Графопостроитель тригонометрических функций - Визуализация Синус, Косинус, Тангенс

Что такое графопостроитель тригонометрических функций?

Графопостроитель тригонометрических функций — это инструмент, который строит кривую функции синуса, косинуса или тангенса и позволяет изменять её форму, регулируя несколько чисел, называемых параметрами. При перемещении ползунка график мгновенно перестраивается, благодаря чему проще увидеть, как изменяются амплитуда, частота и фазовый сдвиг волны.

Три основные тригонометрические функции

Синус, косинус и тангенс определяются отношениями сторон прямоугольного треугольника. На окружности радиуса 1 с центром в начале координат (единичной окружности) sin(x) — это высота точки с углом x, а cos(x) — её горизонтальная координата. Тангенс — это отношение sin(x) к cos(x).

Синус — нечётная функция: sin(−x) = −sin(x). Косинус — чётная функция: cos(−x) = cos(x). Косинус — это просто синус, сдвинутый влево на π/2 радиан (90 градусов).

У тангенса есть вертикальные асимптоты — прямые, к которым кривая приближается, но никогда их не касается. Они расположены в точках x = π/2 + nπ, где n — любое целое число. Поскольку tan(x) = sin(x) / cos(x), а cos(x) в этих точках равен 0, отношение в них не определено.

Формула тригонометрической функции

Графопостроитель строит функции в следующем виде:

f(x) = A sin(Bx + C)

Та же форма используется для косинуса и тангенса, только sin заменяется на cos или tan. Каждая буква — параметр, который можно изменять:

• A (амплитуда) задаёт высоту волны, измеряемую от её средней линии до вершины. Графопостроитель допускает значения от 0,1 до 5 для синуса и косинуса и от 0,1 до 2 для тангенса.
• B (частота) задаёт количество полных циклов на выбранном отрезке оси x. Чем больше B, тем сильнее сжимается волна. Графопостроитель допускает значения от 0,1 до 5.
• C (фазовый сдвиг) сдвигает всю кривую влево или вправо, не изменяя её формы. Графопостроитель допускает значения от −π до π, то есть примерно от −3,14 до 3,14.

Положительный фазовый сдвиг перемещает график влево, а отрицательный — вправо.

Как пользоваться графопостроителем тригонометрических функций

1. Выберите функцию — синус, косинус или тангенс — в списке.
2. Перемещайте ползунок амплитуды, чтобы изменить высоту волны.
3. Перемещайте ползунок частоты, чтобы сжать или растянуть волну.
4. Перемещайте ползунок фазового сдвига, чтобы сдвигать кривую по горизонтали.
5. Прочитайте формулу под ползунками и нажмите «Copy», чтобы скопировать её как текст.

График обновляется сразу после перемещения ползунка. У тангенса в каждом месте асимптоты на линии появляются небольшие разрывы. Это ожидаемое поведение, а не ошибка.

Проверка крайних значений ползунков

Чтобы увидеть, какой высоты может достигать волна, установите амплитуду на максимальное значение, допустимое инструментом: 5 для синуса или косинуса и 2 для тангенса. Чтобы получить почти плоскую растянутую волну, установите частоту на минимальное значение 0,1. Если изменять за раз только один ползунок, проще определить, какой параметр вызвал каждое изменение.

Как вычислить значение вручную

Рассмотрим функцию синуса с амплитудой A = 2, частотой B = 3 и фазовым сдвигом C = π/4:

f(x) = 2 sin(3x + π/4)

Чтобы найти f(π/6), сначала вычислим угол внутри синуса:

3 × (π/6) = π/2

π/2 + π/4 = 3π/4

Затем вычислим синус и умножим результат на амплитуду:

f(π/6) = 2 × sin(3π/4) = 2 × (√2/2) ≈ 1,414

Где встречаются тригонометрические волны

Многие явления, которые повторяются плавно и попеременно, описываются кривой, близкой к синусоиде: звук, переменный электрический ток, морские приливы, колебания маятника и продолжительность светового дня в течение года. Инженеры используют синус и косинус для описания и прогнозирования таких закономерностей. Компьютерные аниматоры применяют те же кривые, чтобы движение выглядело плавным, например при создании покачивающегося шага или плавного перемещения камеры.

Часто задаваемые вопросы

В чём разница между синусом, косинусом и тангенсом?

Синус и косинус изменяются от −1 до 1 с периодом 2π, но косинус достигает каждой точки своего цикла на четверть оборота (π/2) раньше синуса. Тангенс равен синусу, делённому на косинус. Его период равен π, он не ограничен и имеет вертикальные асимптоты в тех точках, где косинус равен 0.

Что определяет амплитуда?

Амплитуда (A) задаёт, насколько далеко волна отклоняется вверх и вниз от своей средней линии. В этом графопостроителе она изменяется от 0,1 до 5 для синуса и косинуса и от 0,1 до 2 для тангенса.

Что определяет частота?

Частота (B) задаёт количество циклов волны на фиксированном отрезке оси x. При большей частоте на том же участке помещается больше циклов. Графопостроитель допускает значения от 0,1 до 5.

Почему положительный фазовый сдвиг перемещает график влево, а не вправо?

Потому что фазовый сдвиг C прибавляется до измерения угла, внутри функции: f(x) = sin(Bx + C). Положительное C означает, что заданное значение угла достигается при меньшем x, поэтому та же точка кривой появляется раньше — график сдвигается влево, а не вправо.

Почему на графике тангенса есть разрывы?

Тангенс не определён в тех точках, где косинус равен 0, то есть при x = π/2 + nπ. В этих точках графопостроитель прерывает линию, вместо того чтобы проводить ложное соединение через разрыв.

Использует ли графопостроитель градусы или радианы?

Радианы. Полный оборот равен 2π радиан, то есть 360 градусов. Чтобы перевести градусы в радианы, умножьте их на π/180.