Калькулятор свободного падения - Калькулятор скорости, расстояния и времени

Калькулятор свободного падения: скорость, расстояние и время

Калькулятор свободного падения определяет скорость объекта, падающего под действием силы тяжести, пройденное им расстояние и высоту над землёй. Введите начальную высоту, начальную скорость и прошедшее время — и калькулятор выдаст конечную скорость, перемещение вниз и конечную высоту.

Что такое свободное падение?

Свободное падение — это движение, вызванное только силой тяжести. Сопротивление воздуха не учитывается. Вблизи поверхности Земли все падающие объекты ускоряются с одинаковой скоростью независимо от массы. Если сопротивлением воздуха можно пренебречь, монета и молоток, отпущенные одновременно, достигнут земли в один и тот же момент.

Галилео Галилей экспериментально доказал это в начале 1600-х годов, опровергнув прежнее представление о том, что тяжёлые предметы падают быстрее. В 1971 году астронавт «Аполлона-15» Дэвид Скотт уронил на Луне молоток и перо, где нет воздуха, замедляющего падение пера. Оба предмета упали одновременно; это было заснято.

Величина этого ускорения называется стандартным ускорением свободного падения и обозначается g. Его заданное значение составляет ровно 9,80665 метров в секунду в квадрате (м/с²) и установлено международным соглашением в 1901 году. В имперской системе единиц это же ускорение равно 32,17405 фута (9,81 м) на секунду в квадрате (фут/с²). Это значение получается делением 9,80665 на 0,3048 — точное число метров в одном футе — с округлением до пяти знаков после запятой. Во многих учебных примерах метрическое значение округляют до 9,81 м/с² для упрощения вычислений.

Формула свободного падения

Три уравнения охватывают все задачи на свободное падение. Направление вниз считается положительным, поэтому положительная скорость направлена к земле, а отрицательная — вверх.

Формула скорости

$v = v_0 + gt$

• $v$ = конечная скорость
• $v_0$ = начальная скорость (0 при падении из состояния покоя; отрицательная при броске вверх)
• $g$ = ускорение свободного падения, 9,80665 м/с² или 32,17405 футов/с² в этом калькуляторе
• $t$ = прошедшее время, в секундах

Формула расстояния

$d = v_0t + \frac{1}{2}gt^2$

Здесь $d$ — перемещение: расстояние, на которое объект переместился вниз. Для объекта, отпущенного из состояния покоя ($v_0 = 0$), уравнение упрощается до $d = \frac{1}{2}gt^2$. Если объект бросили вверх и он всё ещё находится выше точки, откуда его отпустили, $d$ получается отрицательным.

Формула зависимости скорости от расстояния

Если время неизвестно, это уравнение напрямую связывает скорость и расстояние:

$v^2 = v_0^2 + 2gd$

Для объекта, отпущенного из состояния покоя, формула упрощается до $v = \sqrt{2gd}$. Она используется для определения скорости удара по известной высоте падения или высоты падения по известной скорости удара.

Как рассчитать свободное падение с помощью этого калькулятора

Калькулятор принимает четыре параметра и выдаёт три результата.

1. Выберите систему единиц. Метрическая система использует метры и метры в секунду. В британской системе — футы и футы в секунду.
2. Введите начальную высоту — высоту, на которой объект находится над землёй в начале. Она не может быть отрицательной.
3. Введите начальную скорость. Используйте 0 для объекта, отпущенного из состояния покоя, положительное число для объекта, брошенного вниз, или отрицательное число для объекта, брошенного вверх.
4. Введите прошедшее время с момента освобождения объекта. Оно должно быть больше нуля.

Результаты — это конечная скорость, перемещение и конечная высота (начальная высота минус перемещение). Время здесь является исходным параметром, а не результатом: калькулятор не вычисляет его обратно по заданной скорости или расстоянию.

Если введённое время достаточно велико и объект уже должен был достичь земли, калькулятор сообщает об этом вместо отрицательной конечной высоты.

Пример: параметры по умолчанию

Объект отпускают из состояния покоя с высоты 100 метров. Где он окажется через 3 секунды?

Скорость через 3 секунды:

$v = 0 + 9.80665 \times 3 = 29.41995 \approx 29.42 \text{ m/s}$

Перемещение за эти 3 секунды:

$d = \frac{1}{2} \times 9.80665 \times 3^2 = 44.129925 \approx 44.13 \text{ m}$

Конечная высота:

$100 - 44.129925 = 55.870075 \approx 55.87 \text{ m}$

Итак, объект падает со скоростью около 29,42 m/s, опустился примерно на 44,13 м и всё ещё находится примерно в 55,87 м над землёй.

Пример: время и скорость по известной высоте

Гаечный ключ падает со строительных лесов высотой 20 метров. Сколько времени он будет падать до земли и какова будет его скорость в момент удара?

Используем $d = \frac{1}{2}gt^2$ при $d = 20$ м и $g = 9.81$ м/с²:

$t = \sqrt{\frac{2 \times 20}{9.81}} \approx 2.02 \text{ секунд}$

$v = gt = 9.81 \times 2.02 \approx 19.8 \text{ м/с (примерно 71 км/ч)}$

Пример: высота по скорости удара

Объект достигает земли со скоростью 25 m/s после падения из состояния покоя. С какой высоты он упал?

Используем $v^2 = 2gd$:

$d = \frac{v^2}{2g} = \frac{25^2}{2 \times 9.81} = \frac{625}{19.62} \approx 31.9 \text{ метры}$

Это примерно высота десятиэтажного здания.

Как изменяется сила тяжести

Стандартное ускорение свободного падения, 9,80665 м/с², — это среднее эталонное значение. Фактическое ускорение свободного падения немного различается по поверхности Земли. На экваторе оно слабее (примерно 9,78 м/с²), чем на полюсах (примерно 9,83 м/с²), поскольку на экваторе Земля выпуклее и вращается быстрее. С высотой сила тяжести также немного ослабевает: на высоте 10 000 метров ускорение уменьшается примерно до 9,78 м/с².

На других небесных телах сила тяжести значительно отличается, поэтому те же формулы дают совершенно иные результаты:

Ускорение свободного падения на Луне примерно в шесть раз меньше, чем на Земле, поэтому отпущенный там объект за то же время проходит примерно одну шестую часть расстояния.

Свободное падение и сопротивление воздуха

Эти формулы предполагают вакуум, в котором воздух не препятствует движению объекта. Сопротивление воздуха растёт пропорционально квадрату скорости, поэтому при больших скоростях оно сильнее влияет на движение. Для плотного компактного объекта, такого как гаечный ключ или камень, падающего с небольшой высоты, его влияние невелико. Для лёгких или широких объектов, например пера, листа бумаги или парашюта, оно значительно.

Когда сопротивление воздуха становится достаточно большим и уравновешивает силу тяжести, объект перестаёт ускоряться и падает с постоянной скоростью, называемой предельной скоростью. Парашютист в положении лицом вниз обычно достигает предельной скорости около 53 метров в секунду — примерно 190 км/ч или 120 миль/ч — до раскрытия парашюта.

Часто задаваемые вопросы

Что такое свободное падение в физике?

Свободное падение — это движение объекта, на который действует только сила тяжести, без учёта сопротивления воздуха. Все падающие объекты вблизи поверхности Земли ускоряются вниз с одинаковой скоростью — около 9,81 м/с² — независимо от их массы.

Почему все объекты падают с одинаковой скоростью?

Сила тяжести сильнее воздействует на более тяжёлый объект, но более тяжёлый объект также сильнее сопротивляется изменению движения, поскольку обладает большей инерцией. Эти два эффекта в точности компенсируют друг друга, поэтому масса не влияет на ускорение при свободном падении.

Какова формула скорости при свободном падении?

$v = v_0 + gt$, где $v_0$ — начальная скорость, $g$ — ускорение свободного падения, а $t$ — время. Для объекта, отпущенного из состояния покоя, формула принимает простой вид: $v = gt$.

Какова формула расстояния при свободном падении?

$d = v_0t + \frac{1}{2}gt^2$. Для объекта, отпущенного из состояния покоя, формула упрощается до $d = \frac{1}{2}gt^2$.

Почему перемещение иногда бывает отрицательным?

В этом калькуляторе направление вниз считается положительным. Отрицательное перемещение означает, что объект находится выше точки, откуда его отпустили; это происходит, если его бросили вверх и он ещё не начал падать обратно. Бросьте мяч вверх со скоростью 10 m/s и проверьте его положение через 1 секунду: $d = -10 \times 1 + \frac{1}{2} \times 9.80665 \times 1^2 = -5.10$ м, поэтому он находится на 5,10 м выше начальной точки.

Сколько времени требуется объекту, чтобы упасть с заданной высоты?

Решение формулы расстояния относительно времени даёт $t = \sqrt{2d/g}$ для объекта, отпущенного из состояния покоя. Падение с высоты 20 метров занимает примерно 2,02 секунды.

Почему этот калькулятор использует 9,80665 м/с², а не 9,8?

9,80665 м/с² — это точное международно определённое значение стандартного ускорения свободного падения, принятое в 1901 году. Округление до 9,8 или 9,81 распространено в учебниках и достаточно точно для большинства целей. Калькулятор использует заданное значение, чтобы метрические и британские результаты описывали одно и то же физическое падение, чего нельзя сказать об округлённых значениях 9,8 м/с² и 32,2 фута/с².

Учитывает ли этот калькулятор сопротивление воздуха?

Нет. Он предполагает идеализированное свободное падение в вакууме. Это даёт точные результаты для плотных компактных объектов, падающих с умеренной высоты, но завышает скорость и расстояние для лёгких или широких объектов, а также при очень длительном падении, когда сопротивление воздуха становится значительным.