Калькулятор квадратных уравнений - Вычисление корней ax² + bx + c = 0

Что такое квадратное уравнение?

Квадратное уравнение — это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a$, $b$ и $c$ — числа, а $a$ не равно нулю. Решатель квадратных уравнений на этой странице находит значение или значения $x$, при которых уравнение становится верным, используя введённые пользователем коэффициенты $a$, $b$ и $c$.

Если бы $a$ было равно нулю, член $x^2$ исчез бы, и уравнение стало бы линейным, а не квадратным. Поэтому калькулятор требует, чтобы $a \neq 0$, и показывает ошибку, если $a = 0$.

Формула квадратного уравнения

Любое квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ можно решить с помощью формулы квадратного уравнения:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Знак $\pm$ означает два отдельных вычисления: одно со знаком плюс, другое со знаком минус. Поэтому квадратное уравнение может иметь два различных решения.

Выражение под квадратным корнем, $b^2 - 4ac$, называется дискриминантом. Обычно его обозначают как $\Delta$ (греческая буква дельта). Один только дискриминант показывает, сколько действительных решений имеет уравнение, ещё до выполнения остальных вычислений.

Как вычислить корни

1. Запишите уравнение в стандартной форме: $ax^2 + bx + c = 0$.
2. Определите коэффициенты $a$, $b$ и $c$.
3. Вычислите дискриминант: $\Delta = b^2 - 4ac$.
4. Если $\Delta$ положителен, вычислите оба корня по формуле $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.
5. Если $\Delta$ равен нулю, вычислите единственный корень по формуле $x = \dfrac{-b}{2a}$.
6. Если $\Delta$ отрицателен, уравнение не имеет действительных корней, поскольку отрицательное число не имеет действительного квадратного корня.

Калькулятор на этой странице автоматически выполняет эти шаги. Он принимает коэффициенты от $-10^{10}$ до $10^{10}$ и округляет результаты до выбранного количества знаков после запятой — от 0 до 10.

Что означает дискриминант

Этот калькулятор сообщает «нет действительных корней», когда $\Delta$ отрицателен. Он не вычисляет комплексные корни (числа, содержащие $i = \sqrt{-1}$).

Пример расчёта

Решим уравнение $x^2 + 5x + 6 = 0$.

Здесь $a = 1$, $b = 5$, $c = 6$.

Сначала найдём дискриминант:

$\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$

Поскольку $\Delta$ положителен, уравнение имеет два действительных корня:

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{-5 \pm 1}{2}$

$x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = -2 \qquad x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = -3$

Это можно проверить разложением на множители: $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$, которое равно нулю при $x = -2$ или $x = -3$.

Второй пример показывает отрицательный дискриминант. Для $x^2 + x + 1 = 0$ имеем $a = 1$, $b = 1$ и $c = 1$, поэтому $\Delta = 1 - 4 = -3$. Поскольку $\Delta$ отрицателен, уравнение не имеет действительных корней.

Парабола, вершина и ось симметрии

График функции $f(x) = ax^2 + bx + c$ представляет собой кривую, называемую параболой. Если $a$ положительно, парабола направлена вверх и имеет наинизшую точку. Если $a$ отрицательно, она направлена вниз и имеет наивысшую точку. Эта наинизшая или наивысшая точка называется вершиной.

Вершина находится в точке:

$x = -\frac{b}{2a}, \qquad y = f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)$

Вертикальная прямая, проходящая через вершину, $x = -\dfrac{b}{2a}$, называется осью симметрии, поскольку две половины параболы зеркально отражаются относительно неё. Действительные корни уравнения — это точки пересечения параболы с осью x, поэтому они находятся по разные стороны от оси симметрии на одинаковом расстоянии от неё.

Калькулятор строит эту параболу рядом с результатом. Он отмечает на кривой вершину и все действительные корни, а при необходимости расширяет отображаемый диапазон, чтобы каждый корень оставался в поле зрения.

Где используются квадратные уравнения

Квадратные уравнения описывают множество ситуаций из реальной жизни. В физике высота брошенного тела с течением времени описывается уравнением $h(t) = -\tfrac{1}{2}gt^2 + v_0t + h_0$, а его решение относительно $t$ даёт время приземления тела. В инженерном деле параболические формы встречаются в спутниковых антеннах и конструкциях мостов из-за особенностей фокусировки или распределения силы. В компьютерной графике программы трассировки лучей решают квадратные уравнения, чтобы определить, где прямая пересекает сферу.

Краткая история

Вавилонские математики решали отдельные квадратные задачи примерно к 2000 году до н. э., используя геометрические методы, а не алгебру. Греческие математики, такие как Евклид, также рассматривали квадратные уравнения геометрически. Около 600 года н. э. индийский математик Брахмагупта привёл явную формулу для корней, включая отрицательные решения. Около 800 года н. э. персидский математик аль-Хорезми описал систематические методы решения квадратных уравнений в книге, название которой положило начало слову «алгебра». Современная символьная форма формулы квадратного уравнения стала стандартной позднее, по мере развития алгебраических обозначений в эпоху Возрождения.

Часто задаваемые вопросы

Что произойдёт, если ввести 0 для коэффициента a? Калькулятор покажет ошибку, поскольку при $a = 0$ уравнение превращается в линейное: $bx + c = 0$, и решается иначе.

Почему у уравнения иногда нет действительных корней? Это происходит, когда дискриминант, $b^2 - 4ac$, отрицателен. Отрицательное число не имеет действительного квадратного корня, поэтому формула не может дать действительное значение $x$. У уравнения по-прежнему есть два комплексных корня, но этот калькулятор их не вычисляет.

В чём разница между корнем и решением? Ни в чём. Оба слова обозначают значение $x$, при котором уравнение равно нулю. «Корень» указывает, где график пересекает ось x, а «решение» относится к алгебраическому способу описания.

Сколько знаков после запятой можно выбрать? От 0 до 10. Для повседневных задач обычно достаточно двух или трёх знаков после запятой.

Можно ли вводить очень большие коэффициенты? Коэффициенты должны находиться в диапазоне от $-10^{10}$ до $10^{10}$. Значения за пределами этого диапазона могут привести к ошибкам округления и отклоняются.

Может ли этот калькулятор находить комплексные корни? Нет. Когда дискриминант отрицателен, он сообщает «нет действительных корней», вместо того чтобы вычислять комплексные числа.

Источники

1. Quadratic Equation – MathWorld
2. NIST Digital Library of Mathematical Functions, §1.11, Алгебра: квадратное уравнение