Kalkulačka pravouhlého kruhovitého kužeľa - Objem, Povrch a Vzorce

Čo je kolmý kruhový kužeľ?

Kolmý kruhový kužeľ je geometrické teleso s kruhovou podstavou a zakriveným plášťom, ktorý sa zužuje do jediného bodu nazývaného vrchol. Je „kolmý“, pretože vrchol leží priamo nad stredom podstavy. Úsečka vedená z vrcholu kolmo nadol k podstave sa s podstavou stretáva v pravom uhle. Táto kalkulačka vypočíta objem kužeľa, obsah podstavy, obsah plášťa a celkový povrch z jeho polomeru a výšky.

Medzi bežné príklady tohto tvaru patria dopravné kužele, kornútky na zmrzlinu, lieviky a strechy niektorých veží.

Rozmery kužeľa

Kolmý kruhový kužeľ určujú dva rozmery:

• Polomer (r): vzdialenosť od stredu kruhovej podstavy k jej okraju.
• Výška (h): priama zvislá vzdialenosť od podstavy k vrcholu.

Tretia dĺžka, stranová výška (l), je vzdialenosť po vonkajšom povrchu kužeľa od vrcholu k okraju podstavy. Nemeria sa priamo. Namiesto toho sa vypočíta z polomeru a výšky, pretože tieto tri dĺžky tvoria pravouhlý trojuholník. Kalkulačka používa stranovú výšku na výpočet obsahu plášťa, ale nezobrazuje ju ako samostatný výsledok.

Kalkulačka neurčuje jednotku. Polomer a výšku zadajte v rovnakej jednotke. Každý obsah sa potom zobrazí v príslušnej jednotke na druhú a objem v tejto jednotke na tretiu. Ani jedna hodnota nesmie byť záporná, pretože dĺžka nemôže byť záporná; kalkulačka namiesto výsledku zobrazí správu. Výsledky sa uvádzajú na štyri desatinné miesta.

Vzorce pre kužeľ

Vzorec pre stranovú výšku

Polomer, výška a stranová výška tvoria pravouhlý trojuholník, takže stranová výška vyplýva z Pytagorovej vety:

$$l = \sqrt{r^2 + h^2}$$

Vzorec pre obsah podstavy

Podstava je kruh, preto sa jej obsah vypočíta štandardným vzorcom pre obsah kruhu:

$$A_b = \pi r^2$$

Vzorec pre obsah plášťa

Obsah plášťa zahŕňa iba zakrivenú bočnú plochu, nie podstavu. Ak by sa zakrivená plocha rozvinula naplocho, vytvorila by kruhovú výseč s obsahom:

$$A_l = \pi r l$$

Vzorec pre celkový povrch

Celkový povrch je súčtom podstavy a zakrivenej bočnej plochy:

$$A = A_b + A_l = \pi r^2 + \pi r l = \pi r (r + l)$$

Kužeľ otvorený na podstave, napríklad papierový lievik, vyžaduje pri výpočte množstva materiálu iba obsah plášťa.

Vzorec na výpočet objemu kužeľa

$$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$

Objem kužeľa je presne jedna tretina objemu valca s rovnakou podstavou a výškou. Archimedes tento vzťah dokázal metódou, ktorá vznikla ešte pred kalkulom. Neskôr ho potvrdil integrálny kalkulus, ktorý kužeľ chápe ako nekonečnú hromadu zmenšujúcich sa kruhových kotúčov od podstavy k vrcholu.

Ako vypočítať objem kužeľa: príklad s výpočtom

Uvažujme kužeľ s polomerom r = 5 jednotiek a výškou h = 12 jednotiek.

1. Vypočítajte stranovú výšku.

$$l = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ jednotiek}$$

2. Vypočítajte obsah podstavy.

$$A_b = \pi (5)^2 = 25\pi \approx 78.54 \text{ jednotiek}^2$$

3. Vypočítajte obsah plášťa.

$$A_l = \pi (5)(13) = 65\pi \approx 204.20 \text{ jednotiek}^2$$

4. Vypočítajte celkový povrch.

$$A = 25\pi + 65\pi = 90\pi \approx 282.74 \text{ jednotiek}^2$$

5. Vypočítajte objem.

$$V = \frac{1}{3} \pi (5)^2 (12) = 100\pi \approx 314.16 \text{ jednotiek}^3$$

Obrázok

Prerušovaná zvislá čiara predstavuje výšku od podstavy k vrcholu. Prerušovaná vodorovná čiara predstavuje polomer od stredu podstavy k jej okraju.

Kde sa kužele vyskytujú v reálnom živote

Výpočty objemu a povrchu kužeľa sa používajú v niekoľkých praktických oblastiach:

• Spracovanie plechu: obsah plášťa určuje množstvo plechu potrebného na zvinutie kužeľovej násypky, lievika alebo redukcie potrubia; následne sa ešte pripočíta prídavok na spoje a odpad.
• Skladovacia kapacita: vzorec pre objem určuje kapacitu kužeľových nádrží a kužeľových spodných častí síl.
• Stavebníctvo: ihlany, zakončenia veží a iné kužeľové prvky striech využívajú obsah plášťa na odhad množstva strešného materiálu.
• Predmety každodennej potreby: papierové poháre, kornútky na zmrzlinu a dopravné kužele sú približne kolmé kruhové kužele.

Táto kalkulačka predpokladá dokonalý kužeľ s kruhovou podstavou a vrcholom umiestneným nad stredom podstavy. Kužeľ zrezaný na vrchole, nazývaný zrezaný kužeľ, vyžaduje inú sústavu vzorcov, pretože má dva polomery namiesto jedného.

História

Starovekí grécki matematici skúmali kužele už približne v období 300 pred n. l. Euklidove Základy definovali kužeľ ako teleso vzniknuté otáčaním pravouhlého trojuholníka okolo jednej z jeho odvesien. Neskôr Apollónios z Pergy skúmal krivky vznikajúce pri prerezaní kužeľa pod rôznymi uhlami, dnes nazývané kužeľosečky: kružnicu, elipsu, parabolu a hyperbolu. Vzorec pre objem V = (1/3)πr²h dokázal Archimedes metódou vyčerpania, geometrickou technikou, ktorá predznamenala integrálny kalkulus približne o 2 000 rokov.

Najčastejšie otázky

Čo znamená, že kužeľ je „kolmý kruhový“?

„Kolmý“ znamená, že vrchol leží priamo nad stredom podstavy, takže os je kolmá na podstavu. V šikmom kuželi je vrchol posunutý na jednu stranu. „Kruhový“ znamená, že podstavou je kruh, nie elipsa ani iný útvar.

Aký je vzorec pre objem kužeľa?

V = (1/3)πr²h, kde r je polomer podstavy a h je kolmá výška. Na výpočet objemu nie je potrebná stranová výška.

Aký je vzorec pre povrch kužeľa?

Celkový povrch je A = πr² + πrl, kde r je polomer a l je stranová výška. Prvý člen predstavuje obsah podstavy a druhý obsah plášťa. Prvý člen vynechajte, ak kužeľ nemá podstavu, napríklad pri otvorenom lieviku.

Čo je stranová výška a ako sa líši od výšky?

Výška je priama zvislá vzdialenosť od podstavy k vrcholu, meraná vnútrom kužeľa. Stranová výška je vzdialenosť po vonkajšom povrchu od vrcholu k okraju podstavy. Súvisia vzťahom l = √(r² + h²), pričom stranová výška je vždy dlhšia z týchto dvoch dĺžok, keď je polomer väčší ako nula.

Ako nájdem objem kužeľa z jeho priemeru?

Priemer vydeľte číslom 2, čím získate polomer, a potom použite vzorec V = (1/3)πr²h. Napríklad kužeľ s priemerom 10 cm a výškou 15 cm má polomer 5 cm, takže V = (1/3)π(5²)(15) ≈ 392,7 cm³.

Funguje táto kalkulačka aj pre zrezané kužele?

Nie. Zrezaný kužeľ je kužeľ s odrezanou hornou časťou, takže má dva polomery namiesto jedného a vyžaduje vlastné vzorce pre objem a povrch.