Kalkulačka priemeru kužeľa - Výpočet z výšky a polomeru

Aký je priemer kužeľa?

Priemer kužeľa je šírka jeho kruhovej podstavy meraná priamkou cez stred. Je rovný dvojnásobku polomeru podstavy. Kužeľ možno opísať aj jeho výškou (kolmá vzdialenosť od podstavy po vrchol) a tvorivkou (vzdialenosť od vrcholu po okraj podstavy po povrchu kužeľa). Ak sú známe dve z týchto troch hodnôt, možno vypočítať tretiu.

Vzorec na výpočet priemeru kužeľa

Priemer možno vypočítať dvoma bežnými spôsobmi v závislosti od toho, ktoré merania sú k dispozícii.

Z výšky a tvorivky:

$d = 2\sqrt{s^2 - h^2}$

Tu d označuje priemer, s tvorivku a h výšku. Vyplýva to z Pytagorovej vety: tvorivka je prepona pravouhlého trojuholníka vytvoreného výškou a polomerom, takže $s^2 = h^2 + r^2$. Vyriešením rovnice pre polomer a jeho vynásobením dvoma získame priemer. Kalkulačka vypočíta rovnakú hodnotu v ekvivalentnom tvare $2\sqrt{(s-h)(s+h)}$. Oba tvary poskytujú rovnaký výsledok, ale druhý zachováva viac správnych číslic, keď je tvorivka len o trochu väčšia než výška.

Z polomeru:

$d = 2r$

Ide jednoducho o definíciu priemeru. Ak je polomer už známy, ďalšie meranie nie je potrebné.

Tvorivka musí byť vždy dlhšia než výška, pretože je preponou pravouhlého trojuholníka a prepona je vždy jeho najdlhšou stranou. Ak je tvorivka rovná výške alebo kratšia než výška, opísaný útvar nie je platným kužeľom.

Ako vypočítať priemer kužeľa

Metóda 1: výška a tvorivka

1. Zmerajte výšku (h), kolmú zvislú vzdialenosť od podstavy po vrchol.
2. Zmerajte tvorivku (s), vzdialenosť od vrcholu po okraj podstavy meranú po povrchu kužeľa.
3. Umocnite obe hodnoty na druhú, odčítajte druhú mocninu výšky od druhej mocniny tvorivky a vypočítajte druhú odmocninu: $\sqrt{s^2 - h^2}$.
4. Výsledok vynásobte číslom 2, čím získate priemer.

Metóda 2: polomer

1. Zmerajte polomer (r), vzdialenosť od stredu podstavy po jej okraj.
2. Vynásobte ho číslom 2.

Súčasne sa má použiť iba jedna z týchto dvoch metód. Zadanie výšky, tvorivky a polomeru naraz je nejednoznačné, pretože tieto tri hodnoty nemusia opisovať navzájom zhodný kužeľ.

Vyriešený príklad

Príklad 1: výška a tvorivka

Kužeľ má výšku 3 jednotiek a tvorivku 5 jednotiek.

$d = 2\sqrt{5^2 - 3^2} = 2\sqrt{25 - 9} = 2\sqrt{16} = 2 \times 4 = 8$

Priemer je 8 jednotiek.

Príklad 2: polomer

Kužeľ má polomer 4 jednotiek.

$d = 2 \times 4 = 8$

Priemer je 8 jednotiek. To zodpovedá príkladu 1, pretože kužeľ s výškou 3 a tvorivkou 5 má polomer podstavy 4.

Príklad 3: plochý kužeľ

Kužeľ má výšku 0,1 jednotiek a tvorivku 10 jednotiek.

$d = 2\sqrt{10^2 - 0.1^2} = 2\sqrt{100 - 0.01} = 2\sqrt{99.99} \approx 19.999$

Priemer je približne 20,00 jednotiek. Keď je výška v porovnaní s tvorivkou veľmi malá, priemer sa blíži k dvojnásobku tvorivky.

Príklad 4: ihlovitý kužeľ

Kužeľ má výšku 9,99 jednotiek a tvorivku 10 jednotiek.

$d = 2\sqrt{10^2 - 9.99^2} = 2\sqrt{100 - 99.8001} = 2\sqrt{0.1999} \approx 0.894$

Priemer je približne 0,89 jednotiek. Keď je tvorivka len o trochu dlhšia než výška, kužeľ je vysoký a úzky a priemer jeho podstavy je malý.

Kde sa používajú výpočty priemeru kužeľa

Priemer kužeľa sa uplatňuje všade, kde sa merajú alebo vyrábajú kužeľovité tvary. Inžinieri ho používajú pri navrhovaní lievikov, dýz a kužeľovitých nádrží. Výrobcovia ho používajú na určenie rozmerov foriem a kužeľovitých súčiastok. Geológovia používajú podobné merania pri opise sopečných kužeľov. Rovnaký vzťah medzi výškou, tvorivkou a polomerom platí pre každý rotačný kužeľ s kruhovou podstavou, od papierového párty klobúka po špičku rakety.

História

Matematické skúmanie kužeľov siaha až do starovekého Grécka. Apollónios z Pergy, ktorý pôsobil približne v období 200 pred n. l., napísal významné dielo s názvom Kuželosečky, v ktorom skúmal, ako roviny pretínajú kužele a vytvárajú kružnice, elipsy, paraboly a hyperboly. Základný vzťah medzi výškou kužeľa, polomerom a tvorivkou, založený na Pytagorovej vete, je známy už od staroveku a používa sa dodnes.

Najčastejšie otázky

Aký je priemer kužeľa?

Je to šírka kruhovej podstavy kužeľa meraná priamo cez stred. Je rovná dvojnásobku polomeru podstavy.

Ako nájsť priemer kužeľa bez polomeru?

Použite výšku a tvorivku spolu so vzorcom $d = 2\sqrt{s^2 - h^2}$. Pytagorova veta sa v ňom použije na výpočet polomeru, ktorý sa potom vynásobí dvoma.

Aký je vzťah medzi priemerom kužeľa, jeho výškou a tvorivkou?

Výška, polomer a tvorivka tvoria pravouhlý trojuholník. Tvorivka je prepona, výška je jedna odvesna a polomer druhá odvesna: $s^2 = h^2 + r^2$. Priemer je dvojnásobkom polomeru.

Prečo kalkulačka odmieta niektoré hodnoty?

Výška musí byť väčšia než nula. Tvorivka musí byť väčšia než výška, pretože prepona nemôže byť kratšia než odvesna ani sa jej nemôže rovnať. Polomer musí byť väčší než nula. Výška a tvorivka alebo polomer sa majú zadať samostatne; zadanie všetkých troch hodnôt naraz je nejednoznačné a kalkulačka ho odmietne. Ak sa spolu s výškou zadá polomer, použije sa iba polomer, pretože ten už jednoznačne určuje priemer.

Môže mať kužeľ dva rôzne priemery?

Bežný kužeľ má jeden priemer, a to pri podstave, a vo vrchole sa zužuje do bodu. Zrezaný kužeľ, teda kužeľ s odrezaným hrotom, má dva priemery, jeden na každom z dvoch rovných koncov.

Aké jednotky sa majú používať?

Možno použiť ľubovoľnú jednotnú jednotku, napríklad centimetre, metre alebo palce. Výsledok bude vyjadrený v rovnakej jednotke, aká sa použila pri zadávaní hodnôt.

Referencie

1. Weisstein, Eric W. "Cone." MathWorld, Wolfram Research. https://mathworld.wolfram.com/Cone.html
2. O'Connor, J. J. a Robertson, E. F. "Conic sections." MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews. https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Conic_sections/