Kalkulačka kuželosečiek - Kruh, Elipsa, Parabola

Čo je kalkulačka kužeľosečiek?

Kalkulačka kužeľosečiek určuje excentricitu a štandardnú rovnicu kružnice, elipsy, paraboly alebo hyperboly z niekoľkých meraní. Tieto štyri krivky vznikajú, keď rovina pretne kužeľ pod rôznymi uhlami.

Štyri kužeľosečky

Pri priamom priečnom reze kužeľa vznikne kružnica. Naklonením roviny vznikne elipsa. Rez rovnobežný s povrchovou priamkou kužeľa vytvorí parabolu. Rez prechádzajúci oboma časťami dvojitého kužeľa vytvorí hyperbolu.

Každá krivka má excentricitu, číslo vyjadrujúce, do akej miery sa líši od dokonalej kružnice.

• Kružnica: $e = 0$
• Elipsa: $0 < e < 1$
• Parabola: $e = 1$
• Hyperbola: $e > 1$

Ako používať túto kalkulačku

1. Vyberte typ kužeľosečky: kružnica, elipsa, parabola alebo hyperbola.
2. Zadajte požadované merania.
   • Kružnica: polomer ($r$)
   • Elipsa: hlavná poloos ($a$) a vedľajšia poloos ($b$)
   • Parabola: ohnisková vzdialenosť ($f$)
   • Hyperbola: priečna poloos ($a$) a združená poloos ($b$)
3. Excentricita a štandardná rovnica sa zobrazia automaticky hneď po zadaní platných kladných hodnôt pre vybraný typ kužeľosečky; nie je potrebné kliknúť na tlačidlo Výpočet.
4. Pod výsledkami sa vykreslí graf krivky.

Kalkulačka zobrazí rovnicu už s dosadenými zadanými číslami, takže elipsa s hodnotami $a = 5$ a $b = 3$ sa zobrazí ako $(x/5)^2 + (y/3)^2 = 1$. Ide o tú istú rovnicu ako $x^2/25 + y^2/9 = 1$. Excentricita sa zobrazuje na štyri desatinné miesta.

Všetky vstupy musia byť kladné čísla. Pri elipse musí byť hlavná poloos aspoň taká dlhá ako vedľajšia poloos, pretože hlavná poloos je definovaná ako dlhšia. Hyperbola takéto pravidlo nemá: jej priečna a združená poloos môžu mať ľubovoľné kladné dĺžky vrátane rovnakých.

Vzorec pre kružnicu

Pre kružnicu s polomerom $r$, ktorej stred je v počiatku:

$$x^2 + y^2 = r^2$$

Excentricita: $e = 0$.

Kružnica je špeciálnym prípadom elipsy, pri ktorej majú obe poloosi rovnakú dĺžku a obe ohniská ležia v strede.

Vzorec pre elipsu

Pre elipsu so stredom v počiatku, hlavnou poloosou $a$ a vedľajšou poloosou $b$, kde platí $a \geq b > 0$:

$$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$ $$e = \sqrt{1 - \left(\dfrac{b}{a}\right)^2}$$

Príklad: $a = 5$, $b = 3$.

$$e = \sqrt{1 - \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8$$

Rovnica: $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$

Keď $a = b$, elipsa sa zmení na kružnicu a $e = 0$.

Vzorec pre parabolu

Pre parabolu otvorenú doprava s ohniskovou vzdialenosťou $f$ (vzdialenosťou od vrcholu k ohnisku):

$$y^2 = 4fx$$

Excentricita: $e = 1$, vždy.

Príklad: $f = 2$. Rovnica: $y^2 = 8x$.

Vzorec pre hyperbolu

Pre hyperbolu so stredom v počiatku, priečnou poloosou $a$ a združenou poloosou $b$, kde $a$ a $b$ sú ľubovoľné kladné čísla:

$$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$ $$e = \sqrt{1 + \left(\dfrac{b}{a}\right)^2}$$

Priečna poloos $a$ je polovica vzdialenosti medzi dvoma vrcholmi, teda bodmi, v ktorých sa krivka obracia. Združená poloos $b$ je polovica dĺžky združenej osi, čiary vedenej cez stred kolmo na priečnu os. Určuje, ako rýchlo sa ramená rozchádzajú.

Na rozdiel od elipsy hyperbola nevyžaduje, aby $a$ bolo väčšie než $b$. Tieto dve dĺžky sú nezávislé, takže $b$ môže byť menšie, rovnaké alebo väčšie než $a$. Keď $a = b$, krivka sa nazýva pravouhlá hyperbola s excentricitou $\sqrt{2} \approx 1.4142$.

Príklad: $a = 5$, $b = 3$.

$$e = \sqrt{1 + \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 + 0.36} = \sqrt{1.36} \approx 1.1662$$

Rovnica: $\dfrac{x^2}{25} - \dfrac{y^2}{9} = 1$

Použitie kužeľosečiek v praxi

Planéty a kométy obiehajú po dráhach v tvare kužeľosečiek. Prvý Keplerov zákon hovorí, že obežná dráha planéty je elipsa, pričom Slnko sa nachádza v jednom z ohnísk. Niektoré kométy sa pohybujú po parabolických alebo hyperbolických dráhach a nikdy sa nevracajú.

Paraboly sústreďujú rovnobežné lúče do jediného bodu, preto inžinieri používajú parabolické tvary v satelitných anténach, zrkadlách ďalekohľadov a automobilových reflektoroch. Hyperbolické krivky sa nachádzajú na stenách chladiacich veží, kde tento tvar zabezpečuje pevnosť pri menšej spotrebe materiálu. Elipsy sa používajú v oblúkoch, stropoch s efektom šepkárne a pri konštrukcii ozubených kolies.

Stručná história kužeľosečiek

Grécky matematik Menajchmos študoval kužeľosečky približne v období 350 pred n. l. pri hľadaní riešenia problému zdvojenia kocky. Apollónios z Pergy napísal približne v období 200 pred n. l. podrobné pojednanie s názvom Kužeľosečky. Pomenoval elipsu, parabolu a hyperbolu a opísal ich vlastnosti. O stáročia neskôr Johannes Kepler použil elipsu na opísanie pohybu planét a Isaac Newton pomocou kužeľosečiek vysvetlil gravitáciu.

Najčastejšie otázky

Aké sú štyri typy kužeľosečiek?

Kružnica, elipsa, parabola a hyperbola. Každá vzniká, keď rovina pretne kužeľ pod iným uhlom, a každá má iný rozsah excentricity.

Ako sa vypočítava excentricita?

Excentricita kružnice ($e = 0$) a paraboly ($e = 1$) je pevne daná. Pre elipsu platí $e = \sqrt{1 - (b/a)^2}$, pričom sa používa hlavná poloos $a$ a vedľajšia poloos $b$. Pre hyperbolu platí $e = \sqrt{1 + (b/a)^2}$, pričom sa používa priečna poloos $a$ a združená poloos $b$.

Musí byť priečna poloos hyperboly dlhšia než jej združená poloos?

Nie. Na rozdiel od hlavnej a vedľajšej poloosi elipsy sú priečna poloos ($a$) a združená poloos ($b$) hyperboly nezávislé veličiny. Obe musia byť kladné, ale ktorákoľvek z nich môže byť dlhšia.

Môže sa elipsa zmeniť na kružnicu?

Áno. Keď sa hlavná poloos rovná vedľajšej poloosi, elipsa je kružnicou a jej excentricita je 0.

Prečo majú satelitné antény parabolický tvar?

Parabola odráža lúče rovnobežné s jej osou do jediného ohniska. Satelitné antény a zrkadlá ďalekohľadov túto vlastnosť využívajú na sústredenie signálov alebo svetla do jedného bodu.

Čo je pravouhlá hyperbola?

Pravouhlá hyperbola je hyperbola, pri ktorej sa priečna poloos rovná združenej poloosi ($a = b$). Jej asymptoty sú na seba kolmé a jej excentricita je $\sqrt{2} \approx 1.4142$.

Referencie

1. Kužeľosečka – Wikipedia
2. Excentricita kužeľosečiek – Khan Academy
3. Kužeľosečky – OpenStax