Calculadora de Hipotenusa

Uma calculadora de hipotenusa encontra o comprimento do maior lado de um triângulo retângulo, chamado de hipotenusa. Ela usa o teorema de Pitágoras, uma regra que relaciona os três lados de qualquer triângulo retângulo.

O que é a hipotenusa?

Um triângulo retângulo tem um ângulo de 90 graus, formado onde dois lados se encontram em um canto em esquadro. Esses dois lados são chamados de catetos. O terceiro lado, oposto ao ângulo reto, é a hipotenusa. Ela é sempre o maior lado do triângulo.

Fórmula do teorema de Pitágoras

O teorema de Pitágoras afirma que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos dois catetos.

$c = \sqrt{a^2 + b^2}$

c é a hipotenusa
a e b são os dois catetos

Para encontrar um cateto desconhecido em vez da hipotenusa, a fórmula pode ser reorganizada:

$a = \sqrt{c^2 - b^2} \qquad\qquad b = \sqrt{c^2 - a^2}$

O teorema recebe o nome do filósofo grego Pitágoras, que nasceu por volta de 570 a.C. e morreu por volta de 490 a.C.. A relação já era conhecida antes disso. Tábuas de argila do período paleobabilônico, de cerca de 1900 a 1600 a.C., mostram que os matemáticos babilônios já a compreendiam, mais de mil anos antes de Pitágoras.

Como calcular a hipotenusa

Para encontrar a hipotenusa à mão, siga quatro etapas.

Eleve ao quadrado o comprimento do lado A (multiplique-o por ele mesmo).
Eleve ao quadrado o comprimento do lado B.
Some os dois valores elevados ao quadrado.
Extraia a raiz quadrada dessa soma.

A calculadora desta página executa as mesmas quatro etapas. Escolha "Encontrar hipotenusa", "Encontrar lado A" ou "Encontrar lado B" no menu e informe os dois comprimentos conhecidos. O resultado é atualizado assim que números válidos são informados, arredondado para duas casas decimais.

Os dois lados devem usar a mesma unidade de medida, como polegadas ou metros. A calculadora não converte entre unidades, de modo que um valor informado em pés e outro informado em polegadas não produzem um resultado significativo juntos.

Exemplo de cálculo

Um triângulo retângulo tem lado A de 3 pés (0,91 m) e lado B de 4 pés (1,2 m).

c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5,00 pés (1,52 m)

Este padrão 3-4-5 é um atalho que os carpinteiros usam para verificar se um canto está em esquadro. Meça 3 pés (0,91 m) ao longo de uma borda e 4 pés (1,2 m) ao longo da borda perpendicular. A distância diagonal entre esses dois pontos deve medir exatamente 5 pés. Qualquer múltiplo do padrão funciona da mesma forma, como 6-8-10 ou 30-40-50.

Um segundo exemplo usa valores decimais. Um triângulo retângulo tem lado A de 2,5 polegadas (6,35 cm) e lado B de 6,8 polegadas (17,3 cm).

c = √(2,5² + 6,8²) = √(6,25 + 46,24) = √52,49 ≈ 7,244998, exibido como 7,24 polegadas (18,4 cm)

Os tamanhos de televisores e monitores são medidos dessa forma. O tamanho de tela informado é a diagonal, que é a hipotenusa do retângulo formado pela largura e pela altura da tela.

Como encontrar um lado desconhecido

Se a hipotenusa e um cateto já forem conhecidos, a calculadora pode encontrar o outro cateto. Selecione "Encontrar lado A" ou "Encontrar lado B" e informe a hipotenusa e o cateto conhecido.

Por exemplo, um triângulo retângulo tem hipotenusa de 10 metros e lado B de 6 metros.

a = √(10² − 6²) = √(100 − 36) = √64 = 8,00 metros

A hipotenusa deve ser sempre maior que qualquer um dos catetos, pois é o maior lado do triângulo. Se o valor informado para a hipotenusa não for maior que o do cateto conhecido, a calculadora mostra um erro em vez de um resultado, porque esse triângulo retângulo não existe.

Usos comuns

O teorema de Pitágoras é usado sempre que é preciso encontrar uma distância diagonal reta a partir de duas medidas perpendiculares.

Construção e carpintaria: verificar se o canto de um caixilho ou de uma parede está em esquadro e calcular o comprimento de caibros ou de longarinas de escada.
Topografia: converter distâncias horizontais e verticais em uma distância direta em linha de visada.
Navegação e computação gráfica: a fórmula da distância entre dois pontos de um gráfico, d = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²], é o mesmo teorema aplicado a coordenadas.
Educação: é uma das primeiras demonstrações geométricas que a maioria dos estudantes encontra e pode ser verificada com exemplos simples de números inteiros, como 3-4-5 ou 5-12-13.

O teorema se aplica apenas a triângulos retângulos. Para um triângulo sem ângulo de 90 graus, usa-se a lei dos cossenos.

Perguntas frequentes

Qual é a fórmula da hipotenusa? c = √(a² + b²), em que a e b são os dois catetos de um triângulo retângulo e c é a hipotenusa.

Isso pode ser usado em triângulos sem ângulo reto? Não. O teorema de Pitágoras se aplica apenas a triângulos retângulos. Um triângulo sem ângulo de 90 graus exige a lei dos cossenos.

O que é a regra 3-4-5? É um atalho para verificar um canto em esquadro. Se um lado mede 3 unidades, um lado perpendicular adjacente mede 4 unidades e a diagonal entre suas extremidades mede 5 unidades, o canto é um ângulo reto. Qualquer múltiplo de 3-4-5, como 6-8-10 ou 30-40-50, funciona da mesma forma.

Os dois lados precisam usar a mesma unidade de medida? Sim. Os dois catetos devem ser informados na mesma unidade, como ambos em pés ou ambos em metros. Misturar unidades, como pés e polegadas, produz um resultado matematicamente correto, mas fisicamente sem sentido.

Por que a calculadora mostra um erro em algumas combinações de hipotenusa e lado? A hipotenusa é sempre o maior lado de um triângulo retângulo. Se o valor informado para a hipotenusa não for maior que o do cateto conhecido, não existe um triângulo retângulo válido, e por isso a calculadora devolve um erro em vez de um resultado.

Quantas casas decimais o resultado mostra? Duas. A calculadora mantém a precisão total internamente durante o cálculo e arredonda apenas o número exibido.

Isso é o mesmo que a fórmula da distância? Sim. A fórmula da distância na geometria analítica, d = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²], é o teorema de Pitágoras aplicado a dois pontos de um gráfico. As diferenças horizontal e vertical entre os pontos formam os dois catetos de um triângulo retângulo.

Referências

MacTutor History of Mathematics, Universidade de St Andrews. Pythagoras of Samos. st-andrews.ac.uk — Pitágoras nasceu por volta de 570 a.C. e morreu por volta de 490 a.C.
MacTutor History of Mathematics, Universidade de St Andrews. Pythagoras's theorem in Babylonian mathematics. st-andrews.ac.uk — tábuas paleobabilônicas (1900–1600 a.C.) que mostram uma boa compreensão do teorema.

Calculadora de Hipotenusa - Ferramenta do Teorema de Pitágoras