Bočná plocha kužeľa - Bezplatný online nástroj

Plášťová plocha kužeľa

Plášťová plocha kužeľa je plocha jeho zakrivenej bočnej strany bez plochej kruhovej podstavy. Nazýva sa aj plocha plášťa. Pri rotačnom kuželi ju možno vypočítať iba z dvoch meraní: polomeru podstavy a výšky kužeľa.

Čo je plášťová plocha?

Kužeľ má dve plochy: plochú kruhovú podstavu a zakrivený povrch, ktorý sa od podstavy smerom k vrcholu zužuje (špicatému hrotu). Plášťová plocha zahŕňa iba zakrivenú časť. Ak kužeľ rozrežete pozdĺž jednej šikmej hrany a rozviniete ho, plášť sa rozvinie na kruhovú výseč. Plocha tejto výseče sa rovná plášťovej ploche kužeľa.

Táto plocha sa líši od celkového povrchu, do ktorého sa započítava aj podstava.

Vzorec na výpočet plášťovej plochy kužeľa

Plášťová plocha L rotačného kužeľa je:

$L = \pi r s$

• r je polomer kruhovej podstavy
• s je šikmá výška, teda priama vzdialenosť od okraja podstavy k vrcholu
• L je plášťová plocha v štvorcových jednotkách

Výpočet strany kužeľa

Väčšina ľudí pozná polomer kužeľa a jeho kolmú výšku (h), teda zvislú vzdialenosť od podstavy k vrcholu, a nie šikmú výšku. Polomer, výška a šikmá výška tvoria pravouhlý trojuholník, takže šikmú výšku možno vypočítať pomocou Pytagorovej vety:

$s = \sqrt{r^2 + h^2}$

Kombinovaný vzorec

Dosadením tohto výrazu do vzorca pre plášťovú plochu získame úplný vzorec, ktorý používa iba polomer a výšku:

$L = \pi r \sqrt{r^2 + h^2}$

Ako vypočítať plášťovú plochu kužeľa

1. Zmerajte alebo si poznačte polomer (r) podstavy.
2. Zmerajte alebo si poznačte kolmú výšku (h) od podstavy po vrchol.
3. Vypočítajte stranu kužeľa: $s = \sqrt{r^2 + h^2}$.
4. Vynásobte: $L = \pi \times r \times s$.
5. Pozrite si výsledok. Táto kalkulačka počíta s plnou presnosťou a zobrazuje výsledok zaokrúhlený na štyri desatinné miesta.

Kalkulačka na tejto stránke vykonáva tieto kroky automaticky. Zadajte polomer a výšku a zobrazí plášťovú plochu spolu s nákresom kužeľa.

Pravidlá pre vstup

Polomer a výška nesmú byť záporné. Zadaním zápornej hodnoty sa namiesto výsledku zobrazí chybové hlásenie. Hodnota nula je povolená. Výška s hodnotou nula sploští kužeľ na jeho vlastnú podstavu, takže strana kužeľa sa rovná polomeru a vzorec vráti plochu kruhovej podstavy, $\pi r^2$. Polomer s hodnotou nula zrúti kužeľ na priamku a plášťová plocha je 0.

Vyriešený príklad

Uvažujme kužeľ s polomerom 3 m a výškou 4 m.

1. Strana kužeľa: $s = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ m
2. Plášťová plocha: $L = \pi \times 3 \times 5 = 15\pi \approx 47.1239$ m²

Druhý príklad: polomer 2 m a výška 10 m.

1. Strana kužeľa: $s = \sqrt{2^2 + 10^2} = \sqrt{4 + 100} = \sqrt{104} \approx 10.1980$ m
2. Plášťová plocha: $L = \pi \times 2 \times 10.1980 \approx 64.0762$ m²

Vyšší kužeľ s rovnakým polomerom má dlhšiu šikmú výšku, takže jeho plášťová plocha je väčšia, hoci podstava má rovnakú veľkosť.

Plášťová plocha verzus celkový povrch

Plášťová plocha nezahŕňa podstavu. Celkový povrch ju započítava:

$A_{total} = \pi r s + \pi r^2$

Samotnú plášťovú plochu použite vtedy, keď záleží iba na zakrivenom povrchu, napríklad pri určovaní množstva materiálu potrebného na obalenie alebo natretie bočnej strany kužeľa. Celkový povrch použite vtedy, keď je odkrytá aj podstava a treba ju pokryť, natrieť alebo zohľadniť.

Kde sa tento výpočet používa

• Výroba: odhad množstva plechu, tkaniny alebo náteru potrebného na kužeľovité súčiastky, lieviky či tienidlá.
• Stavebníctvo: výpočet materiálu na kužeľovité strechy alebo vežičky.
• Balenie a dizajn: určenie veľkosti papiera alebo lepenky na nádoby v tvare kužeľa.
• Inžinierstvo: nosové kužele, násypky a ďalšie kužeľovité súčasti v leteckom a priemyselnom dizajne.

História

Starogrécki matematici skúmali kužele a krivky vznikajúce ich rezaním, známe ako kužeľosečky. Apollónios z Pergy napísal rozsiahle dielo o tejto téme, ktoré na stáročia ovplyvnilo spôsob, akým geometri opisovali kužele. Vzorce pre povrch kužeľa priamo vyplývajú z rovnakých geometrických vzťahov, ktoré odvodil on a skorší matematici, napríklad Euklides.

Najčastejšie otázky

Aký je rozdiel medzi plášťovou plochou a celkovým povrchom kužeľa? Plášťová plocha zahŕňa iba zakrivenú bočnú stranu. Celkový povrch tvorí zakrivená strana spolu s kruhovou podstavou: $A_{total} = \pi r s + \pi r^2$.

Ako nájsť plášťovú plochu kužeľa bez merania šikmej výšky? Použite $L = \pi r \sqrt{r^2 + h^2}$. Tento vzorec automaticky vypočíta šikmú výšku z polomeru a výšky pomocou Pytagorovej vety.

V akých jednotkách sa uvádza výsledok? V štvorcových jednotkách zodpovedajúcich vstupným údajom. Ak sú polomer a výška uvedené v metroch, plášťová plocha je v štvorcových metroch; ak sú uvedené v palcoch, výsledok je v štvorcových palcoch.

Môžu byť polomer a výška uvedené v rôznych jednotkách? Nie. Pred zadaním musia byť obe hodnoty v rovnakej jednotke dĺžky, inak bude výsledok nesprávny.

Čo sa stane, ak zadám záporné číslo? Kalkulačka ho odmietne a zobrazí chybové hlásenie, pretože kužeľ nemôže mať záporný polomer ani výšku.

Aký je vzorec na výpočet plášťovej plochy zrezaného kužeľa (kužeľa s odrezaným vrcholom)? Pre zrezaný kužeľ s polomerom hornej podstavy $r_1$ a polomerom dolnej podstavy $r_2$ platí: $L = \pi (r_1 + r_2) \sqrt{h^2 + (r_1 - r_2)^2}$. Ide o iný vzorec než vzorec pre úplný kužeľ.

Referencie

1. Weisstein, Eric W. "Cone." MathWorld — webový zdroj Wolfram. https://mathworld.wolfram.com/Cone.html
2. "Lateral Surface Area of a Cone." Nadácia CK-12. https://www.ck12.org/geometry/lateral-surface-area-of-a-cone/
3. "Apollonius of Perga." Encyclopaedia Britannica. https://www.britannica.com/biography/Apollonius-of-Perga