Calculator Z-Test - Instrument Statistic Gratuit pentru Semnificație

Ce este un test z?

Un test z este un test statistic care verifică dacă media unui eșantion diferă semnificativ de media cunoscută a populației, atunci când abaterea standard a populației este deja cunoscută. Acesta produce un singur număr, scorul z, care arată la câte abateri standard se află media eșantionului față de media populației. Cercetătorii, inspectorii de calitate și analiștii îl folosesc pentru a evalua dacă o diferență observată este probabil reală sau este doar rezultatul întâmplării.

Formula testului Z

Testul z calculează un scor z cu ajutorul formulei:

$Z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$

$\bar{x}$ este media eșantionului
$\mu$ este media populației
$\sigma$ este abaterea standard a populației
$n$ este volumul eșantionului

Partea de jos a formulei, $\sigma / \sqrt{n}$ , se numește eroare standard. Aceasta măsoară cât de mult se estimează că vor varia mediile eșantioanelor doar din cauza eșantionării aleatorii.

Cum se calculează un test z pas cu pas

Determinați media eșantionului ( $\bar{x}$ ) din datele colectate.
Identificați media cunoscută a populației ( $\mu$ ).
Identificați abaterea standard cunoscută a populației ( $\sigma$ ).
Numărați elementele eșantionului ( $n$ ).
Scădeți $\mu$ din $\bar{x}$ .
Împărțiți $\sigma$ la rădăcina pătrată a lui $n$ pentru a obține eroarea standard.
Împărțiți rezultatul pasului 5 la rezultatul pasului 6. Răspunsul este scorul z.

Exemplu de calcul

O fabrică afirmă că șuruburile sale au o lungime medie de 10 cm, cu o abatere standard a populației de 0,2 cm. Un inspector măsoară 100 de șuruburi și constată că media eșantionului este de 10,05 cm.

$\bar{x} = 10.05$
$\mu = 10$
$\sigma = 0.2$
$n = 100$

Eroarea standard: $0.2 / \sqrt{100} = 0.2 / 10 = 0.02$

Scorul z: $(10.05 - 10) / 0.02 = 0.05 / 0.02 = 2.5$

Scorul z este 2,5. Media eșantionului se află la 2,5 erori standard peste media populației.

Cum se interpretează un scor z

Un scor z apropiat de 0 înseamnă că media eșantionului este apropiată de media populației. Un scor z pozitiv sau negativ mare înseamnă că media eșantionului este departe de media populației, ceea ce indică o diferență reală, nu o variație aleatorie.

Valori critice uzuale pentru un test bilateral:

α = 0,10 (nivel de încredere de 90 %): z = ±1,645
α = 0,05 (nivel de încredere de 95 %): z = ±1,96
α = 0,01 (nivel de încredere de 99 %): z = ±2,58

Dacă scorul z calculat depășește valoarea critică pentru nivelul de semnificație ales, rezultatul este considerat semnificativ statistic, iar ipoteza nulă (potrivit căreia nu există nicio diferență) este respinsă.

În exemplul rezolvat, z = 2,5 depășește ±1,96, astfel că diferența este semnificativă statistic la nivelul 0,05. Valoarea p bilaterală pentru z = 2,5 este de aproximativ 1,24 %, ceea ce înseamnă că există o probabilitate de aproximativ 1 la 80 de a observa o diferență atât de mare dacă lungimea medie reală a șuruburilor ar fi într-adevăr 10 cm.

Când se utilizează un test z

Un test z este adecvat atunci când:

Abaterea standard a populației este cunoscută.
Volumul eșantionului este suficient de mare, de obicei mai mare de 30.
Datele provin dintr-o eșantionare aleatorie.
Populația are o distribuție normală sau eșantionul este suficient de mare pentru ca teorema limitei centrale să se aplice.

Dacă abaterea standard a populației este necunoscută sau eșantionul este mic, se utilizează în schimb un test t. Testul t estimează variabilitatea din eșantionul însuși și ține cont de incertitudinea suplimentară pe care o generează acest lucru.

Testul z comparat cu testul t

Ambele teste măsoară cât de departe este media unui eșantion de o valoare așteptată, în unități de eroare standard. Testul z presupune că abaterea standard a populației este cunoscută. Testul t estimează această valoare din eșantion și utilizează o distribuție mai largă, dependentă de volumul eșantionului, pentru a ține cont de incertitudinea suplimentară. În practică, testul t este utilizat mult mai des, deoarece abaterea standard reală a populației este rareori cunoscută.

Utilizări ale testului z în practică

Controlul calității: verificarea faptului că un lot de piese fabricate corespunde specificației țintă.
Cercetarea medicală: compararea rezultatului mediu al unui grup tratat cu o valoare cunoscută a populației.
Educația: compararea scorurilor obținute la teste de o clasă cu media națională.
Finanțele: verificarea faptului că randamentele unui fond diferă de media de referință.

Istoric

Distribuția normală care stă la baza testului z a fost descrisă de Abraham de Moivre în 1733, ca aproximație a distribuției binomiale. Carl Friedrich Gauss și Pierre-Simon Laplace au dezvoltat teoria în continuare la începutul anilor 1800. Metodele formale de testare a ipotezelor, inclusiv utilizarea scorurilor z și a valorilor critice pentru evaluarea semnificației statistice, au fost dezvoltate la începutul secolului al 20-lea de statisticieni precum Ronald Fisher, Jerzy Neyman și Egon Pearson.

Ce afișează acest calculator

Calculatorul solicită patru numere: media eșantionului, media populației, abaterea standard a populației și volumul eșantionului. Acesta raportează scorul z rotunjit la patru zecimale. Sub rezultat, afișează curba normală standard și marchează scorul z cu o linie verticală, astfel încât poziția rezultatului în cadrul distribuției să fie vizibilă. Curba reprezintă densitatea normală standard, $\varphi(x) = e^{-x^{2}/2} / \sqrt{2\pi}$ .

Se aplică două limite valorilor introduse. Volumul eșantionului trebuie să fie mai mare decât 0. Abaterea standard a populației trebuie să fie de cel puțin 0,0001; o dispersie mai mică împinge scorul z la o valoare enormă, lipsită de semnificație utilă. Calculatorul nu raportează o valoare p, așadar utilizați valorile critice de mai sus sau un tabel al distribuției normale standard pentru a decide dacă rezultatul este semnificativ.

Întrebări frecvente

Care este diferența dintre un test z și un test t?

Un test z necesită o abatere standard cunoscută a populației și funcționează cel mai bine cu eșantioane mari. Un test t este utilizat atunci când abaterea standard a populației este necunoscută și trebuie estimată din eșantion; acesta funcționează atât pentru eșantioane mici, cât și pentru eșantioane mari.

De ce volum de eșantion are nevoie un test z?

Un volum al eșantionului mai mare de 30 este regula orientativă uzuală. Sub această valoare, rezultatele unui test z devin nesigure, iar un test t este de obicei alegerea mai bună.

Ce înseamnă un scor z de 2,5?

Un scor z de 2,5 înseamnă că media eșantionului se află la 2,5 erori standard peste media populației. Aceasta depășește valoarea critică bilaterală de ±1,96 pentru un nivel de încredere de 95 %, astfel că diferența este semnificativă statistic la acel nivel. Valoarea p bilaterală pentru z = 2,5 este de aproximativ 1,24 %.

Ce este valoarea p într-un test z?

Valoarea p este probabilitatea de a obține un rezultat cel puțin la fel de extrem ca cel observat, dacă într-adevăr nu ar exista nicio diferență față de media populației. O valoare p mai mică reprezintă o dovadă mai puternică împotriva ipotezei nule. O valoare p mai mică de 0,05 este considerată în mod obișnuit semnificativă statistic.

Ce este ipoteza nulă într-un test z?

Ipoteza nulă afirmă că nu există nicio diferență între media eșantionului și media populației. Testul z măsoară cât de multe dovezi furnizează eșantionul împotriva acestei afirmații.

Poate fi utilizat un test z pentru eșantioane mici?

Nu este recomandat. În cazul unui eșantion mic sau al unei abateri standard necunoscute a populației, un test t oferă rezultate mai precise, deoarece ține cont de incertitudinea suplimentară implicată de estimarea variabilității din date limitate.