Kalkulačka pre rôzne typy kužeľových rezov a excentricitu

Kalkulačka kužeľových rezov

Úvod

Iba rezaním kužeľa s rovinou môžete získať mnoho zaujímavých kriviek známych ako kužeľové rezy. Tieto zahŕňajú kruh, elipsu, parabolu a hyperbolu. Kužeľové rezy sú základné v matematike a objavujú sa v rôznych oblastiach ako astronómia, fyzika, inžinierstvo a architektúra.

Naša kalkulačka kužeľových rezov vám umožňuje preskúmať tieto fascinujúce krivky výpočtom ich excentricity a odvodením ich štandardných rovníc na základe vašich vstupných parametrov. Ponorte sa do sveta kužeľových rezov a objavte ich jedinečné vlastnosti a aplikácie.

Ako používať túto kalkulačku

Vyberte typ kužeľového rezu:
- Kruh
- Elipsa
- Parabola
- Hyperbola
Zadajte požadované parametre:
- Kruh: Zadajte polomer ( $r$ ).
- Elipsa: Zadajte poloměr veľkej osi ( $a$ ) a poloměr malej osi ( $b$ ).
- Parabola: Zadajte ohniskovú vzdialenosť ( $f$ ).
- Hyperbola: Zadajte transverzálnu os ( $a$ ) a konjugovanú os ( $b$ ).
Kliknite na "Vypočítať" pre výpočet:
- Excentricity ( $e$ ).
- Štandardná rovnica kužeľového rezu.
- Vizualizáciu krivky.
Skontrolujte výsledky zobrazené pod kalkulačkou.

Validácia vstupov

Kalkulačka vykonáva nasledujúce kontroly na vstupoch používateľa:

Kladné hodnoty: Všetky vstupné parametre musia byť kladné reálne čísla.
Obmedzenia elipsy:
- Polomer veľkej osi ( $a$ ) musí byť väčší alebo rovný polomeru malej osi ( $b$ ).
Obmedzenia hyperboly:
- Transverzálna os ( $a$ ) musí byť väčšia ako konjugovaná os ( $b$ ).

Ak sú poskytnuté neplatné vstupy, zobrazí sa chybové hlásenie a výpočty sa zastavia, kým nebudú zadané platné vstupy.

Rovnicia

Excentricita ( $e$ ) je kľúčový parameter, ktorý definuje tvar kužeľového rezu, naznačujúci, do akej miery sa odchyľuje od kruhu.

Kruh

Excentricita: $e = 0$
Štandardná rovnica: $x^2 + y^2 = r^2$
Popis: Kruh je špeciálny prípad elipsy, kde sa ohniskové body zbiehajú v strede, čo vedie k nulovej excentricite.

Elipsa

Excentricita: $e = \sqrt{1 - \left( \dfrac{b}{a} \right)^2}$
Štandardná rovnica: $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$
Parametre:
- $a$ : Polomer veľkej osi (najdlhší polomer).
- $b$ : Polomer malej osi (najkratší polomer).
Popis: Elipsa je oválna forma, kde súčet vzdialeností z akéhokoľvek bodu na krivke k dvom ohniskovým bodom je konštantný.

Parabola

Excentricita: $e = 1$
Štandardná rovnica (otvorená doprava): $y^2 = 4 f x$
Parametre:
- $f$ : Ohnisková vzdialenosť (vzdialenosť od vrcholu k ohnisku).
Popis: Parabola je symetrická otvorená rovinná krivka vytvorená priesečníkom kužeľa s rovinou paralelnou k jeho strane.

Hyperbola

Excentricita: $e = \sqrt{1 + \left( \dfrac{b}{a} \right)^2}$
Štandardná rovnica: $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$
Parametre:
- $a$ : Transverzálna os (vzdialenosť od stredu k vrcholu pozdĺž x-ovej osi).
- $b$ : Konjugovaná os (súvisí s vzdialenosťou medzi asymptotami).
Popis: Hyperbola pozostáva z dvoch oddelených kriviek nazývaných vetvy a rozdiel vzdialeností z akéhokoľvek bodu na krivke k dvom ohniskovým bodom je konštantný.

Výpočty

Tu je, ako kalkulačka vypočíta excentricitu a rovnice:

Pre kruh:
- Excentricita: $e = 0$ .
- Rovnica: $x^2 + y^2 = r^2$ .
Pre elipsu:
- Kontrola: $a \geq b$ .
- Excentricita: $e = \sqrt{1 - \left( \dfrac{b}{a} \right)^2}$
- Rovnica: $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$
Pre parabolu:
- Excentricita: $e = 1$ .
- Rovnica: $y^2 = 4 f x$
Pre hyperbolu:
- Kontrola: $a > b$ .
- Excentricita: $e = \sqrt{1 + \left( \dfrac{b}{a} \right)^2}$
- Rovnica: $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$

Okrajové prípady:

Elipsa sa stáva kruhom: Keď $a = b$ , elipsa sa zjednoduší na kruh s $e = 0$ .
Neplatné vstupy:
- Negatívne alebo nulové hodnoty sú neplatné.
- Pre elipsy a hyperboly, ak $b > a$ , výpočty nemôžu pokračovať.

Jednotky a presnosť

Jednotky: Jednotky sú ľubovoľné, ale musia byť konzistentné (napr. všetky v metroch, centimetroch).
Presnosť:
- Výpočty používajú aritmetiku s dvojitou presnosťou.
- Excentricita sa zobrazuje až na štyri desatinné miesta.
- Rovniciach sa udržuje rovnaká presnosť ako vstupné parametre.

Prípadové použitia

Kužeľové rezy majú široké spektrum aplikácií:

Astronómia:
- Orbitálne dráhy planét sú eliptické, so slnkom v jednom ohnisku.
- Dráhy komét môžu byť parabolické alebo hyperbolické.
Fyzika:
- Parabolické zrkadlá zaostrujú svetlo a zvukové vlny.
- Hyperbolické trajektórie popisujú určité pohyby častíc.
Inžinierstvo:
- Navrhovanie satelitných antén a ďalekohľadov využívajúcich parabolické tvary.
- Hyperbolické chladenie veží v elektrárňach pre štrukturálnu efektívnosť.
Architektúra:
- Eliptické oblúky v mostoch a budovách pre estetický vzhľad a pevnosť.
- Parabolické krivky v visutých mostoch.
Optika:
- Tvar šošoviek založený na kužeľových rezoch na korekciu optických aberácií.

Alternatívy

Iné krivky a tvary môžu byť zvážené v závislosti od aplikácie:

Kruhové tvary: Jednoduchšie výpočty, keď presnosť kužeľových rezov nie je potrebná.
Krivky spline: Používané v počítačovej grafike na zložité tvary.
Bezierove krivky: Používané v dizajne a animácii pre hladké, škálovateľné krivky.

História

Preskúmanie kužeľových rezov sa datuje viac ako dve tisícročia dozadu:

Menaechmus (okolo 350 pred n.l.): Prvýkrát opísal kužeľové rezy pri pokuse o vyriešenie problému duplikácie kocky.
Euklid a Archimedes: Ďalej skúmali vlastnosti kužeľových rezov.
Apollonius z Perge (okolo 200 pred n.l.): Známý ako "Veľký geometrik", napísal zásadnú prácu "Kužeľové rezy", ktorá položila základy pre štúdium kužeľových rezov.
Johannes Kepler (17. storočie): Objavil, že planéty sa pohybujú po eliptických dráhach, formulujúc svoje tri zákony planetárneho pohybu.
Isaac Newton: Použil kužeľové rezy vo svojom zákone univerzálnej gravitácie na popis nebeských pohybov.

Kužeľové rezy zohrali kľúčovú úlohu v pokroku matematiky, fyziky a inžinierstva, ovplyvňujúc moderné technológie a vedecké porozumenie.

Príklady

Excel (VBA)

1' VBA Funkcia na výpočet excentricity hyperboly
2Function HyperbolaEccentricity(a As Double, b As Double) As Double
3    If a <= 0 Or b <= 0 Then
4        HyperbolaEccentricity = CVErr(xlErrValue)
5    ElseIf a <= b Then
6        HyperbolaEccentricity = CVErr(xlErrValue)
7    Else
8        HyperbolaEccentricity = Sqr(1 + (b ^ 2) / (a ^ 2))
9    End If
10End Function
11' Použitie v Exceli:
12' =HyperbolaEccentricity(5, 3)
13

Python

1import math
2
3def ellipse_eccentricity(a, b):
4    if a <= 0 or b <= 0 or b > a:
5        raise ValueError("Neplatné parametre: Zabezpečte, aby a >= b > 0")
6    e = math.sqrt(1 - (b ** 2) / (a ** 2))
7    return e
8
9## Príklad použitia:
10a = 5.0  # Polomer veľkej osi
11b = 3.0  # Polomer malej osi
12ecc = ellipse_eccentricity(a, b)
13print(f"Excentricita elipsy: {ecc:.4f}")
14

JavaScript

1function calculateEccentricity(a, b) {
2  if (a <= 0 || b <= 0 || b > a) {
3    throw new Error("Neplatné parametre: a musí byť >= b > 0");
4  }
5  const e = Math.sqrt(1 - (b ** 2) / (a ** 2));
6  return e;
7}
8
9// Príklad použitia:
10const a = 5;
11const b = 3;
12const eccentricity = calculateEccentricity(a, b);
13console.log(`Excentricita: ${eccentricity.toFixed(4)}`);
14

MATLAB

1% MATLAB Skript na výpočet excentricity paraboly
2% Pre parabolu je excentricita vždy 1
3e = 1;
4fprintf('Excentricita paraboly: %.4f\n', e);
5

C#

1using System;
2
3class ConicSection
4{
5    public static double ParabolaEccentricity()
6    {
7        return 1.0;
8    }
9
10    static void Main()
11    {
12        double eccentricity = ParabolaEccentricity();
13        Console.WriteLine($"Excentricita paraboly: {eccentricity}");
14    }
15}
16

Java

1public class ConicSectionCalculator {
2    public static double calculateCircleEccentricity() {
3        return 0.0;
4    }
5
6    public static void main(String[] args) {
7        double e = calculateCircleEccentricity();
8        System.out.printf("Excentricita kruhu: %.4f%n", e);
9    }
10}
11

Rust

1fn hyperbola_eccentricity(a: f64, b: f64) -> Result<f64, &'static str> {
2    if a <= 0.0 || b <= 0.0 || a <= b {
3        Err("Neplatné parametre: a musí byť > b > 0")
4    } else {
5        Ok((1.0 + (b.powi(2) / a.powi(2))).sqrt())
6    }
7}
8
9fn main() {
10    let a = 5.0;
11    let b = 3.0;
12    match hyperbola_eccentricity(a, b) {
13        Ok(eccentricity) => println!("Excentricita: {:.4}", eccentricity),
14        Err(e) => println!("Chyba: {}", e),
15    }
16}
17

Číselné príklady

Kruh:
- Polomer ( $r$ ): 5 jednotiek
- Excentricita ( $e$ ): $0$
- Rovnica: $x^2 + y^2 = 25$
Elipsa:
- Polomer veľkej osi ( $a$ ): 5 jednotiek
- Polomer malej osi ( $b$ ): 3 jednotky
- Excentricita ( $e$ ): $e = \sqrt{1 - \left( \dfrac{3}{5} \right)^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8$
- Rovnica: $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$
Parabola:
- Ohnisková vzdialenosť ( $f$ ): 2 jednotky
- Excentricita ( $e$ ): $1$
- Rovnica: $y^2 = 8 x$
Hyperbola:
- Transverzálna os ( $a$ ): 5 jednotiek
- Konjugovaná os ( $b$ ): 3 jednotky
- Excentricita ( $e$ ): $e = \sqrt{1 + \left( \dfrac{3}{5} \right)^2} = \sqrt{1 + 0.36} = \sqrt{1.36} \approx 1.1667$
- Rovnica: $\dfrac{x^2}{25} - \dfrac{y^2}{9} = 1$

Whiz Tools

Kalkulačka pre rôzne typy kužeľových rezov a excentricitu

Kužeľová plocha

Dokumentácia