Um valor negativo faz com que ela diminua.
- Número de termos (n): quantos números aparecem na sequência.
Por extenso, uma sequência aritmética tem esta forma: a₁, a₁ + d, a₁ + 2d, a₁ + 3d e assim por diante, até a₁ + (n − 1)d.
Fórmula da sequência aritmética
A fórmula do termo geral de uma sequência aritmética é:
aₙ = a₁ + (n − 1) × d
- aₙ é o valor do termo na posição n.
- a₁ é o primeiro termo.
- n é a posição do termo, contando a partir de 1.
- d é a razão.
(n − 1) aparece porque a diferença comum ainda não foi adicionada ao primeiro termo. Ela foi adicionada uma vez ao segundo termo, duas vezes ao terceiro e assim por diante. No enésimo termo, a diferença comum foi adicionada (n − 1) vezes.
Fórmula da soma de uma sequência aritmética
A soma dos primeiros n termos de uma sequência aritmética é:
Sₙ = (n / 2) × (a₁ + aₙ)
Sₙ é a soma dos primeiros n termos, e aₙ é o último termo incluído nessa soma. Essa fórmula funciona porque a soma do primeiro e do último termo, do segundo e do penúltimo e assim por diante é sempre a mesma. Multiplicar essa soma de cada par por metade do número de termos dá o total.
Uma forma equivalente, que não exige conhecer o último termo antecipadamente, é:
Sₙ = (n / 2) × (2a₁ + (n − 1) × d)
Essa fórmula é atribuída ao matemático Carl Friedrich Gauss, que teria usado o método de agrupamento em pares, ainda criança, para somar os números de 1 a 100 em segundos: 50 pares, cada um somando 101, para um total de 5.050.
Exemplo resolvido
Considere um primeiro termo igual a 5, uma diferença comum igual a 3 e 6 termos.
| Posição (n) | Cálculo | Termo |
|---|---|---|
| 1 | 5 + (1 − 1) × 3 | 5 |
| 2 | 5 + (2 − 1) × 3 | 8 |
| 3 | 5 + (3 − 1) × 3 | 11 |
| 4 | 5 + (4 − 1) × 3 | 14 |
| 5 | 5 + (5 − 1) × 3 | 17 |
| 6 | 5 + (6 − 1) × 3 | 20 |
A sequência é 5, 8, 11, 14, 17, 20. Sua soma é (6 / 2) × (5 + 20) = 3 × 25 = 75.
Como usar a calculadora de sequência aritmética
- Insira o primeiro termo (a₁). Ele pode ser positivo, negativo ou zero e pode incluir casas decimais.
- Insira a diferença comum (d). Ela também pode ser positiva, negativa, zero ou decimal.
- Insira o número de termos (n). Ele deve ser um número inteiro de 1 a 10.000. Um valor decimal é arredondado para o número inteiro mais próximo.
- A sequência, a quantidade de termos e a soma aparecem assim que os três campos são preenchidos. Não há um botão separado para pressionar.
- Selecione Copiar sequência para copiar a lista completa de termos.
- Selecione Limpar para esvaziar os três campos e começar novamente.
Regras de entrada
O primeiro termo e a diferença comum aceitam qualquer número real, inclusive números decimais e negativos. O número de termos conta itens inteiros, portanto uma sequência não pode ter meio termo. O campo arredonda uma entrada decimal para o número inteiro mais próximo: digitar 10,5 resulta em 11 termos. A quantidade deve então ficar entre 1 e 10.000. Zero, uma quantidade negativa ou uma quantidade acima de 10.000 exibe um erro em vez de uma sequência. O limite de 10.000 existe porque criar e exibir uma lista maior pode deixar um navegador mais lento.
Usos das sequências aritméticas
Sequências aritméticas descrevem qualquer coisa que mude por uma quantidade fixa em intervalos regulares. Um plano de poupança que começa com US$ 100 e acrescenta US$ 25 todos os meses segue uma sequência aritmética: 100, 125, 150, 175 e assim por diante. Um temporizador de contagem regressiva, um conjunto de horários de reuniões igualmente espaçados e os índices de linhas e colunas usados em programas de computador seguem o mesmo padrão. Os estudantes costumam usar sequências aritméticas para estudar padrões na álgebra inicial, pois a diferença constante torna fácil identificar e verificar a regra por trás da lista.
Um padrão relacionado é a sequência geométrica, na qual cada termo é obtido multiplicando por uma razão fixa, em vez de adicionar uma quantidade fixa, como em 2, 6, 18, 54. Sequências geométricas modelam um crescimento que se acelera com o tempo, como os juros compostos, e não a mudança constante e linear de uma sequência aritmética.
História
As sequências aritméticas estão entre os padrões mais antigos estudados na matemática. O Papiro Matemático de Rhind, um documento egípcio de aproximadamente 1650 a.C., contém problemas que usam progressões aritméticas para dividir mercadorias. Textos babilônicos antigos mostram padrões semelhantes ainda mais antigos. Matemáticos gregos, incluindo Euclides por volta de 300 a.C., mais tarde apresentaram demonstrações formais sobre essas sequências, que ainda são ensinadas atualmente.
Perguntas frequentes
O que é uma sequência aritmética em termos simples?
É uma lista de números na qual a mesma quantidade é adicionada a cada vez para obter o número seguinte. Em 2, 5, 8, 11, essa quantidade é 3.
Como encontrar o enésimo termo sem listar todos os termos anteriores?
A fórmula aₙ = a₁ + (n − 1) × d fornece diretamente qualquer termo. Para uma sequência que começa em 3 com razão de 7, o 50.º termo é 3 + (49 × 7) = 346.
Qual é a diferença entre uma sequência aritmética e uma sequência geométrica?
Uma sequência aritmética adiciona o mesmo valor a cada vez, como em 2, 5, 8, 11. Uma sequência geométrica multiplica pelo mesmo valor a cada vez, como em 2, 6, 18, 54.
Uma sequência aritmética pode usar números negativos?
Sim. O primeiro termo, a diferença comum ou ambos podem ser negativos. A sequência -10, -6, -2, 2, 6 tem diferença comum igual a 4. Uma contagem regressiva como 100, 90, 80, 70 tem diferença comum igual a -10.
Como encontrar a diferença comum a partir de uma lista de números?
Subtraia qualquer termo do termo seguinte: d = a₂ − a₁. Em 7, 12, 17, 22, isso é 12 − 7 = 5, e 17 − 12 também é igual a 5, o que confirma que a sequência é aritmética.
Qual é o número máximo de termos que esta calculadora pode gerar?
Até 10.000 termos. O limite existe porque exibir uma lista muito maior pode deixar um navegador mais lento.